灰色理论系统预测

1、灰色系统预测重点内容：灰色系统理论的产生和开展动态,灰色系统的根本概念,灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别,灰色系统预测GM(1,1)模型,GM(1,N)模型,灰色系统模型的检验,应用举例.1灰色系统理论的产生和开展动态1982邓聚龙发表第一篇中文论文?灰色限制系统?标志着灰色系统这一学科诞生.1985灰色系统研究会成立,灰色系统相关研究开展迅速.1989海洋出版社出版英文版?灰色系统论文集?,同年,英文版国际刊物?灰色系统?杂志正式创刊.目前,国际、国内200多种期刊发表灰色系统论文,许多国际会议把灰色系统列为讨论专题.国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著500屡次.灰色系统理论已应用范

2、围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域,成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题,取得了显著成果.2灰色系统的根本原理2.1灰色系统的根本概念我们将信息完全明确的系统称为白色系统,信息未知的系统称为黑色系统,局部信息明确、局部信息不明确的系统称为灰色系统.系统信息不完全的情况有以下四种：1 .元素信息不完全2 .结构信息不完全3 .边界信息不完全4 .运行行为信息不完全4.2 灰色系统与模糊数学、黑箱方法的区别主要在于对系统内涵与外延处理态度不同；研究对象内涵与外延的性质不同.灰色系统着重外延明确、内涵不明确的对象,模糊数学着重外延不明确、内涵明确的对象.“黑

3、箱方法着重系统外部行为数据的处理方法,是因果关系的两户方法,使扬外延而弃内涵的处理方法,而灰色系统方法是外延内涵均注重的方法.4.3 灰色系统的根本原理公理1：差异信息原理.“差异是信息,凡信息必有差异.公理2:解的非唯一性原理.信息不完全,不明确地解是非唯一的.公理3:最少信息原理.灰色系统理论的特点是充分开发利用已有的“最少信息.公理4:认知根据原理.信息是认知的根据.公理5:新信息优先原理.新信息对认知的作用大于老信息.公理6:灰性不灭原理.“信息不完全是绝对的.4.4 灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过10多年的开展,已根本建立起了一门新兴学科的结构体系,其主要内容包括以“灰色朦胧

4、集为基础的理论体系、以晦涩关联空间为依托的分析体系、以晦涩序列生成为根底的方法体系,以灰色模型G,M为核心的模型体系.以系统分析、评估、建模、预测、决策、限制、优化为主体的技术体系.灰色关联分析灰色统计灰色聚类3灰色系统预测模型灰色预测方法的特点表现在：首先是它把离散数据视为连续变量在其变化过程中所取的离散值,从而可利用微分方程式处理数据；而不直接使用原始数据而是由它产生累加生成数,对生成数列使用微分方程模型.这样,可以抵消大局部随机误差,显示由规律性.3.1灰色系统理论的建模思想下面举一个例子,说明灰色理论的建模思想.考虑4个数据,记为X(o)(1),x(o)(2),x(o)(3),x(o)

5、(4),其数据见下表：序号1234符号X(0)(1)X(0)(2)X(0)(3)X(0)(4)数据1234将上表数据作图得X上图说明原始数据X没有明显的规律性,其开展态势是摆动的.如果将原始数据作累加生成,记第K个累加生成为X(K),弁且X(1)=X(0)(1)=1X(1)(2)=X(0)(1)X(0)(2)=12=3X(1)(3)=X(0)(1),X(0)(2),X(0)(3)=1,2,1.5=4.5X(1)(4)=X(0)(1)X(0)(2)X(0)(3)X(0)(4)=121.53=7.5得到数据如下表所示序号1234符号X(1)(1)X(2)X(3)X(4)数据134.57.51.数列

6、预测GM(1,1)模型灰色系统理论的微分方程成为Gm模型,G表示gray(灰色),m表示model(模型),Gm(1,1)表示1阶的、1个变量的微分方程模型.Gm(1,1)建模过程和机理如下：记原始数据序列X(0)为非负序列X01,x02,x03,.,x0n,其中,x(0)(k),0,k=1,2,n其相应的生成数据序列为X(1)XQ)=以1l)x(42)x.3).,x.in)k其中,x(1)(k)八,x(0)(i),k=1,2,ni1为X(1)的紧邻均值生成序列Z底z,z(2),z(n)J其中,Z(k)=0.5x(k)0.5x(k一1),k=1,2,n称x(0)(k)+az(k)=b为Gm(1

7、,1)模型,其中a,b是需要通过建模求解的参数,假设a=(a,b)丁为参数列,且(0)(2)1-z(1)(2)x(0)(3)m_x(0)(n)-zI-z(4)-z1111那么求微分方程x(0)(k)+az(k)=b的最小二乘估计系数列,满足程,T1Ti?=(BB)BY.(1)称生一+ax(1)=b为灰微分方程,x(0)(k)+az(1)(k)=b的白化方dt也叫影子方程.如上所述,那么有(1)1 .白化方程"+ax6=b的解或称时间响应函数为dto(1)(1)b、旬b?(t)=(x(0)-)eaa2 .Gm(1,1)灰微分方程x(0)(k)+az(k)=b的时间响应序列为?(1)(k

8、1)=(x(1)(0)-b)e“kb,k=1,2,naa3 .取x=x?1),那么0(1)(k1)=(x(0)(1)-)ek-,k=1,2,naa4 .复原值?(0)(k1)=5?(1)(k1),)(k),k=1,2,n2.系统综合预测GM(1,N)模型P1344灰色系统模型的检验定义1.设原始序列V(0)；.(0)(0)(0)X二x(1),x(2),x(n),相应的模型模拟序列为0(0)=.(0)(1),0(0)(2),-,？(0)(n)残差序列；(0)=七,；,;(n:(0)(0)(0),0(0)(0)(0)=x-父(1),x(2)-？(2),x(n)-5?(n),相对误差序列式2)(0)

9、级n)X°1 .对于女！称纵=|为k点模拟相对误差,称'J悬为滤波相对误差,称A*为平均模拟相对误差；2 .称1为平均相对精度,1-酬为滤波精度；3 .给定豆,当<a,且成立时,称模型为残差合格模定义2设X(0)为原始序列,父为相应的模拟误差序列,名为X(0)与?°)的绝对关联度,假设对于给定的%>0NA8,那么称模型为关联合格模型.定义3设X(0)为原始序列,£(0)为相应的模拟误差序列,名为残差序列.nx=lfx(0)(k)为X(0)的均值,n心nS2E(x(0)(k)-X)2为x(0)的方差,nkmn1=-lL8(k)为残差均值,nkin

10、s2£(8(k)-G2为残差方差,nkm1 .称c=s为均方差比值；对于给定的c0>0,当c<c0时,称模型为均方差比合格模型.2 .称p=pg(k)-4<0.6745S1为小误差概率,对于给定的P0>0,当PP0时,称模型为小误差概率合格模型.精度检验等级参照表相对误差1关联度均方差比小误差概'.界性、精度挛级fJ值率一级0.010.900.350.95二级0.050.800.500.80三级0.100.700.650.70四级0.200.600.800.60般情况下,最常用的是相对误差检验指标.5应用举例例1设原始序列Y(0)口0)(0)/6v(0

11、)/Qv(0)(0)/Q；X=x(1),x(2),x,x(4),x(5),=2.874,3.278,3.337,3.390,3.679建立Gm(1,1)模型,并进行检验.1-AGO,A解：1)对x(0)作1-AGO,得D为X的一次累加生成算子,记为cumulatedGeneratingOperator(1)(1)(1)(1)(1)!(1)(1)/.xz(1)/Qxz(1)(1)/C,x(2),x,x(4),x(5=2.874,6.152,9.489,12.579,16.5582)对x(1)作紧邻均值生成,令Z(k)=0.5x(1)(k)0.5x(1)(k-1)(1)(1)(1)(1)(1)(1

12、);Z=z,z(2),z(3),z(1)(4),z(5=2.874,4.513,7.820,11.84,14.718于是,-z(1)(2)-z(1)(3)-z(4)z(1)(5)1111I-4.5131-7.820-11.84-14.7181111-x(0)(2)Ix(0)(3)x(0)(4)X0)(5)一3.2783.3373.3903.679BTB=,|-4.5131-7.820-11.1841-4.513117.8201-14.718.1I-11.84114.718L423.221一1-38.235-38.235(BB)J一423.221=1-38.2354-38.23541423.22

13、1父438.23520.0173180.165542=10.16655421.832371-一438.2351|38.235423.221-1-230.969i?=(BB)JBY438.235J38.235423.2213.2780.0173180.165542.-4.513-7.820-11.184-14.7181.3.337|0.16655421.832371*|1J13.3903.6790.0873860.030115-0.0281431.0852800.537833-0.019051-0.08934410.6040763.278*|3.337-13.3903.679_-0.037156

14、1一I3.065318_3)确定模型dx-0.037156x(1)=3.065318dt及时间响应式,(k1)=(x(0)(1)-b)ekbaa=85.3728e0.037156k-82.49864)求X(1)的模拟值父二梦*/)=(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538)5)复原由X的模拟值,由父(k1)=?(1)(k1)一？(k)得)?(0)=夕0)(1),?(0)(2),姆(3),娉(4),?(0)(5)=(2.8740,3.2318,3.3541,3.4811,3.6128)6)误差检验序号实际数据模拟数据残差相对误差x(0)(k)娉(k)8(k)=x

15、(0)(k)？(0)(k)、外k)k一x(k)23.2783.23180.04621.41%33.3373.3541-0.01710.51%43.3903.4811-0.09112.69%53.6793.61280.06621.80%残差平方和2)98/V/V/V/Vsees2/V-艮-S0.04621-0.0171-0.09110.0662=b.0462-0.0171-0.09110.06621*=0.0151085平均相对误差1.1：=一%k(1.41%0.51%2.69%1.80%)4km4=1.0625%计算X与X的灰色关联度一二1S=Z2(x(k)-x(1)+-(x(5)-x(1)1

16、=(3.278-2.874)+(3.3372.874)+(3.390-2.874)+2(3.679-2.874)=0.404+0.463+0.516+0.4025=1.78551§=£(2(k)-父+二刈切？k=22一一,一一一一一,1一=(3.23182.874)+(3.35412.874)+(3.4811-2.874)+(3.61282.874)2=0.3578+0.4801+0.6071+0.3694=1.8144c4ri1rS?-S=2(x(k)x(1)(网k)?(1)+(x(5)x)(鼠5)9(1)y21=(0.3578-0.404)+(0.4801-0.463)

17、+(0.60710.516)+(0.36940,4025)2=-0.0462+0,0171+0.091-0.01655=0.04535&_1+S+S?_1+1,7855+1.8144_4,5999-1+|S|+|S?+S?_S-1+1.7855+1.8144+0.045354.64525=0.9902>0.90精度为一级,可以用父(k1)=85,3728e0.037156k-82.4986及(k+1)=父(k+1)-及(k)预测.例2某大型企业1997-2000年四年产值资料年份199719981992000产值万元27260295473241135388试建立Gm(1,1)模型

18、的白化方程及时间响应式,弁对Gm(1,1)模型进行检验,预测该企业2001-2005年产值.解：设时间序列为v(0)；(0)(0)(0)/X二x(1),x(2),x(3),x(4),=(27260,29547,62411,35388)X£x(1)(1),x(1)(2),x(1)(3),x(1)(4)=27260,56807,89218,1246062)对X作紧邻均值生成,令Z(1)(k)=0.5x(1)(k)0.5x(1)(k-1)Z='：z(1)(1),z(2),z(1)(3),z(4)：'二(27260,42033.5,73012.5,106912于是,一zB=-

19、z(3)-z(1)(4)1111-42033.511-73012.51,10691213司令/V/V/VX7X7X7ooO(XXX-2954713241135388对参数列M=a,b/作最小二乘估计,o>_(bTb)b、,_0.0899951d(BB)BYOO'2|25790.28(1)设也一ax6=bdt由于a-0.089995,b=25790.28可得Gm(1,1)模型的白化方程dx(1)-0.089995X=25790.28dt其时间响应式为c(1)(0)/、b-akb0.089995k次(k1)=(x-)e=313834e-286574aa?(0)(k1)=x(1)(k1

20、)一父(k)由此得模拟序列火=%(1),及(0)(2),婢(3),娉(4户=(27260,29553,32336,35381)检验：残差序列为；(.)=(；(°)(1),；(°)(2),；(0)(3),;(4)=(0,-6,75,7)A,=*(1)(°)(4)(0),(0),(0),(0)X(1)x(2)x(3)x(4)(0)(0)(0)=(0,0.0002,0.00231,0.0002)-含(1,2,3,：4)平均相对误差-0.00068-0.068%:二0.01模拟误差与=0.0002=0.02%<0.01精度一级计算x(0)与父(0)的灰色关联度名3,

21、c、,c、1小,c、_亏“0)心、y(0)+/y(0)(ay(0)m-ddC09乙(x(K)-x(I)十一(X(4)x(I)-11OU2y2cc1cc=£(洌k)?(1)+(X4)?(1)=11429.5k=22S?-S3Z1.°)(k)-X(0)(1)-(x(0)(k)-x(0)(1)1+1(X(O)-X(0)(1)-(x(0)(4)-x(0)(1)】=72.51+|s|十S?1+|S|+§+s?-sk=221115O211429.5二O.997O.9O1115O211429.572.5精度为一级计算均方差比14x='、x(o)(k)=31151.54k

22、m91.4(n).S12二'(x(o)(k)-x)2=9313116.25,S1=3051.744km,1；二一'；(K)=194Km14_S；(；(k)二)2=1066.5,s2=32.664km所以,c=&=-=O.O11cO.35,均方差比值为一级S13O51.74计算小误差概率O.6745S1=2058.40二25乳1)一可=19,卜(2)词=2583)-s|=56,£(4)=12所以,p=p(；«)一；|：二0.6745s1)=1O.95小误差概率为一级,故可用中"(k1)=313834e°.O89995k-286574

23、?(0)(k1)=?(k1)-,(k)进行预测,2001-2005年预测值为乂(°)=10(°),次(°),婢,父(8),娉(9)：'=(38713,42359,46318,50712,55488)例3预测实例,某企业2001-2005年的工业总产值年份20012002200320042005总产值1.671.511.032.141.99建立Gm(1,1)模型的白化方程,预测2006-2021工业总产值.X(0)?x(0)(1)x(0)(2)x(0)(3)x(0)(4)x(0)(5)八一X(J),X(乙),XI.),X(r),X(J)二(1.67,1.51

24、,1.03,2.14,1.99V(1);(1)(1)(1)(1)(1),X=x(1),x(2),x,x(4),x(5).-?1.67,3.18,4.21,6.35,8.43对X(1)作紧邻均值生成,令Z(1)(k)=0.5x(k)0.5X(k-1)Z6=殳,z(2),z,z(1)(4),z(5=1.67,2.425,3.695,5.28,7.34511112345/V/V/V/VX7X7X7X71111(zzzzm-B-2.42511-3.6951-5.281,-7.3451-x(0)(2)1x(0)(3)x(0)(4)84.50191121-2.425-3.695-5.28111-2.425

25、1-7.34511-3.69511JJ-5.281-7.3451-101.361-18.7451-18.74544(BB)=0.073980.346690.346691.8747bV=,|-2.425-3.695-5.28111-7.345.11.5111.032.14199一一I-33.38335IL6.67a>=(BTB)B1Y=-0.0379800.346691/-33.3833510.346691.8747l|6.67_-0.157一|0.931_(i)方程为-ax(1)二bdt,(i)-x-0.157x(1)=0.931dt及时间响应式X(1)(k1)=(x(0)(1)-)ekbaa=(1.675.93)e0.157k-5.93=7.6e.157k_5.93求X(1)的模拟值火=：x(1)(