求数列通项公式及数列求和的几种方法

1、数列知识点及方法归纳1.等差数列的定义与性质定义：aan=d(d为常数)，an=ai+(n1)d等差中项：x,A,y成等差数列u2A=x+ya1annnn-1前n®和一n=na,d22性质：斗是等差数列(1)若m+n=p+q,则4+斗=ap+aq；(2)数列a2nJa2nNa2n+)仍为等差数列，,S2”-*,Ssn-S2n仍为等差数列，公差为小d；(3)若三个成等差数列，可设为a-d,a,a+d(4)若an,bn是等差数列，且前而和分别为Sn,Tn，则bmT2mJ(5)Q为等差数列之&=ar2+bn(a,b为常数，是关于n勺常数项为0的二次函数)Sn的最值可求二次函数0=a

2、r2+bn的最值；或者求出4中的正、负分界项，即：当a>0,d<0,解不等式组-0可得s达到最大值时的rtS.an1M0当21<0,d>0,由13n0可得Sn达到最小值时的nt.3n1-0(6)项数为偶数2n的等差数列斗有，Sn=n(aa2n)=n(a24nhn(ana")(ana1为中间两项S偶-%=nd,立=S偶an+(7)项数为奇数2n-1的等差数列a有SnL(2n-1)an(an为中间项,2.等比数列的定义与性质定义：工=q(q为常数，q#0),an=afqan等比中项：x、G、y成等比数列=G2=xy,或G=±M<nai(q=1)前n

3、J和：Sn=，a1(1-qn)(要注意！)-(q1)1 q性质：Qn是等比数列(1)若m+n=p+q,则am。an=ap-aq(2)Sn,S2n-Sn,S.S2n仍为等比数列，公比为十.注意：由Sn求an时应注意什么？n=1时，a1=S1；n'2时，an=SnSn_L.3 .求数列通项公式的常用方法(1)求差(商)法例：数列1al+a2+段an=2n+5,求an练习数列Q满足Sn+Sn书=5an/a1=4,求a3(2)叠乘法数列4中，&=3,股3(3)等差型递推公式由an-an=f(n),a1=a0,求an,用迭加法a2a1f(2)n22时，a3a2"3)网边相加得a

4、n-a1=f(2)+f(3)+f(n)an-4工=f(n)an=a0+f(2)+f(3)+f(n).1on，练习数列Q中，a=1,an=3n'+an(n之2),求anJn=a(3)(4)等比型递推公式an=ca-+d(c、d为常数，c#0,c#1,d#0)可转化为等比数列，设an，x=cajx=a=csn4c-1x令(c1)x=d,.xn-d,.但门+c-1dJ是首项为a1c为公比的等比数列d3nc-111c-1nJc,a1dcn'a1c-1c-1例：数列an满足ai=1,比力=2斗十1,求数列an的通项公式(5)倒数法ai=1，an+,求aan2在数列斗中，a=1,备书=上一

5、,求数列a的通项公式1nan一；(n=1)公式法、利用anSn-Snj(n>2)、累加法、累乘法.构造等差或等比an+=panan+=pan+f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法4 .求数列前n项和的常用方法(1)裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.:.11如：On是公差为d的等差数列，求工keakak1/、解:,11111由=(d#0)ak-ak+ak(ak+d)d<akak书Jk1akak1111=zkztd(ak1111十a2)1a2a3J_1/11、dan用J例：已知an=,求数列斗的通项公式及前n项和SnnanJ(2)错

6、位相减法若K%为等差数列，0为等比数列，求数列%>(差比数列)前n项和，可由Sn-qS,求8n，其中q为母的公比.例：8n=1+2x+3x2+4x3+nxn-L求Sn(3)倒序相加法把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.Sn=a+a2+an+an1±mtucc，。一，上一上、c上工工工,相加2Sn=(&+an)+(a2+&)+(&+an)Sn-anan4a2a1*(一+%)例：设等差数列,、Q,公差为血，求证：(的前项和名=2,4一xx2练习已知f(x)=上方，则f(1)f(2)由f(x)ffi、S门)十f+f(3)+fI-|+f(4)+fI一|

7、=V4；121x2xx21120=1lx!1+x2f1彳1+x21+x21+-lx；.原式=f(1)+|f(2)+fl'1T+If(3)+fAT+|f(4)+f1-=1+1+1+1=3-_2_U3)422a用倒序相加法求数列的前n项和如果一个数列an,与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索具因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是倒序相加法”。b.用公式法求数列的前n项和对等差数列、等比数列，求前n项和

8、Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的注意事项：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。c.用裂项相消法求数列的前n项和裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前n项和。d.用错位相减法求数列的前n项和错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列anbn中，an成等差数列，bn成等比数列，在和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前n项和。e用迭加法求数列的前n项和迭加法主要应用于数列an满足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差数列或等比数列的

9、条件下，可把这个式子变成sn+1-an=f(n),代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出an,从而求出Sn。f.用分组求和法求数列的前n项和所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，冉将其合并。g.用构造法求数列的前n项和所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的前n项和。练习1 .数列an满足ai=1,4书=不+1,求数列an的通项公式2 .数列a。中，ai=2,斗书=2an+32求数列an的通项公式3 .数列an中，ai=2,a。书=an（12），求数列a。的通项公式n，1