随机过程第十一讲平稳

1、1 二阶矩过程的定义和基本性质 定义设有随机过程设有随机过程 ，若对每个，若对每个 的的均值和方差都存在，则称为二阶矩过程。均值和方差都存在，则称为二阶矩过程。由于二阶矩过程的均值是存在的，即均值函数是一时间的确定性函数。如果从中减去得到另一随机过程，则 的二阶矩也是存在的，即也是二阶矩过程。之间仅相差一个均值函数。的自协方差函数和自相关函数是相同的, 的自协方差函数即为 的自相关函数.因此，今后为了讨论简便起见，一般都假定二阶矩过程的均值都为零根据许瓦兹不等式可以证明二阶矩过程的自协方差函数总是存在的 Ttt, Ttt, tTt, t ttE t t ttt ttE, 0t tt和t tt

2、121122ov,Ectttttt 22121122cov,ttttttE 222211EEtttt 2111EDttt 2222EDttt 12cov,tt 而故即二阶矩过程的自协方差函数总是存在的，那么二阶矩过程的自相关函数也总是存在的。 二阶矩过程的自相关函数具有下列二个性质： Ttt,定理一 设有二阶矩过程),(21ttR为它的相关函数，则),(21ttR21,t tRTtt21,)(,(),(2121ttttRE证ttE22ttR12,ttRttR2112,即若 （t）是一实二阶矩随机过程，则ttRttR1221,即实二阶矩随机过程的自相关函数是对称的。定理二 二阶矩过程的自相关函数

3、 ttR21,具有非负定性，即对于任意有限个有，个复数和任意的nnnTtttt21321,nknmmkmkttR110,其中n为任意正整数.证nknmmkmkttR11, nknmmkmkttE11 nknmmmkkttE11 nmmmnkkkttE11即nknmmkmkttR110,上述不等式可用矩阵形式表示之:n,21ttRttRttRttRttRttRttRttRttRnnnnnn,212221212111021n或0,2121nmknttR即0,ttRmkn，为一行矩阵21 2 平稳随机过程 所谓平稳随机过程,粗劣的说,指的是它的统计特性不随时间的推移而改变.它的严格定义如下:定义 设

4、有随机过程 Ttt, 2 , 1,321niTtttttin若对于任意n和人已选定的 Rxxxn121,以及任意值且tttxxxFtttxxxFnnnn,;,;,21212121则称该过程为严平稳随机过程.其中是n维分布函数,n是任意的.该定义说明,当取样点在时间轴上作任意平移时随机过程的所有有限维分布函数是不变的。有 F或txtxFF;该定义说明,当取样点在时间轴上作任意平移时随机过程的所有有限维分布函数是不变的。 xtxFFt,由定义可知，严平稳过程的所有一维分布函数是与t无关的，即ttxff;平稳随机过程的二维分布函数为ttxxFttxxF21212121,;,;,ttxxFttxxFt

5、txxF122121212121, 0 ;,;,;,本身的函数。和再是函数，而不维分布函数仅是时间差即严平稳随机过程的二tttt2112过程的定义相类似。平稳其平稳性的定义完全和对于随机序列, 3 , 2 , 1;nnt1若在上式中令得一般说，当产生随机现的一切主要条件看不随时间的推移而改变时，我们常可以把这类过程看作为平稳的。例如， 起电路中的噪声电压，由于产生这过程的主要条件不随时间的推移而改变，这一随机过程就是平稳随机过程。许多领域如通信，自动控制等方面所遇的过程有很多可以认为是平稳随机过程。 在电子中散弹效应 引如果上述定义中的平稳随机条件不是全部满足，即不是对任意n都满足，而只是对k

6、满足时，tttxxxFttttkkikkiT,;, 2 , 1,212121值有和任意的则对任意选择的tttxxxFkk,;,2121而对于nk时其平稳条件就不再满足，则称它为k级平稳的随机过程。那么当nk时都满足平稳的条件。 严平稳过程或二级平稳过程如果它又是二阶矩过程，则该过程的均值函数为常数，而不是时间的函数，即 ttEtxxdF; 常数xxdtxxdFF;当然，如果过程为k级平稳该过程的相关函数仅是时间差tt12的函数，而不再是本身的函数，和tt21 ttRttRttxxFxxd1212122121, 0 ;,其中即 ttxxFxxtttRdE2121212121,;,由于用分布函数研

7、究随机过程往往比较复杂，所以一般只研究 过程的阶矩、二阶矩。所谓随机过程的相关理论就是研究仅与过程的一阶矩，二 和一个变量tt12二阶矩是不能代替当然，仅研究一阶矩、的函数 .R阶矩有关性质的理论。在平稳过程的相关理论中出现的特征数仅常数 性质的研究的。对整个t 定义 设有一个二阶矩随机过程 Ttt,，它的均值为常数，相关函数tt12的函数，则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。对于严平稳过程或二级平稳过程而且又是二阶矩过程已经得到了上述两个重要结论。但是仅仅有一个随机过程的均值为常数、相关函数是 ，相关理论不能代替对于整个的性质的研究，但相关理论也能解决许多应用中的一些问题。对于其它平稳

8、随机过程 t t的函数还不能充分说明它符合平稳的条件。为此引入另一种平稳随机过程的定义。tt12为了区别起见第一个定义所指的过程称为严平稳过程，第二个定义所指的过称为宽平稳过程。对于正态分布的平稳过程，严平稳就是宽平稳，宽平稳也就是严平稳，这是因为正态分布的相关函数已经充分说明了它的概率密度；另一方面正态分布过程的二阶矩总是存在的。对于其它严平稳随机过程，只有当它的二阶矩存在时才是平稳的；而一个过程是宽平稳时，还不能说明它是严平稳的。今后讲到平稳过程时，总是指复宽平稳随机过程；而说到过程为严平稳时，则将特别说明之。3 宽平稳随机过程的性质和举例宽平稳随机过程是一个二阶矩过程，它具有下列性质：对

9、于实宽平稳过程 RR即自相关函数是的偶函数。性质二 20 R为过程的数学期望值，即均值。性质一 RRttRttR或2112tt12证 ttER0 2ttE 2tD 02tEtD而故 20 R性质三 0RR 0CC证 根据许瓦兹不等式有 ttEttE22 ttEE22故 022RR 即 0RR同理可得 0CC它表明自相关函数和自协方差函数的绝对值都在n处取最大值。这里并不排除在0处也可以取最大值。如随机相位的正弦波过程cos22A，当 , 2, 1, 0,kk时相关函数的的相关函数为绝对值均取最大值。性质四 相关函数 R具有非负定性，即对于任意自然数n，任意n个复数n,21以及任意n 个实数tt

10、tn,21有ninkkikinnnnnnnnttRttRttRttRttRttRttRttRttRttR1121212221212111210,性质一、四是从1中定理一、定理二获得的。例一 热噪声的取样观察值为 nnn, 2, 1, 0,是一随机序列， n相互独立； （2） 分布。是2, 0Nn求它的均值和相关函数。解 0nEn 2nD 0nmnE0m 2nmnE(m=0) 它具有下列性质：（1）故 0002mmmR该例中相关函数只和m有关而与n无关，且均值为常数，故它是一平稳随机序列，而且是严平稳序列。例二 第一章所讨论的正弦波随机过程为平稳随机过程。例三 第一章所讨论的随机电报信号中均值为

11、 常数21tE相关函数为 eR2141其中 tt12协方差函数为 eC241故它是平稳随机过程，而且实的平稳过程。相关函数在0为最大， R是偶函数。例四 滑动平均设 , 2, 1, 0;nn是标准不相关序列，即 0nE 01mnmnmnE则 snnnnaaas110也是平稳序列。其中 aaas,20是复数序列。解 sksikinkmnEnmnEa00 siskikinkmnEaa00smkskmkkaa00因此的均值为常数，相关函数仅与m有关而与n无关，故 n也是平稳随即序列。 n 例五 设, 2 , 1,kk为随机变量， ,0, 0kiEEkik若有, 2 , 1,kk是两两不相等的实数串，

12、 iktikkektkE则,12为一平稳随机过程，且是具有离 解 0kE02bkkkkEE且散谱的过程。 0tE 11kijiikeeikEttE11kitjtjikeeikE111kjkjtjkiikebeekikE故相关函数为时间差的函数 1kjkebRk 10kkbR而因此 t是一平稳随机过程。其中bk代表谐波分量etjkk的功率的平均值例六 设有一脉冲串，其脉宽为1，脉冲可为正脉冲也可为负脉冲，幅值可取+1也可取-1，取+1或的概率相等 ；各脉冲取+1或-1是 相互统计独立的；脉冲的起始时间均匀分布与于单位时间间隔内。求此随机过程的相关函数。解 此过程的样本函数见图4-1。因该过程在任

13、何时间可取值+1或-1，且t1 tt1t2t图 2111tP 2111tP 02112111tE它的相关函数为 ttE12 1, 1111, 1111, 111212121tttttPPP故 1, 11121ttP现求 11/11, 1,.1, 1112211221tttttttttPPPP则设设t1是所在的脉冲的起始时刻，根据题意是均匀分布于单位tt111，是均匀分布于内的随tttt12121可能和时，处于同一脉冲内也 可能处于不同的脉冲内。时间内的随机变量，故可以认为 机变量（见图4-2）。当)(f11tt11t1t2t图 12111/12212ttttPPP上式中右边第一项代表tt21,

14、处于同一脉冲内的概率，第二项中tttP2121、代表处于不同脉冲 内的概率，当tt21、不在同一 2112的概率为取t脉冲内时tttttttdPPP1211222111111211012ttttttPP1222111012tt故当 1012tt时 ttttttttP1212122121121211211, 1而当 211/11121212ttttttP，则永远处于不同的脉冲内和时，此时 4121211, 121ttP同理 ttttP1221211211, 11012tt 411, 121ttP) 1(12tt 1/111, 112121tttttPPPttttttPP1212224121211211021