洛伦兹力问题中运动半径的求解方法!

1、高考热点：洛伦兹力问题中运动半径的求解方法!每日头条“磁场”是高中物理的主干内容，在历年高考中经常出现，特别是带电粒子在匀强磁场中受到洛伦兹力的作用而做匀速圆周运动的问题，更是每年高考必定考查的内容之一带电粒子（不计重力）垂直进入匀强磁场将受到洛伦兹力的作用，该力充当圆周运动的向心力而使带电粒子做匀速圆周运动，有qvB=mv2/R,显然只要已知圆周运动的半径，就可利用相关条件求解带电粒子的速度、质量、电荷量或磁场的磁感应强度等物理量，而关于粒子运动的半径，则一般利用数学有关知识求解，这是典型的利用数学方法解决物理问题.本文主要讨论带电粒子在磁场中运动的问题中确定运动半径的几种方法.一、直接观察

2、法顾名思义，所谓直接观察法，即不借助几何知识而直接观察得到半径的方法，在实际问题中一般有两种情况：其一是带电粒子进入磁场做完整的圆周运动或半圆周运动；其二是带电粒子在磁场中的运动轨迹是1/4圆周.【调研1】如图所求,竖白线MTV间扪离为外其间存在垂直纸而向里的匀强磁场.磁感应强度为氏。是MV上点,。处有一粒/源.某时刻放出大就速率均为“方向均垂江磁场方向）、比荷定的带负电粒门粒垂力及粒何的相互作用力不计）,已知沿图中与MN成Q60。角射出的粒作恰好垂直尸。射出磁场，贝u粒r在磁场中运动的最K时间为（）A.巴B.3生C.牝D.也3u3v3vv。*KXXXKBXWULJ2*Jc【解析】I当企=60

3、时,粒子的运动如图甲所示.则kKsm30,即火=2小设带电粒广在磁场中运动轨迹所对的圆心角为a,则其在磁场中运行杼时间为片即a越大，粒广在磁场中速行时间越K,4最大时粒子内运行轨迹恰好与磁场的右边界栩切,如图乙所示,闪出二2a.此时网心角为120、即伊氏运行时间为三,而六*二坦，所以粒子在磁场中运动的破长时间为fVV竽.C正确，答案：C.Sv【调研2如图所示,水平地面上仃州定的长方形绝缘光滑水平分面，KtPQ边长5】n,M尸边长4m,平行板电容器的极板C。间即rf=lm,且垂直放逐于台面,C板位于边界MPk.D板与边界相交处有一小孔.电容端外的区域内仃磁感，葩强度大小为B=1T、方向胶直向上的

4、匀强磁场，质Q尸1乂10,kg、电荷量行1菖IQ1。C的带正电微料晶止于。处.在:dD间加上电晨。板电势高于D板.板何电场可看作匀强电场，微粒经电场加速后由。板所开小孔进入磁场（微粒始终不。极板接触3假定整个装置处在直空中，微粒在整个运动过程中电荷量保持不变1&g*10m/s电压大小可调.加速由JK不同，微粒离开平台的位置将不同.如要求微粒由严。边界离开台面，求加速电F的范南.【解析】微粒在磁场中运动俯视乐意图-临界轨迹图如图所示.微粒运动半径最大时，从。点阳开平台，如图中轨迹I,容易看出RIml在磁场中行介山f吟：血在电场中仃q5二|打印/，可得5=V.力微粒运动不存最小时，轨迹与尸0边界相

5、切r如图中轨迹1,昂然2殳0】1,型R=2m同理可出5=2V加速也压的范!13为2VUW8V：二、三角函数法由于洛伦兹力的方向跟带电粒子的运动方向垂直，因而很容易在此类问题中构建直角三角形，这就为利用三角函数求运动半径提供了便利条件，所以在已知相关角度的情况下我们可以灵活运用这种方法.【调研3】如图所示，S处有电子源,可向纸面内任意方向发射电广，平板垂直F纸面,在纸面内的长度L=9Jcm,中点。与S间的距离上4.55cm,MN与SO直线的夹角为6,板所在平面有电广源的-平区域有方向垂直于纸面向外的匀强于场，磁感应强度3=2,0乂104Tq电F质子=9.1乂1。小峪电量中6xlOllC,不计电干

6、重力电/源发射速度v=L6xlOm/s的一个电子该电干打在板上可能位置的区域的长度为/，贝J()A.090时，/=9.1cmB.A60时，/=9,1cmC.445时，W.55cmD.我=30“时，A=4.55cm【解析】AD据题意，由于电子受到的洛伦兹力提供向心力，有“8=弓，则电f做匀速网周运动的轨道半径:R=4.55102m=4.55cmr而D正确,B、C错误.【科研4如图所示，H角三用形。4。区域内存在方向垂仃.纸面向外7的勺强磁场./230,。为力。的中点.现有比荷相同的两个分别带7正、负电的粒子（不计用力）沿0c方向同时从。点射入磁场.卜列为.说法正确的是（）/7A.若有一个粒;从。

7、4边射出磁场，则另一个用f一定从OD边射出J、磁场B.若有一个粒子从0D边射出磁场,则另一个粒子一定从C1边射出磁场C.若两个粒/分别从4C两点射出磁场，则它们在磁场中运动的时间之比为2:1D.若两个粒f分别从4D两点射出磁场,则它们在磁场中运动的轨道半径之比为1：6【解析】山孙田二。，凯道、匕径及二林.由题点可知，两个粒子分别沿顺、逆时针方向偏转.但它们的逑率大系未如，轨道向偏茬系也未如,选项A、B均错说:若两个粒广分别从D阚点射出磁场，如图所示,斛a=60,30，OA=ODim30%我产上，R产正.君贝夫=1：3,选项D错误；两个粒广比荷相同.则粒广的3thm口融&自冏期4当相同.由H或丁

8、、2鲁工存小：-23答案.C.3JQlVJfrU【调研5】如图所示：，等腰;粕尼。尸P中.用为产g的中点rFQKL/3。，此区域内及其边界上充满方向垂i纸面向里的匀强磁场，-质状为E电荷代为0的带正电精于以速度丫沿H0方向从4点射入二珀形。尸。区域，要使该粒子在三角形OF0区域中运动的时间最上磁场的磁盛附强度B应为多大？并求在磁场中运动的最长府间【解析】由知，仙，一定时，加长5最大，即轨迹概弧恰好/OPV边相切（如图所示）时F最大.设轨迹圆弧9OP边栩切时回弧的半径为R有RC=L由于伊BSLQtf=r,解得8三Rql显然域广在磁场中电动的疏长时间=今=耳三、勾股定理法如上所述，在洛伦兹力问题中

9、非常容易构建直角三角形，且在已知相关角度的情况下可以利但在实际问题中，有时并不知道有关夹角的情况，这时我们用三角函数知识求得运动半径.就可以采用勾股定理求解运动半径.【调研6如图所示，*5,平面的一、二、三象限内存在垂直纸F度大小为2=1T的勾邮磁场.ON为处广,轴上的弹性绝缘薄挡板，长度为9m.M点为“轴上一点，OM=31n,现有一个比荷2=1。馋、可视为质点的带正电小球（出力不计）从挡板卜端N处小孔以不同的速度沿x轴负方向射入磁场,若与搭板和施就以原速率弛回，IL碰撞时间不计,碰撞时电荷最不变，小球最后都能经过“皮，则小球射入的速度大小可能是（）A.3iii/sB.3.75111/sC.4

10、5111/sD.5nVs【解析】依题意可知，小球运动的圜心的位置一定在黄轴上，小球做13周运动的半径一定大于或等于3m,而QVfW3,所以小球最多与挡板QV碰撞一次，若碰撞一次,则第二个恻心的位置在。点或。点的上方：若不碰撞,则小球H接经过M点.由于洛伦效力提供向心力,仃2=,上，得廿丝re若小球与挡板ON碰撞一次.则轨迹可能如黑甲所示.设QO=d,在A8iM中由勾股定理得/=OM工cf且（i=3rON联立得八三3in.n=3.75in分用J代入知髀=3m/sv=3.75m/s若小球没有与玉板次硼描,则轨迹如图乙所示，设8户，由勾股定理御门?三OMc:ifijc-ON-r3联立得，产5m，代入

11、得V3=5m/s,答案；ABD四、正弦定理法对于直角三角形而言，在已知任意两边的情况下可用勾股定理方便地求出第三边.但在非直角三角形中，自然不能再使用勾股定理此时如果已知任意两角及其中一角的对边，则可利用正弦定理求得另一角的对边，进而求得运动半径【调研7】在中爵j内的m四软限中.工轴匕64范阳足端大的匀崩磁场，.唠应崩度大小为斗方响垂武断面向里.I轴有范惘足他大的匀强电场【含r轴倒争他，场强大小为E,方向3轴正方向相反.在.式力警面内仃点00点到。点的距离为L,直线OQ与上轴正方向的夹角为仇如图所示.现仃个电荷让为如质依为m1的带负电粒r位/1轴负半轴上的某小，忽略粒子值力.将粒加用止野放.该

12、粒，在第次的磁场返回电场的过程中恰好通过。点，求设粒子在磁场中的运动半径R.若在I源半轴I二P点将粒门打静止薜放，粒子在第：次进入磁场的过程中恰好通过。疝，且河配卜求产点到7点的用离才【解析I(1濯子由静止释放,口一次由磁场返利也场的11程中的运动轨迹如图甲所示,则由匚角函数求得运动半径尺三上粒子在电场中加瑰后进入磁场仃亚=?加工I此行杭广在匀强磁场中做勺速M同运动.如图乙所示，设速度为华径为小根据牛顿第一定律1尹=,心设粒子第7欠进入磁场做M周运动的圆心为。,连接炉口说O。之阿的夹加为m由亚茏定理得上=工安口丞anW联立解得上山叵q炉工+型血4五、余弦定理法有的洛伦兹力问题中，已知的长度比较

13、多，但角度只有一个且不是直角，勾股定理与正弦定理均不能直接使用，可考虑利用余弦定理来确定半径，进而求解有关物理量.tWa在T径为/?的1强形区域中仃匀强磁场.磁场的方向维纸胤，磁撼同强度为艮一质量为例带仃电/为宁的朴广以定的速度.沿乖北半I刘春仲AD方向经尸点射入磁场（不计粒广由力彩响）.（I）如果粕恰好从乂点时由礴场.求入时户的速博iV（2）如果粒子经纸面内Q点从磁场中射出,出稣方向。平切在。点切线力响峋龙用为单（如图所小）,求入射粒干的遽股解析】）由r粒/在尸点乖口射入磁场,故加帆轨道的弱心4?p匕4PMFi件,轨迹圈的半径可自陵观里得到.为为=：粒入射粒广的速度为由？缶技力的表达式和牛顿

14、第二定小掰中记二吗1由式帆加I产典W破5总料在磁场中1利弧轨道的园心，连接g。，由麻萨痴由几何美索得二上3。产夕向8产a+RM由余弦定理4!h（OO,y=R；-+R2R2RcosipHl5式版ThR尸.陞;；回i殳入射粒广的速强为。由曾建=晒总R.由式解得：I，产3得GR-乎【调研9】使川网旋加速器的实验需要把离广束从加速8s中引出.离广束引出的方法有磁屏蔽通道法和部电偏转法明质状为，速度为】，的离f在回旋加速器内旋转,轨道时半件为，的I,国心在。点,轨道在垂直道面向外的匀强罐场中,磁感应强度为瓦为引出离广束，使用磁屏度通道法设计引出器。引出器原理如图所示，对网弧形金展板组成弧畛力出通道，通道

15、的圆心位点。点图中未画出）。引出离子时，令引也通道内磁场的磁感应强度降低,从而使离子从丁点进入通道，沿通道中心线从0点时出。己如OIG度为OQLjOP的兴伟为6,（1）求离子的电荷能；并判断其正负（2）尚f从尸点进入,。点射出，通道内匀强磁场的磁感应强度应降为,求以（3）换用静电偏转法引出离子束,维招通道内的原有礴感应强度E不变,在内外金璃板间加直流电压,网板间产生径向电场，忽略边缘效应。为便离手仍从户点进入，。点射出.求通道内引出轨迹处电场强度E的力响和大小。【解析】（1）肉子做圆周运动从jv=4于蔡，正电荷（2）如图所示.CTQ=R.OQ=L.OO=R-r川I附迹为陶如洛伦兹力提供向心力A

16、得言qB根据由余弦定理得:&：=万乜2卜249叫。（旅-6）尸)-22362r-2cof8B=mvw(2r-2Lccifi)qR彳(尸4L-2rcoi)(3)因为离子的轨迹率程变大.故向心力变小,电场强度力向沿往间向外.用出轨迹为圈弧,法伦兹力和出场力的合力提供向心力他比二吗解相E二期飞年一孑丁刃【喝研10如图所示,有对平行金星板，网板间的距离为比电压力U,网板M有匀强磁场.磁SS应强度大小为,方向平行于板面并垂H纸面朝里.金属板人功仃边长为。的小三角形区域总PGLEF边与金属板垂H),在此区域内匀族画场.慰麒应强度大小为乩万向联H广纸面闻忆电荷脑为4的忆昌沿平行于金5板的、近|磁场的方向射入

17、的帆板之间，沿同一方向射出金属板之间的区域.并经斯边中点H射入(S场区域.不计而力，如小肉广从芭G边上的.4点(图中未Wh穿出磁场,ILG4改为3H4,求离户的质;忆M【解析】枝离f的初速度为丁,山翳自知*高不在平行金属板之间做匀速直找运动,则有qB=q54进入蝇场后.仃G正二加乙离子的运动轨迹如图所示.在&E4。1R中.由余弦定理播度仁JQc璃60,解群R=从而求得而广的侦旧，尸号.六、相似三角形法有的洛伦兹力问题中，已知的长度比较多，但角度不清楚，此时可考虑利用相似三角形来确定半径，进而求解有关物理量.（调研11如图所示，在光常绝缘水平桌面内建立yQt坐标系.在第二象限内仃平行于桌面的匀强

18、电场，场强方向与k轴负方向的夹角15。.在*轴负半轴上和第4限内画if臬面放置.两块相SF行的平板G、G，两板同即为4=0.6m.板同有竖向向上的匀强破场，两极右端在丁轴匕板G与，轴机合，在其左端紧贴架面1小孔M.小孔M岗坐标原点,O的距离为2=0.72m,在第四号限内垂直再轴放置一块平行广）轴II沿.轴负向足够长的好仃平板G，平板G在再轴上垂足为Q乖足。与原点O相距小=0.18m.现将一带负电的小球从火而上的尸点以初述度Hm/s垂克F电场方向射出,刚好垂直J：x垂穿过G板上的M孔进入磁场区域.己知小球可视为质点，小球的比荷宁20C/kg,尸点。小孔A/任乖W电场方向上的距而为kgm,不考但空气阻力.(1)求匀强电场的场强大小；Q)要使带电小球无碰撞地穿出康场并打到平板G上，求磁感应强度的取值范困，【解析】(1)小球在第二小球内做二平抛运动，设小球运动的加速度大小为0，在第二缭限内运动的时间为，则有尸|力，=votan0由牛顿第.定律仃皿=出代入数据解得E=8N/C.(2)设小球通过村点时的速改大小为门由类平抛运动规律仃r=*=8m/s小球脏“磁场方向进入