高中数学选修2-1知识点总结

1、高二数学选修21知识点1、 命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、 “若p，则q ”形式的命题中的p称为命题的条件，q称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件， 则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆 命题.若原命题为“若p，则q ”，它的逆命题为“若q，则p ” .4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定 和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称 为原命题的否命题.若原命题为“若p，则q

2、 ”，则它的否命题为“若P，则q ” .5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定 和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题，另 一个称为原命题的逆否命题.若原命题为“若p，则q ”，则它的否命题为“若4，则p ” .6四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题直/、直/、直/、直/、直/、假假直/、假直/、直/、直/、假假假假四种命题的真假性之间的关系：1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.7、若p= q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. 若p= q，则p是q的充要条件(

3、充分必要条件).8、用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作 p q . 当p、q都是真命题时，p q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命 题时，p q是假命题.用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到一个新命题，记作 p q .当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p q是真命题；当p、q两个命题都是假命题时，p q是假命题.对一个命题p全盘否定，得到一个新命题，记作 -p .若p是真命题，则一P必是假命题；若p是假命题，则p必是真命题.9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“-”表示.含有全称量词的命题称为全称命题.全称命题“对M

4、中任意一个x，有p(x )成立”，记作“灯，p(x )”. 短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“”表示.含有存在量词的命题称为特称命题.特称命题“存在M中的一个x，使p(x )成立”记作“ Ex迂M , p(x )”10、 全称命题p : -x 詔,p x，它的否定p : X,-p x 全称命题 的否定是特称命题.11、平面内与两个定点Fi，F2的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹称为椭圆这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.12、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上图形r2 a标准方程范围顶点轴长焦占八、八、焦距对称性离心率准线方程-1_a,0、-

5、2 a,0-1 0, - a2 0,a已 0,b、三2 0,b乙-b,0、三2 b,0短轴的长=2b 长轴的长=2aF1 -c,0、F2 c,0F1 0, -c、F2 0,cFjF2 =2c(c2 =a2_b2 )cc第3页共8页第#页共8页13、设二I是椭圆上任一点，点X到F1对应准线的距离为4 ,点-1到F2对应准线的距离为d2，则amfJ MF2d2第#页共8页14、平面内与两个定点F1 , F2的距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F )的 点的轨迹称为双曲线.这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线 的焦距.15、双曲线的几何性质: 焦点的位置焦点在x轴上图形卜I 41击亠

6、IV标准方程2 222 = 1 i a 匸 0, b 匸 0 ia by x22 = 1 i a 0,b 0 ja b范围顶点轴长x_-a 或 x_a， y R-1 -a,0、j a,0虚轴的长二2b焦占八、八、焦距对称性y_-a 或 y_a , x RA1(0,a)、2(0,a) 实轴的长二2aF1 (0, -c )、F2(0,c)2 2 2Fi!.c,0、F2 c,0F1F2 = 2c c = a b关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率1 I e 1c e :a准线方程渐近线方程2X h皀 c.by xa2y二冬cy 二xb16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.17、 设二I是

7、双曲线上任一点，点到F1对应准线的距离为a，点划到F2对应准 线的距离为d2，贝U忆巴=匹2，贝ue.d1d218、 平面内与一个定点F和一条定直线丨的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定 点F称为抛物线的焦点，定直线I称为抛物线的准线.19、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于 丄、三两点的线段，称为 抛物线的“通径”，即AB =2p .20、焦半径公式：若点p(xg,y。)在抛物线y2 =2px( p >0 )上，焦点为F，则|pF = Xo十号； 若点m x0,y0在抛物线y2 - -2px p 0上，焦点为F，则齐- -x° 子;若点P(x0,y° )在抛物线

8、x2 =2py(p >0 )上，焦点为F，则PF| = y° +子; 若点P心在抛物线X2 2py p 0上，焦点为F ,则PF y。号.第5页共8页21、抛物线的几何性质:际准方程图形2小y 2 px2小y -2 pxp 02小x 2 pyp 02小x -2 py第#页共8页第#页共8页0,0顶点对称轴x轴y轴隹占F , 0F -匕0F 0,卫F 0,12 丿222准线方程x Xy T2222离心率e = 1范围x X0x兰0y 土 0y兰022、空间向量的概念：1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量.2向量可用一条有向线段来表示有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指 的方

9、向表示向量的方向.3向量的大小称为向量的模（或长度），记作丄三.4模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量.5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作-a.6方向相同且模相等的向量称为相等向量.23、空间向量的加法和减法：1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则即：在空间以同一点 0为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形 gC三，则以0起点的对角线0C就是a与b的和，这种求向量和的方法，称为向 量加法的平行四边形法则.2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵 循三角形法则即：在空间任取一点-a，於-b，贝U B.-.二a -b .24、实数

10、与空间向量a的乘积a是一个向量，称为向量的数乘运算.当 0 时，a与a方向相同；当 -.0时，a与a方向相反；当 =0时，v为零向量， 记为0 . a的长度是a的长度的M倍.25、设，为实数，a，b是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结 合律.分配律：a，b二;-b ;结合律：逬丄a - ' a .26、 如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线 向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线.27、向量共线的充要条件：对于空间任意两个向量 a，b b=0，a/b的充要条件是存在实数，使a二巾.28、平行于同一个平面的向量称为共面向量.29、 向量共面定理

11、：空间一点？位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x， y，使防 二yzc ;或对空间任一定点 o，有2 xt yzc ;或 若四点 P ,二，2，C 共面，则- X y疔 zOC x y z = 1 .30、已知两个非零向量a和b，在空间任取一点O，作心-a，左-b，则.心称为向量a，b的夹角，记作a,b .两个向量夹角的取值范围是：a,b 0,二1.31、对于两个非零向量a和b，若a,b ，则向量a，b互相垂直，记作a b .232、已知两个非零向量a和b，则ab cs ab 称为a，b的数量积，记作a b .即 ab=ab ob).零向量与任何向量的数量积为0 .33、a b等于a的长度

12、a与b在a的方向上的投影b cos a,b的乘积.34、 若a， b为非零向量，e为单位向量，则有(1) e'a = a e = a cosa,e);_ _- -a b (a与b同向)(2)a_Lb=ab=0 ; (3)ab=«-a b (a与b反向)(4 ) cos la, b|； (5)ab 兰 ab .35、向量数乘积的运算律：1 a b a2 a b = a b i；二 a b ;3 a b c=ac bc .36、若i , j , k是空间三个两两垂直的向量，则对空间任一向量 p，存在有序实数组:x, y,z?，使得xi yj zk，称xi ， yj， zk为向量p

13、在i，j， k上的分量.37、空间向量基本定理：若三个向量 a，b，c不共面，则对空间任一向量 p， 存在实数组：x, y, Z，使得 p =xa yb zc .38、若三个向量a， b， c不共面，则所有空间向量组成的集合是p p =xa+yb+zc,x, y,z R .这个集合可看作是由向量 a， b， c生成的，a,b,c?称为空间的一个基底，a，b，c称为基向量.空间任意三个不共面的向 量都可以构成空间的一个基底.39、设e,， e,， q为有公共起点0的三个两两垂直的单位向量（称它们为单位 正交基底），以e,， e>， e3的公共起点门为原点，分别以e， ®2， e3

14、的方向为x 轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C）xyz .则对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点0重合，得到向量- p .存在有序实"Tte数组：x, yZ，使得p = xei ye2 zq .把x， y， z称作向量p在单位正交基底 e,，e,，e3下的坐标，记作p二x,y,z .此时，向量p的坐标是点m在空间直角 坐标系Oxyz中的坐标 x,y,z .40、设a =x1,y1,z1，b =x, y,z,，贝U1 ax,x, y<y,z,z,.2 a b =花x,% -丫2,乙z,.3 a 二 xi, %,乙.4 a b = x1x2 y1y2

15、t1t2 5 若 a、b 为非零向量，则 a _ b ：= a b 二 0：= xi% *、2 z1z2 = 0 . 6 若 b = 0，贝U a / b ：= a = b ：= 为= x2, % = y2,乙二 z2.(9 ) A(Xi, yi,Zi ), E = (x2, y2, z2 )，则 d*E = AE = Jx 2X1 ) y 2y 1 Z 2吃(1 ).41、在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点？的位置可以用向量 F来表示.向量F称为点P的位置向量.42、空间中任意一条直线I的位置可以由I上一个定点一-'：一以及一个定方向确定.点 是直线I上一点，向量a表示

16、直线I的方向向量，则对于直线I上的任意一点?,有丄m二ta，这样点厶和向量a不仅可以确定直线丨的位置，还可以具体表示出直 线I上的任意一点.43、 空间中平面的位置可以由内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线 相交于点O ,它们的方向向量分别为a，b . P为平面上任意一点，存在有序 实数对x,y ，使得CF = xa yb，这样点O与向量a，b就确定了平面:'的位置.44、直线I垂直：，取直线I的方向向量a，则向量a称为平面的法向量.45、若空间不重合两条直线a，b的方向向量分别为a，b，则a/b= a/b =a = f；b L 三 R ， a _ b = a _ b = a b

17、= 0 .46、若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，且a -，则a ： = a/ ： ：= a _ n = a n = 0， a _ ： a _ ： u a / n u a = - n .47、 若空间不重合的两个平面，一：的法向量分别为a，b，贝U: / - all b = a=b，: _：=a_b=ab=0 .48、设异面直线a，b的夹角为二，方向向量为a， b，其夹角为，则有la bcos = cos®|r .49、设直线丨的方向向量为I，平面的法向量为n ,丨与所成的角为71 , l与n、I n的夹角为®，则有sin日=cos®| =.I |n50、 设n， n2是