等腰三角形分类讨论示范课教学设计

1、小专题：等腰三角形中的分类讨论贵阳二十三中冉昆一、教学任务分析1 .教材分析,本节课是缘自人教版八年级上册第十三章?轴对称?第三节?等腰三角形?,是轴对称图形的核心承载,等腰三角形是一种特殊的三角形,根据构成的不唯一的特点,在问题中大多蕴含着分类讨论的数学思想,因此其下启三角形、等腰三角形的进一步熟悉,上承分类讨论、数形结合等数学思想的运用,旨在让学生掌握分类方法,领会其实质的重要学习素材.2 .具体学习任务,围绕“分类讨论数学思想方法在等腰三角形中的应用设计了本节专题课,提升学生运用数学思想来解决实际问题的水平,突出方法的灵活性,从而提升学生运用数学思想来解决实际问题的水平.二、学情分析学生

2、的知识技能根底：在此之前,学生已学习了轴对称图形,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.学生学习了等腰三角形之后,对等腰三角形的特征、性质及判定方法己有了一定的握,但遇到等腰三角形中有关分类讨论的问题时,大局部学生因分类不当,甚至不考虑分类而导致错解或漏解.学生活动经验根底：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程,具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验,具备了一定的探究水平和合作与交流的能力和总结提炼的水平,大多数学生对尺规作图已熟练掌握,为合作探究提供了可靠的经验根底.三、教学目标1 .设计具体的问题情境引导学生探究理解“分类讨论的数学思想方法,并用此方法指导解决涉及等腰三

3、角形的各类分类问题的计算及作图.2 .通过引导,积极自主地参与课堂自主探究和合作交流,并在其中运用、体验“分类讨论的数学思想,学会提炼,感受知识的形成过程.3 .感受知识的严谨性、条理性,开展学生几何直观、推理水平的数学核心素养；培养学生观察、实践、推理、交流、总结并有条理地表述活动过程等严谨的学习品质.四、教学重难点分析教学重点：通过独立思考,合作交流,形成“分类讨论的数学思想并分析解决等腰三角形中的有关问题.教学难点：层层递进,总结出分类的方法,并应用于其他问题之中,练习熟练而准确的解决问题的水平.五、教学过程分析本过程分为以下五个环节一情景引入,初识分类设计活动,如下图的ABC中,/A=

4、25,/B=45.,请你在三角形的边上找出一点,使得该点与三角形的两顶点构成一个等腰三角形！学生分组进行设计等腰三角形并展示和说出作法！设计意图：通过本活动的设计,引导学生去从角、边入手得到等腰三角形,预设在过程中学生会采用测量,做垂直平分线,旋转等手段得到所求的点,并得到不同的等腰三角形,这样的活动本身就表达出了分类的特征,师生亲身经历了边、角的讨论,为后面的学习做下铺垫,也充分的积累了学生的活动经验.过渡语：刚刚有很多同学是从角度的方面得到等腰三角形的,那我们来试一试等腰三角形中关于角度的问题吧！二牛刀小试,因角而分例1.等腰三角形的一个内角为75°那么其顶角为A.300B.75

5、0C.105°D.30°或75°简析：75°角可能是顶角,也可能是底角.当750是底角时,那么顶角的度数为180°75°X2=30°当75°角是顶角时,那么顶角的度数就等于75°.所以这个等腰三角形的顶角为300或75°.故应选D说明：对于一个等腰三角形,假设条件中并没有确定顶角或底角时,应注意分情况讨论,先确定这个角是顶角还是底角,再运用三角形内角和定理求解.变式1:等腰三角形的一个外角为100°,那么其顶角为.简析：1假设外角与顶角相邻,那么其顶角为800;2假设外角与底角相邻,那

6、么其顶角为20.变式2:如果等腰三角形中一个角是另一个角的两倍,那么它的底角是度简析：1假设底角是顶角的2倍,那么其底角为720;2假设顶角是底角的2倍,那么其底角为45°.设计意图：在等腰三角形的分类问题中角度问题相对简单,学生也较为熟悉,因此放到靠前的环节,用以逐步的体验分类讨论的数学思想,也让学生体验分类成功的喜悦,为后续环节做好递进作用.在此,就可以悄然的总结为什么有两种答案,为后面的总结埋下伏笔过渡语：同学们刚刚很成功的讨论了角度的问题,但是边也是等腰三角形中非常重要的构成元素,同学们刚刚的活动中很多是从边入手而成功的,现在我们来讨论一下关于边的问题吧！三亲历实践,因边而分

7、1 .周长问题例题：等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,那么它的周长等于.简析：条件中并没有指明5和6谁是腰长谁是底边的长,因此应由三角形的三边关系进行分类讨论.当5是等腰三角形的腰长时,这个等腰三角形的底边长就是6,那么此时等腰三角形的周长等于16;当6是腰长时,这个三角形的底边长就是5,那么此时周长等于17.故这个等腰三角形的周长等于16或17.说明：对于底和腰不等的等腰三角形,假设条件中没有明确哪条是底哪条是腰时,应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.变式1:等腰三角形的一边长为6,周长为14,那么它的腰长为.简析：当底边为6时,那么腰长为4;当腰长为6时,那么底边为2;变式2:等腰

8、三角形的一边长为2,周长为8,那么它的腰长为.简析：当底边为2时,那么腰长为3;当腰长为2时,那么底边为4,但此时不能构成三角形,所以腰长只为3.说明：求出来的解应满足三角形三边关系.设计意图：在讨论了角的问题后,积累了一定的探究经验,三角形边与角的讨论也是分类的特征,这也是本课的第二级台阶,更进一步的让学生感受分类的数学思想,并开始从总结中提炼分类方法与实质,初步形本钱节的知识构架.在变式2中还渐进的表达了分类的原那么一对结果的合理性进行讨论.2 .重要线段(直线)问题(1)中线例3.假设等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两局部,求这个等腰三角形的底和腰的长.简析：条件并没有指明

9、哪一局部是9cm,哪一局部是12cmi因此,应有两种情形.假设设这个等腰三角形的腰长是xcm,底边长为ycm,可得?1x一x=9,21.一x+y=12,121x+x=12,或,12x+y=9.、2.一x=6.x=8.一解得或,即当腰长是6cm时,底边长是9cm；当腰长是8cm时,底边长是5cm=J=9,J=5.说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理.(2)高例4.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°,求这个等腰三角形的顶角的度数.D简析：依题意可画出图1和图2两种情形.图1中顶角为45°,图2中顶角为135°.说明：三角形的高是由三角形的形状决定的

10、,对于等腰三角形,当顶角是锐角时,腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时,腰上的高在三角形外.(3)中垂线(垂直平分线)例6.在AABC中,AB=ACAB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°,那么底角/B=简析：根据题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图.如图1,当交点在腰AC上时,AABC是锐角三角形,此时可求得/A=40°,所以,1.ZB=ZC=-(180-40)=70.2如图2,当交点在腰CA的延长线上时,AABCJ钝角三有形,此时可求得1/BAC=140,所以/B=ZC=1(180-140)=202图1图2故这个等腰三角形的底角为70°或20

11、6;.说明：这里的图2最容易漏掉,求解时一定要认真分析题意,画出所有可能的图形,这样才能正确解题.设计意图：本内容是因边而生,与前面的环节比照具有明显的层级特征,需要学生更加全面的去思考,经历,体验,探索,运用,在过程中展现明显的分类步骤,强调分类的实质,得到分类的原那么；是分类讨论数学思想形成的重要环节,也是达成教学目标2,突破教学难点的特征环节.由于此三类情况的实质相同,在课上只详析第一种情况,而其余两种留作课下研究.(四)总结提炼,知识内化1,解分类讨论问题的步骤：(1)分类的原因(为何分类)：条件不确定.分类的标准(如何分类)：对不确定的条件进行合理分类.逐类讨论：即对各类问题详细讨论

12、,逐步解决.(4)检验总结：将各类情况总结归纳.将一个大问题划分成几个不同的小问题,将这些小问题一一加以解决.2,分类讨论解题的实质？是将整体问题化为局部问题来解决.3,分类讨论的原那么？是不重复、不遗漏.讨论的方法是逐类进行,还必须要注意综合讨论的结果,以使解题步骤完整.设计意图：本环节是对以上环节的总结提炼,形成知识的重要环节,引导学生养成总结的好习惯,实现“颗粒归仓,感受所学所获,培养学生严谨的思维习惯,有条理地表述自己的想法,达成了教学目标3,也突出了本节课的教学重点五随堂演练,稳固提升1 .如下图的正方形网格中,网格线的交点称为格点.A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得ABC为等腰三角形,那么点C的个数是A.6B.7C.8D.9简析：条件不确定AB具体什么边不确定按边分AB是腰AB是底边以A为圆心以AB长为半径画圆2个以B为圆心以AB长为半径画圆2个做AB的垂直平分线4个2.在平面直角坐标系中,P2,2,在y轴上确定点Q,使AOQ；等腰三角形,求点Q的坐标.点A、OQ均有可能为等腰三角形顶角的顶点.假设点A为顶点,那么点P坐标为0,-4;假设点O为顶点,那么点P坐标为0,2应,或0,-2&