导数的综合应用检测题

1、导数的综合应用检测题一、选择题1函数y(2x1)3 的图象在 ( 0, 1) 处的切线的斜率是。 。（）A.3B.6C.12D.12函数y13xx 3 有。（）A. 极小值1，极大值1；B. 极小值2 ，极大值3；C. 极小值2 ，极大值2；D. 极小值2，极大值33函数y4xx4 ，在 1,2 上的最大、 最小值分别为。 。（）A.f (1), f (1)B.f (1), f (2)C.f (1), f (2)D. f (2), f (1)4下列结论中正确的是。 。（）A 导数为零的点一定是极值点B. 如果在 x0 附近的左侧f' (x)0 ，右侧 f '( x)0 ，那么

2、f (x0 ) 是极大值C. 如果在 x0附近的左侧f ' ( x)0，右侧 f '( x)0，那么 f ( x0 ) 是极小值D. 如果在 x0附近的左侧f '( x)0，右侧 f ' (x)0，那么 f ( x0 ) 是极大值5函数 y( x1) 3 当 x1时。（）A.有极大值 B. 有极小值C.即无极大值，也无极小值D. 无法判断6f ( x) x3ax2(a 6) x 1有极大值和极小值，则a 的取值范围为。 。（）已知A.1 a 2B.3 a 6C. a1或a 2D. a3或a 67函数 yx 32axa 在 (0,1)内有极小值，则实数a 的取值范

3、围为。 。（）A.(0,3)B.(,3)C.(0, )D. (0, 3)28函数 yx33x 29x 5 的极值情况是。 。（）A. 在 x1处取得极大值，但没有最小值B. 在 x3 处取得极小值，但没有最大值C. 在 x1处取得极大值，在 x3 处取得极小值D.既无极大值也无极小值9下列结论正确的是。 。（）A. 在区间 a,b 上 ,函数的极大值就是最大值B. 在区间 a,b 上 ,函数的极小值就是最小值C.在区间 a,b 上 ,，函数的最大值、最小值在x=a 和 x=b 时达到D. 一般地，在闭区间 a,b 上的连续函数 f ( x) 在 a,b 上必有最大值与最小值10抛物线 yx2

4、到直线 xy 2 0 的最短距离为。 。（）A. 272C。2 2D 。以上答案都不对B 。8二、填空题11已知函数 yx 3ax 2bx27在 x1 处有极大值，在 x 3处极小值，则a， b。12已知函数 yf (x)x3px 2qx 的图象与 x 轴切于非原点的一点，且y极小4 ，那么 p， q13做一个容积为256 升的方底无盖水箱，则它的高为时，材料最省。14. 已知函数 f ( x)x33ax 23(a2)x1有极大值又有极小值，则a 的取值范围是三、解答题15已知函数 y f ( x) ax 5bx3c 在 x1处有极值，且极大值是4，极小值是0，试求 f (x) 的表达式。16

5、设函数yf ( x)ax 3bx 2cxd 的图象与y 轴的交点为P 点，曲线在点P 处的切线方程为 12xy40 。若函数在x2 处取得极值0，试求函数的单调区间。17已知函数yf ( x)ax 36ax 2b在 1,2 上的最大值为3，最小值为29 ，求 a 、 b 的值。18.(05 重庆文 )设函数f ( x)2 x33(a1) x26ax8, 其中 aR.（ 1）若（ 2）若f ( x)在x3 处取得极值，求常数a 的值；f ( x)在(,0) 上为增函数，求a 的取值范围 .19(08 广东卷 )某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10 层、每层2000

6、 平方米的楼房 .经测算，如果将楼房建为x(x 10) 层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元） . 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用购地总费用）建筑总面积20. （ 05 山东卷）已知 x 1 是函数 f ( x) mx33(m 1)x2nx1 的一个极值点，其中m, nR, m0 .（I）求 m 与 n 的关系式；（ II ）求 f ( x) 的单调区间；（III）当 x1,1 时，函数 yf ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于3 m ，求 m 的取值范围 .参考答案一、选择题1.B

7、. 解析： y'3(2x1)2 26(2x 1) 2 ,ky' x 062.C. 解析： y'3x233( x1)( x 1) ，讨论 (,1), 1, ( 1,1),1,(1,) ，得答案 C3.B. 解 析 ： y' 44x34(1x)(1xx 2 )4(1x)( x1 ) 23 ，讨论点241, ( 1,1),1, (1,2),2 ，得答案为B.4.B. 解析：根据函数的单调性与导数的关系和极值点的定义5.C.解析： y'3( x1) 2 , 令 y'0得 x1,但在 (, 1)和(1, )上 y'0 ，函数都单调递增，所以 x1不

8、是极值点 .6.D. 解析： f ' (x) 3x 22ax(a6) ，要使 f (x) 有极大值和极小值， 只需 f ' ( x)0 有两个不同的根即可。即：4a 243(a 6)0 ，解得： a3或a67.D. 解析： f ' ( x) 3x 22a0, x2a，由题意知只要02a1,即0 a33328.C.解析： y'3x26x93(x3)( x1)0, x3或 x1，见下表x(, 1)1(-1,3)3(3,)y'00y增函数极大值减函数极小值增函数易知答案为C。9.D. 解析：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值，

9、在闭区间上，函数的最值不一定在区间端点取得。10.B 。 由 yx2 ,得 y' 2x, 令 y' 1, 则 x1， 所 以 抛 物 线 yx2 上 点 ( 1,1) 到直线2241122472xy 20 的最短距离，最短距离为，故选 B28二、填空题11 3, 9.解析：由题意 y'x 22axb的两根为和由根与系数的关系得，3013,12aba3, b93, 1 3,3312 6，9解析： y'3x22 pxq，令切点 (a,0)，则f(x)(2px q)0有两x x个相等实根 a ，且 a 0， x 2pxq(xa)2 ,f ( x)x( xa) 2f &

10、#39; ( x)( x a)( x 3a) ，令 f ' (x)0, 得 xa或 xa。3x时，4,ay极小4，即4 34,a3，af (a) 0f ( )a327 x 2px q( x3) 2,p6, q913。解析：设方底无盖水箱的底面边长为x 分米，高为 h 分米，则 x2 h256，全面积S x24xhx21024 ,令S'2x10240，得 x8, h4 ，由本题的实际意xx2义可知当高为4 分米时，材料最省。14解析： f (x) 为三次多项式， 从而 f '( x) 为二次函数。 若 f ' ( x)0 无实数根或有重根，则 f ' (x

11、) 为非负或非正。从而f ( x) 是单调函数，不会有极值。故若f (x) 有极值，则应是f ' (x)0 有不同实根、() ，此时 f ' ( x) 在 ( ,)与在 (, )( ,) 上符号相反，所以f ( x) 在、处取得极值，且一为极大一为极小。综上所述，可知f (x) 有极大值又有极小值的充分必要条件是f ' (x)0 有两个不同实根。f '( x) 3x 26ax3(a2) ，令 f ' (x)0 得方程 3x26ax3(a2) 0由0 得 (2a)24(a2)0，即 a 2a2 0,a(, 1) (2,)15解析： f ' ( x)

12、 5ax43bx2 ，函数 yf (x)ax5bx3c 在 x1 处有极值，f ' (1)0, 即5a3b 0, f ' (x)5ax 2 ( x21)当 x( 1,0)或 x(0,1)时， f ' ( x) 的符号不变， x0不是 f ( x) 的极值点。f (1)4或 f (1) 0a3a3由题意得，解得b5或 b5f ( 1)0f (1)4c2c2f (x)3x 55x32或 f ( x) 3x 55x3216。解析：函数yf ( x)ax 3bx 2cx d 的图象与 y 轴的交点为 P 点，点 P(0, d ),y' x 0c, 曲线在 P 点处的切线

13、方程为ycx d由题设知，曲线在点P 处的切线方程为 12 x y40 ，c12,d4又函数在 x2 处取得极值0，f ( 2)0, f ' (2)0,a2,b9f ( x)2x39x212 x 4, f ' ( x) 6( x 1)( x 2)由 f ' ( x)0，得 x2或 x 1; f ' ( x)0,得1x 2所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (,1)和(2,) ，单调递减区间为(1,2) 。17。解析： f '( x)3ax212ax3ax (x4) ，令 f '( x)0,得， x0或 x 4若 a0 ，则由 f '

14、 ( x)0,得1x0； f ' (x)0,得0x 2 ，所以 f (0)3, 从而b 3。由，得32此时49129，所以f (1)29a,f (2)77f (2)29,a2 ；若 a0 ，则由 f ' ( x)0,得 1x0； f ' ( x)0,得0x 2 ，所以 f (0)29,b29 。由 f (1)3，得 a32 , 此时 f ( 2)3093，所以 f (2)3, a277综上所述，a2，或 a2b3b2918.解：（） f( x)6x 26(a1) x6a6(xa)( x 1).因 f (x)在x3 取得极值，所以 f(3)6(3 a)(3 1)0.解得

15、a3.经检验知当 a3时, x 3为f ( x) 为极值点 .（）令 f( x)6(xa)( x 1)0得x1a, x21.当 a1时, 若x(, a)(1,), 则f ( x)0,所以 f ( x)在(,a) 和 (1,) 上为增函数，故当 0a1时, f ( x)在(,0) 上为增函数 .当 a1时, 若x(,1)(a,), 则f(x)0, 所以 f ( x)在(,1)和(a,) 上为增函数，从而f ( x)在(,0 上也为增函数 .综上所述，当 a 0,)时,f ( x)在(,0) 上为增函数 .19. 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f （ x）元，则f x56048x216010

16、00056048x 10800 x 10, x Z108002000xxf x 48,令 f x0 得x 15x2当 x15时， f x 0；当0x15 时， f x0因此 当 x15时， f （ x）取最小值f152000；答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15 层。20（考查知识点：函数结合导数）解 (I)f ( x)3mx26(m 1) xn 因为 x1 是函数 f (x) 的一个极值点,所以 f (1)0 , 即3m6( m1)n0 ，所以 n3m 63m(x 1)x2（II ）由（ I）知， f (x) 3mx216(m1)x3m6 =m12当 m1f ( x) 与 f(x) 的变化如下表：0 时，有m ，当 x 变化时，x21221,1m1,1mmf (x)0000