点与曲线空间投影的探讨概要

1、21分类号:点与曲线空间投影的探讨摘要：空间投影是解析几何的重要内容之一，而且其应用很广泛.本文介绍了空间投影的概念，给出了点与曲线空间投影的概念及其求法，并分析了空间曲线在坐标平面的投影的误区所在，将点与曲线空间投影整体做了归纳，并总结了几种投影的具体求法。关键词：空间的点；空间的直线；空间的曲线；投影。TheprojectionofpointsandcurvesinspaceWangChun(MathematicsandcomputerengineeringXi'anUniversityofArtsandScienceCollegeofXi'an,Shaanxi,71006

2、5)Abstract:theanalyticgeometryofspaceprojectionisoneoftheimportantcontents,butalsoitsapplicationisveryextensive.Thispaperintroducestheconceptofspaceprojectionispresented,andthecurveofspaceprojectionconceptandmethod,andananalysisofspacecurveinacoordinateplaneprojectionofthemisunderstandings,thepoints

3、andcurvesinspaceprojectionoverallsummarized,intheprojectionoflines,pointsintheprojectionplane,straightlineintheplaneofprojection,curveinthecoordinatesoftheprojectionandthecurveinthegeneralplaneofprojection,andthecurveinstereointheprojectionplane,anderror-proneareassummarized.Keywords:pointofspace;sp

4、acestraightline;spacecurve;projection.前言：投影在几何研究领域有着重要地位，点与曲线是几何研究中比较普遍的东西，也是至关重要的内容，有许多技巧和方法需要我们掌握，本文主要通过实例说明问题并将其归纳总结，也指出了在求投影时经常出错的地方，并总结了求点与曲线的各种投影的方法。一、预备知识空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0叫做空间曲线的般方程。特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。空间曲线的一般方程F（x，y，z）=0当给定t=L时，就得到曲线上的一G（x,

5、y,z）=0个点（x,yi,z）,随着参数的变化可得到曲线上的全部点。二、空间点的投影1、空间点到直线的投影定义：点到直线的投影就是由点向直线做垂线，这条垂线和直线的交点即所求的投影。求法：过点P0作平面兀与L垂直，L与兀交点p即为点P0在直线L上的投影占八、P0例1、求点(1,2,3)在直线上2x-3y+1=0的投影？解：所求投影就是该直线与以(2,-3,1)为法向量的，且过点(1,2,3)的平面的交点，所求平面方程为：2(x-1)-3(y-2)+z-3=0,即2x-3y+z=-1,与直线方程联立即可解出、.667_4366743、x=-7,y石，z=-石，所以所求投影为(，五，一五)。2、

6、空间点到平面的投影定义：点到平面的投影就是由已知点向已知平面作垂线，垂线与已知平面的交点即为投影点。求法：过p0作直线L与n垂直，L与冗交点P即为点p0在平面n上的投影点。例2、平面L为x+2y+2z-6=0,点为O(0,0,0)，求点O在平面L上的投影。解：过已知点O(0,0,0),作垂直于平面x+2y+2z-6=0的直线：直线的参数方程为x=0+t,y=0+2t,z=0+2t；x=t,y=2t,z=2t,求该直线与平面x+2y+2z-6=0的交x_2/24点，直线方程代入平面方程，得9t=6,故t=,于是(3,3,3),即为所求投影点。例3、已知点A(1,2,-3)，求点a在平面2x+3y

7、-5z+1=0上的投影点B?解：过点人(1,2,-3)向平面2乂十3丫-52+1=0做垂线，交平面于B因为向量(2,3,-5)为平面的法向量，所以过线段AB的直线的方向向量为(2,3,-5),所以根据空间直线的点向式可得：垂线ab的方程为x-1y-2z32=3=-5，它与平面2x+3y-5z+1=0的交点B即为投影点2A所以将上述两个方程联立解出B(-存，19,19)三、空间曲线的投影1、直线在空间平面的投影定义：直线在平面的投影就是直线上每一点在平面的投影点构成的直线。求法：过L作平面叫与冗垂直，则&与n的交线为L在冗上的投影。71通常求直线在平面的投影，我们采取的方法是：(1)、在

8、直线上任取两点，分别向平面做垂线，垂线与平面交点所在的直线就是直线到平面的投影；(2)、过直线L作平面明与冗垂直，则叫与冗交线为就是直线L在平面冗的投影。x+2y+zT例4、直线L:32X_丫_z=0；在平面x+y+2z=5上的投影直线方程是什么?x2yz-11解：在直线L:iy上取点A(0,1,-1),B(3,0,3)。过A作平2xy-z=0过B作平面83)o面x+y+2z=5的垂线x=y-1=2，交平面x+y+2z=5于点C(1,2,1)z-2x-1z3x+y+2z=5的垂线3=y=2，交平面x+y+2z=5于点D(3,1,3直线CD:3(x-1)=-(y-2)=5(z-1),就是L在平面

9、x+y+2z=5上的投影直线。例5、求直线尸2y-z+1=0，在平面x+y+z=0上的投影直线方程。3x-2yz-1=0解：x+y+z=0的法向量为(1,1,1),过直线|"2"一Z+1一0的平面束方3x-2yz-1=0程为x+2y-z+1+k(3x-2y+z-1)=0,即(1+3k)x+(2-2k)y+(k-1)z+1-k=0(1),法向量为(1+3k,2-2k,k-1),若该法向量与(1,1,1)垂直，则(1+3k)*1+(22k)*1+(k1)*1=0,即2k+2=0,k=-1；代入(1)x+2yz+1(3x2y+z1)=0,即一2x+4y2z+2=0,即x_2y+z

10、_1=0该平面与平面x+y+z-3=0的交线就是投影直线，.直线就是x-2v+z-1=0xyz-3=02_7也可化成较简单的形式y-3,x+z=f02、空间曲线在平面的投影2.1、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为(见乂幻=0*5>,乂0=0由上述方程组消去变量z,x,y后所得的方程分别为：H(x,y)=0R(y,z)=0T(x,z)=0Mq)=Ql表示曲线C在xoy面上的投影，区回公=0、J=°表示曲线C在yoz面上的投影,RE力=Ql2=0表示曲线C在xoz面上的投影c设空间曲线的一般方程：F(X，y，Z)=0,消去变量z后得：H(x,y)=0这就G(x,y,

11、z)=0是曲线关于xoy的投影柱面，投影柱面的特征:以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面如图：投影曲线的研究过程。空间曲线投影柱面投影曲线-222xyz=1例6、求曲线11在坐标面上的投影z2解(1)消去变量z后得x2+y2=3,了4223在xoy面上的投影为I+y-4,z=01(2)因为曲线在平面z=，上，所以在xoz面上的投影为线段21z=2,y=03冈三万；(3)同理在yoz面上的投影也为线段z2,x=0例7、求抛物面y2+z2=x与平面x+2y一z=0的截线在三个坐标面上的投影曲线方程。解:截线方程为lx2y-z=0(2xL2x/_(1)消去z得投影,x+5y+4xy-x=0Z=0

12、<2._2_x+5z2xz-4x=0消去z得投影x5z2xz4x0)=0(3)消去x得投影J，+z2+2y-z=0、x=0补充：由空间曲线围成的空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体曲面例8、设一个立体，由上球面z=j4-x2-y2和z=j3(x+y)锥面所围成,求球面与锥面围成圆的曲线在xoy平面的投影。-tt上乙、,z=4-x2-y2,解：半球面和锥面的交线为C:<'y'3(x2y2),消去z得投影柱面x2+y2=1,则交线C在xoy面上的投影为22,x7=1'个圆z=0.2.2、在寻求L在坐标平面上的投影曲线及曲线围成柱面在坐标平面的投影时常有如下典型

13、错误：x2，y2，(z-1)2=1(10)求Li：2y2(2在xoy平面上的投影曲线。2xy-y(z-1)=1解：从L1的两个方程中消去z得到x2-y=0,故L1:在xoy平面上的投影曲线的方程为222=2(2°)求L2：y2z7关于xoz平面的投影柱面的方程，xy-ax=0解：从L2的两个方程消去y,即得到L2关于xoz平面的投影柱面的方程:-ax,容易看出这两个解答都是不完善的，因为L,和均为两个曲面的交线，且其中至少各有一个曲面是封闭的，即范围是有限的，所以L在xoy平面上的投影，Li在xoz平面上的投影也只能在有限范围内。其实由以上所作，我们只能断定L,在柱面x2-y=0上，

14、L2在柱面z2+ax-a2=0上，而它们各自是否与柱面的直母线都相交尚待讨论。现来求Li在xoy平面上的投影曲线,-222易见L1可表成X2yzt,由第一式知：x2+y2<1,于是L1x-y=0>(2)2的投影曲线应是曲线X-y=0,y=0x2y=0在xoy平面的单位圆内的部分，讨论不等式组y20,首先y=x2至0,xy_1此外又有y2+y-1<0,故解得0WyW婴，所以L12在xoy平面上的投影曲线应为Jy,0WyM与。1 z=0完全相仿，L2关于xoz平面的投影柱面方程为z2+ax-a2=0,0<x<a0现在我们就以寻求空间曲线L:Fl(x，y，z)=0T(1

15、),在xoy平面上的投影F2(x,y,z)=0>(2)曲线及关于xoy平面的投影柱面为例，给出其正确的解法如下：从方程(1)、(2)消去坐标z,得f(x,y)=0(3),如果记xoy平面上的曲线T0:!f(x'y)"0以及当方程(1)或(2)显含z时，记xoy平面上的区域0Z=0D=(x,y,0)|Fj(x,y,z)=0于z有实解，再根据L的新方程是L:；F1(x'y'z)=0f(x,y)=0或者L:!F2(x'y，z)=0,那么，曲线在xoy平面上的投影就是=邛1°,或者f(x,y)=01°,r=D210,而L在xoy平面的

16、投影柱面为f(x,y)=0,(x,y,0)r,作为特殊情况,我们易见曲线F（X，y，Z）=°AxByCzD=°,C=°在xoy平面上的投影曲线及关于xoy平面的投影柱面方程分别为AxByD仁I-和«"之)=°。2 2.一2y丁z-4x=4z(1)一例9、对于曲线L:，2y24x4z(1),由第一式乘以3再减去第y3z-8x=12z>(2)式得：y2+4x=°,又由(1)式知Di=(x,y,°)y2+2x-2<°,解不等式组y24x=°<2_y2x-2_°2y4x

17、76;，得-2WyW2,故L在xoy平面上的投影曲线方程为f4x°z=°且-2MyM2,（或者1MxM°）,L关于xoy平面的投影柱面为y2+4x=°,-2<y<2ox2y2z2;a2(1)例1°、对于曲线L:«22将(2)式改写成(xT+y)2=G)2,xy-ax=°(2)易见在xoy平面上圆r°:（x号）2+y2=偿）2整个被包括在半径为a的圆x2+y2=a2之内，即r°=D1,故L在xoy平面的投影柱面即为圆柱面：（x-晟）2+y2=G）2。卜面在求此曲线在yoz平面的投影柱面。把L的方

18、程首先改写成L:42222xyz=az2ax=°>(3)进而在把它改写成L:-2za：=°：（3）2,又易知对于任意y,z,方程（3）关于x均有实解,（2-z）y=（；）>故从曲线L的最后形式的方程立即可知L在yoz的投影柱面为（-a-a）2+y2=（1）20就以上所论可见，问题归根究底是从方程中消去参数时如何真确把握所产生,那么由第二式立.m.x2y的限制条件。如果在问题（2）中，将L2写成,y二a（a-x）即有°WxWa,再将第二式代入第一式,面方程z2+ax-a2=°,°wx4a。即消去z就得到关于xoz平面的投影柱同样道理，

19、对于一些归结为消去参数的问题，特别由曲线族生成曲面时，我们务必考虑为使这些参数在实数范围对点的坐标所产生的限制条件，否则难以活得正确结论。2.3、空间曲线在一般平面上的投影前面我们探讨了空间曲线在坐标平面的投影，现在我们来研究一下空间曲线在一般平面的投影有哪些问题：所谓空间曲线C在平面P上的投影线，是将C上的每一点作P的垂直线与P的交点的集合。问题1:求空间曲线C在一般平面P:Ax+By+Cz+D=0上的投影曲线l的方程。产方法一空间曲线c可看成两个空间曲面的交线，即可用!F(x,y,z)=0Gx,y,z)=0(1)表示，(1)式称为曲线C的一般方程。所求投影曲线l可看成由两个空间曲面的交线，

20、一个是已知平面P,另一个是经过已给空间曲线C且垂直于已知平面P的柱面Z,故问题转化为求这一柱面方程。设柱面Z的准线的方程为|F(X,y'z)0,母线方向b=(A,B,C),点M(x,y,z)属于柱面工的充要Gx,y,z=0条件是点M在某一条母线上，即存在准线上一点Mi(Xi,Yi,Zi),使得点MFx1,y1,z1=0位于过点Mi且以b为方向向量的直线上.因此，有,GXi,Yi,Zi=0x=x1At方法二空间曲线C也可用参数方程表示，即y=y1+Bt,其中t为参数。z=z1Ct经过C上任意一点(x(t),Y(t),z(t),作P的垂直线方程为,'x=x(t)+s0A,sz贝t该

21、垂直线方程可写成参数式ymyOsoB,ABCz=z(t)+s0C.代入平面P的方程求出s,记为s。：S0=-Ax")¥(?+/).，设t在C的0A2B2C2定义域内变动，即得l的参数方程如上，注意，当t变动时，so不是常数。特别地，若P为xoy平面，则A=B=D=0,C=1x二xt于是l的参数方程为y=y（t）,即曲线C在xoy平面上的投影曲z=z（t）+s0c=0线只要将其参数方程中的z=z（t）换成z=0即可。_22例11、求空间曲线C:，x=yz在平面n：x2z=3上的投影曲线的方程。|x=2z解投影曲线的方程可看作平面P和经过空间曲线C且垂直于平面P的柱22面的交线

22、。先求柱面方程：柱面的准线方程为Xyz=0,母线方向为x-2z=0b=（1,0-2），设点M（x,y,z）是柱面上一点，点Mi（x1，y1，乙）为准线22_x=x+t,上一点，则有x1，y1,z1及y1z1=0,Jy=y1,由以上两式消去x1一2乙=0;k(z=z12t.t,可得柱面方程为4x2+25y2+z2+4xz-20x-10z=0.故投影曲线方程为x-2z=3,。2224x25y-z4xz-20x-10z=0.Jx=3cos1,例12、求曲线C:y=4sin9,(0<9<2)在平面x+y+z+1=0上的投影曲z=5,线的方程。5-=s5,则该垂直线方程可写成参数式：1解：经

23、过已知曲线C上任意一点（x（e）,y（e）,z（e）作已知平面的垂直线方程为gos二二113cos-4sin-51x=3cos1s,<y=4sin6+s,代入已知平面方程求出S,记为s0:s0=z=5s.x=3cos丁包，是得到投影点的坐标：1y=4sin8+s0,上式即为所求投影曲线的参数方程。z=5s0.总结，由上面可知，点与曲线在空间的投影在解析几何中地位的重要性，将它总结归纳可以为以后研究解析几何提供了便利。结束语综上所述，数学研究就是不断总结学习新知识的过程，通过研究学习不断发现问题，并将其改正完善。在本节所涉及点与曲线在空间的投影就是通过总结以前所学的知识，找出解决的办法，并将我们容易出错的地方分析研究，不但采用具体实例说明，而且采用数形结合，可以让我们直观地发现问题，为解析几何研究提供便利，另外，本文将点与曲线在空间投影扩展到由曲线围成的立体图形也给了研究和分析的投影，为今后数学研究提供了很好的素材。【参考文献】1同济大学数学教研室.高等数学