第二类曲线积分的计算

1、第二类曲线积分的计算定义设P(x,y),Q(x,y)为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线Lab上的函数，对Lab任一分割T,它把Lab分成n个小弧段MiiMi(i1,2,n);其中A=Mo,BMn.记各个小弧段MiiMi弧长为s，分割T的细度为|T|下S,又设T的分点的坐标为Mi国，yi),并记XiXiXii,yyyxi,(i1,2,n).在每个小弧段MiiMi上任取一点i,i,若极限limP(i,ri0iii)Xin即0(i,i)yi存在且与分割T与点i,i的取法无关，则称此极限为函数P(x,y),Q(x,y)在有向线段Lab上的第二类曲线积分，记为P(x,y)dxQ(x,y)dy或P(x,y

2、)dxQ(x,y)dyLAB也可记作P(x,y)dxQ(x,y)dy或P(x,y)dxQ(x,y)dyLLABAB注：(i)若记Fx,y=P(x,y),Q(x,y),dsdx,dy则上述记号可写成向量形式Fds.l(2)倘若L为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线，P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)为定义在L上的函数，则可按上述办法定义沿空间有向曲线L的第二类曲线积分，并记为P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dzl按照这一定义，有力场F(x,y)P(x,y),Q(x,y)沿平面曲线L从点A到点B所作的功为WABPdxQdy.第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方

3、向性.对二类曲线积分有ABBA线段时的特例.可类似地考虑空间力场F(x,y,z)P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)沿空间曲线Lab所作的功.为空间曲线Lab上的第二类曲线积分P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz.AB与第一类曲线积分的区别首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是n-21f(x,y)dslim0(i,i)si1第二类曲线积分就是n1P(x,y)dxQ(x,y)dy11moP(i,i)xiQ(i,i)小i1(D这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的？?%?>一小段弧的弧长，？?&是正值；而

4、第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的x,y坐标的增量？?=?务？?-1，？?？=?务？?-1，？?沏？?是可正可负的。当积分的路径反向时，？?环变，而？?沏？?反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。、一一,？=?(?)设曲线的参数方程为一二(一)wt&By=y(t)则第一类曲线积分的计算公式为dsdx2dy2.x(t)dty(t)dtJx'2(t)dt，2(t)dt|dt这里要注意a&B,即对t的定积分中，下限比上限小时才有？?？?

5、0,也就有|?盏样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿曲线上的点由A变到B,即t的下限小寸应曲线积分的起点A,他的上限B对应曲线积分的起点A,t的上限B对应终点Bo历年真题1、设曲线L:?=1,?(?具有一阶连续偏导数，过第二象限内的点M和第四象限内的点N,L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的选项是(A)(?(B)J；?_L_(C)4?(D)4?(?(2007,数一，4分)【解析】设点？?，？勺坐标分别为？?(?,？?)，?(?),则有题设可知?-?>0rr?-?<0,Y,/j21rr?0,、,/JVxrr?(?额?00?0?0rr答案为Bo2、计算曲线积分或？?

6、2?2?-1）?箕中？是曲线？?=?照（0,0）到点（?？0）的一段。（2008,数一，9分）【解析】?2?2?-1)?=?2?-1)?=?2?2?|?20?1+?2?+?2?1?2202?2?衿023、设？是柱面？+?=1与平面？?=?+?勺交线,从？轴正方向往？轴负方向看去为逆时针方向，则曲线积分?（2011,数一，4分）【解析】采用斯托克斯公式直接计算?-?2?=?+?=?(1-?2?另+?2VI2?1=/?(1-?)?004、已知?是第一象内艮中从点（0,0）沿圆周?+?=2?倒点（2,0）,再沿圆周?+?=4到点(0,2)的曲线段,计算曲线积分?J?3?7?3+?2?(2012,数一，10分)【解析】?金(?=?%>(?-?+?%>?JI%?(-2?)?-4?225、已知？的方程瑟丁？-?2,起点为？?（0,金,0）,终点为？?（0,-/，计算曲线积分？J?(?+?(?-?+?（