47常系数线性差分方程的求解

1、7.4 常系数线性差分方程的求解北京邮电大学电子2011.92解法1.迭代法2.时域经典法：齐次解+特解3.零输入响应+零状态响应(利用卷积求系统的零状态响应)4. z变换法反变换y(n)(在第八章介绍) X第页一迭代法3解差分方程的基础方法差分方程本身是一种递推关系，但得不到输出序列y(n)的式 X第页例7-4-1已知y(n) = 3 y(n - 1) + u(n)，且y(- 1) = 0,求解方程4y(0) = 3 y(- 1)+ 1 = 1y(1) = 3 y(0)+ 1 = 4n = 0n = 1n =n = 3LL=+= 13yyy(3) = 3 y(2)+ 1 = 40由递推关系,

2、可得输出值：y(n) = 1,L4,13,40,n=0 X第页二时域经典法1.齐次解：齐次方程的解y(n)- ay(n - 1) = 0但起始状态y(- 1), y(- 2),L y(- N )不能全为零5 y(0) = y(1) = L = y(n) = ay(- 1) 0,y( 1)y(0)y(n1)说明y(n)是一个公比为 a的几何级数y(n) = Can,所以或由特征方程r - a = 0, 可得r = ay(n) = Crn = Can指数形式 X第页求待定系数C由边界决定6设y(- 1) = 2 , 代入原方程，令n = 0ay(0) = ay(- 1) = 2y(n)由方程解y(

3、0) = Ca0= C所以C = 2齐次解y(n) = 2an X第页求差分方程齐次解步骤齐次解+特解（自由响应+强迫响应） 差分方程(思路与连续系统相同) 特征方程 特征根7y (n)的式 由初始状态定常数 X第页根据特征根，齐次解的三种情况8r1 r2 L rn1.无重根n阶方程()( )( )(r)nnny n =+ Cr+ L+ CCr1122nn2.有重根3.有共轭复数根 X第页例7-4-29求解二阶差分方程无重根已知y(0) = 2,y(n)- 5 y(n - 1)+ 6 y(n - 2) = 0y(1) = 1。(r - 2)(r - 3) = 0- 5r + 6 = 0r 2解

4、：特征方程特征根r1 = 2,r2= 3y(n) = C (2) + C1(3)nn齐次解2y(0) = C + C= 212n = 0n = 1定C ,C12y(1) = 2C + 3C= 112-3解出C15,C2 y(n) = 5(2)n - 3(3)n X第页例7-4-310有重根求方程y(n) + 6 y(n - 1) + 12 y(n - 2) + 8 y(n - 3) = 0的解(r + 2)3 = 0解： 特征方程+ 6r 2 + 12r + 8 = 0r 3 r = -2三重根()()()()nnny n = C- 2+ C n - 2+ C n- 22123C1 ,C2 ,

5、C3给定初始条件即可求出常数 X第页例7-4-411有共轭复数根jj- jjr = Mer= Me设12y(n) = C( )+ C (r)nnr1122= C (Me)n+ C (Me - j)nj12(cos nj - j sin nj )= PM n cos nj + QMn sin njP,Q为待定系数M = 1M 1M 1y(n) 为等幅正弦序列y(n) 为增幅正弦序列y n为减幅正弦序列 X第页2.特解12线性时不变系统输入与输出有相同的形式输出y(n) = Aean输入x(n) = eanx(n) = ejwnx(n) = cos(w n)y(n) = Aejwny(n) = A

6、cos(w n +q )x(n) = sin(n)y(n) = Asin(n +)y(n) = Ak nk + Ak -1nk-1 + L+ A1n + A0y(n) = Cx(n) = nkx(n) = Ax(n) = (r )ny(n) = C (r )nx(n) = (r )n （r与特征根重）()( )+ C (r )nny n = C n r12 X第页y(n)+ 2 y(n - 1) = 5u(n)例7-4-513求全解且y(- 1) = 1r = -2解： r + 2 = 0yh (n) = C1 (2)n齐次解Q x(n) = 5u(n)n 0 时全为 5（常数特解 y p (

7、n) = CC = 5C + 2C = 5(n 0)代入原方程求特解3+ 5y(n) = y (n) + y(n) = C(- 2)n全解形式hp13 X第页由初始条件( 相当0+ 条件)14定系数(- 2)n + 5，得由方程解 y(n) = C13Q 解的起点为n 0 要找y 0+ 5y(0) = Cn = 0( )13由y(- 1) = 1原方程迭代求出y 0 = 5 - 2 1 = 3将y(0)代入上式+ 5= 4y(0) = 3 = C C1133 y(n) = 4 (- 2)n+ 53n 03 X第页注意15差分方程的全解中求待定系数, 要用相当于 0 + 的初始条件, 若激励在 n = 0 时加入, 则要用 y(0), y(1)K 条件, 如果用y(- 1), y(- 2)K,则y(n)的结果不一定对。Q y n 应是n 0时的解x(n) = n2的例题请自阅P396例7-9. X第页三零输入响应+零状态响应1.零输入响应：输入为零，差分方程为齐次齐次解：C(r )nC由初始状态定（相当于0-的条件）2.零状态响应：初始状态为0，即y(- 1) = y(- 2) = K = 0经典法：齐次解+特解求解方法卷积法16 X第页17(n), 即需要先求h样值响应（或通称冲激响应）第页 X零状态响应的求解方法