高中数学：求函数值域的方法十三种

1、高中数学：求函数值域的十三种方法一、观察法（承 ）二、配方法（）三、分离常数法（）四、反函数法（）五、判别式法（）六、换元法（）七、函数有界性八、函数单调性法（）九、图像法（数型结合法）（）十、基本不等式法十一、利用向量不等式十二、一一映射法十三、多种方法综合运用一、观察法：从自变量x的范围出发，推出y二f（x）的取值范围。【例1】求函数y=x 1的值域。【解析 I：x _ 0 , 1 _1 ,函数 y =叔 1 的值域为1,=）。1y =【例2】求函数，x的值域。丄亠【解析】 x = 0 x _0显然函数的值域是：（i：,0） （0,：）【例3】已知函数y -1 2 -1 , X-匚1,0,

2、1,2?,求函数的值域。【解析】因为 x 1,0,1,21，而 f-1 二 f3=3, f0 二 f2=0, f1 - -1 所以：y C-1,o3注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为x R，则函数的值域为；yy-。二. 配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如F（x）二af2（x） bf（x） - c的函数的值域问题，均可使用配方法。【例1】求函数y =x2 -2x 5,x-1,2的值域。【解析】将函数配方得：二由二次函数的性质可知：当x=1 -1,2时，】.，当-1时，：=.故函数的值域是：4 , 8【变式】已知，求函数的最值。【解析】由已知，可得，即函数是

3、定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为(2)当t -3,-2时，求g(t)的最值。(说明：二次函数在闭区间上的值域二点二分法，三点三分法)如图1所示，若顶点横坐标在区间【例2】若函数f(x) =X2 -2x 2,当t,t 1时的最小值为g(t)， ( 1)求函数g(t)左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当1时，函数取得最小值 2(t -1) +i,r>i综上讨论，g(

4、t)= 心馬 =7, Ot兰1J2 十1 t COt21(t 乞0)g(t) = 1(0 ：t ：1)t (-：,0时，g(t)二t21 为减函数2t -2t 2(t -1)在-3,-2上，g(tt2 1也为减函数g(t)min 二 g(-2) = 5 , g(t)max 二 g(-3) = 10【例3】 已知f(x) =X2 _2x 2，当xt, t 1(t R)时，求f (x)的最大值.【解析】由已知可求对称轴为x二1 .2二 f(X)min = f 何)=当卜21 时,f(X)max = f (t +1) =t +2(2)当 t < 1 < t 1 ,即 0 < t &

5、lt; 1 时，根据对称性，若U J即0 W t = 2时，fgmaxftrt2-2,32 2t+t+111 t 1若>2 即 21 时，f ("max = f (t +1) =t2 +2 .(3)当 t 1 ：1 即 t ：0 时,f(X)max = f(t)“2 -2t 3第4页共23页第#页共23页2t +2,t综上,f ( X)maxt2 -2t 3,t 乞-2第#页共23页观察前两题的解法，为什么最值有时候分两种情况讨论， 而有时候又分三种情况讨论呢？这些 问题其实仔细思考就很容易解决。 不难观察：二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。第一

6、个例题中，这个二次函数是开口向上的，在闭区间上，它的最小值在区 间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到，有三种可能，所以分三种情况讨论；而它的最大值 不可能是二次函数的顶点，只可能是闭区间的两个端点，哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到,当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。根据这个理解，不难解释第二个例题为什么这样讨论。对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下:时 f(x)maxb 1f (m)，王一(m 十n)(如图 1) 2a 2b 1f (n)， 一 (m n)(如图2)L 2a 2f(n),_ 卫 An(如图3)2abbf(x)min=f(一)，m兰一兰n(如图4)2

7、a2af (m)， <m(如图5)2a第#页共23页第#页共23页第#页共23页上狂(m + n)(如图9)2a 2b i(m n)(如图 10)2a 2vm io第5页共23页第#页共23页【例4】2(1)求f(x) =x 2ax 1在区间-1,2上的最大值。 求函数y = -x( x a)在x 1 , 1上的最大值。第#页共23页第#页共23页【解析】当-a(1)二次函数的对称轴方程为x二-a，1:即2a>-2 时，f(x)max = f(2)=4a+5；2当-a 一1即21a2时，2。综上所述:f1-2a 2,a <2 f ( x )maxI14a 5,aL22a 2

8、a(2)函数y - -(x )图象的对称轴方程为4a，应分-仁2aa1，. 1 即一 2 乞 a 空 2 , a < -2222这三种情形讨论，下列三图分别为(1)a ： -2 ；由图可知 f(XU< "(一1)_2空a空2 ；由图可知f(X)max = f (_)(3)a 2时；由图可知f(x)max二f (1)第6页共23页(_1), a c2a +1) , a c -2a a2y 最大二 f( ),-2_a_2 ；即 y 最大，-2 _ a _2I 2I 4f(1),a2a-1,a2【例5】 已知二次函数f(x) =ax2 (2a-1)x 1在区间_寸，2上的最大值

9、为3,求实数a的值。【分析】这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，需分a .0与a ：0两大类五种情形讨论，过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到，因此先计算这些点的函数值，再检验其真假，过程 就简明多了。具体解法为：2a -11(1) 令 f() =3，得 a-2a2此时抛物线开口向下，对称轴方程为x = -2，且_2 ： -3 ,2，故-不合题意；IL 221(2) 令 f(2) =3，得 a21此时抛物线开口向上，闭区间的右端点距离对称轴较远，故a=丄符合题意；2卄32(3) 右 f ()=3，得 a =2 32此时抛物线开口向下，闭区间的右端点距离对称轴较远

10、，故a符合题意。31 2综上，a 或a = -一2 3解后反思：若函数图象的开口方向、对称轴均不确定，且动区间所含参数与确定函数的参数一致，可采用先 斩后奏的方法，利用二次函数在闭区间上的最值只可能在区间端点、顶点处取得，不妨令之为最值，验证参数的 资格，进行取舍，从而避开繁难的分类讨论，使解题过程简洁、明了。【变式】 已知函数f (x) =ax2 2ax 1在区间-3,2上的最大值为4,求实数a的值。【解析】f (x) =a(x 1)2 1 -a,x -3,2(1 )若a =0, f (x) =1,，不符合题意。(2) 若 a 0,则 f(x)max = f (2) =8a 13由 8a 4

11、，得 a =8(3) 若 a .0 时，则 f(x)max 二 f (1) =1a由 1 - a 4，得 a 一 33综上知a 或a = -38x2【例6】 已知函数f (x)x在区间m, n上的最小值是 3m最大值是3n,求m , n的值。2【解法1】讨论对称轴上1中1与m,m n,n的位置关系。2.f (x)max = f (n) = 3n若二二厂二，则f (x)min = f (m) =3m解得 0若宁八n，则m n右m _1 ：，则2f (x)max = f =3n，无解 f (x)min = f (m) =3m 十(叽=f=3n，无解 f(x)min = f (n) =3m，无解若，

12、,则 f(X)max=f(m)=3nf(x)mm = f (n) =3m综上，m = /, n = 0AAAA【解法 2】由 f(x) = -(x -1)2-，知 3n m,n <-,，则m, n(：，1,2226又在m, n上当x增大时f (x)也增大所以f (x)max - f (n) - 3n 解得口 = _4,门=。f (x)min = f (m)=3m评注：解法 2利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m, n的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了。【例7】 求函数丫 =、汶-35-x的值域.【解法 1 】y2 =x-3 5-x 2.(x-3)(5-x

13、) =22.1匚&匚4)2显然 丫2=2 2 4)2【2,4故函数的值域是：y. -2,29JIQ【解 法 2】 显然 3< x <5, x-3=2si n2r(r0,)= 5-x=2cos2 二2y = . x - 3.5 -x = 12(sincos) = 2sin() 、2, 24三、分离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法(分母少，分子多)，通过 该方法可将原函数转化为为y = k 一 f (x)(k%常数)的形式此类问题一般也可以利用反函数法。x + 2【例1】求函数y的值域x +11【解析】利用恒等变形，得到：y =1，容易观察知x工-1,y工

14、1，得函数的值域为y (- g ,1) U (1, +x十1g)。注意到分数的分子、分母的结构特点，分离出一个常数后，再通过观察或配方等其他方法易得函数值域。、X2X【例2】求函数y = 2的值域。x X +1第9页共23页【解析】观察分子、分母中均含有X? _x项，可利用部分分式法；则有2 2 , ,X -X X X +1 1 y 二 22X X +1 X X +1=1(X1 113不妨令：f（x）=（x -）2）4312 才 g(x)=帀(f(xro)从而f（x）3, V 注意：在本题中应排除II-4f（x） = O，因为f （x）作为分母。所以g（x）O,§ 1故 ye <

15、; 44,1【变式】求下列函数的值域:(1) y 二层X2 -1X21答案：（1）值域 y （-：鳥）一（3厂：）（2）值域 y -1,1四、反函数法：禾用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到 原函数的值域。【例1】求函数1-2X1 2X的值域。X【解析】由"洋解得公1 - yx1 - yv 2X 0 , 0 ,一1 ： y : 1函数X的值域为*（一1,1）。3x +4【例2】求函数y二注上值域。5x+6【解析】由原函数式可得:4 -4-6y7y=-绸_ '则其反函数为：5区-3，其定义域为:故所求函数的值域为：（_汽3）U（3严）55【例3

16、】求函数的值域。解答：先证明_ ex -1_ex 1有反函数，为此，设为 x2且为，x2 R，第10页共23页XiX2XiX2e 1 -1 e 2 1 小 e1 e2yi - y2x -x2 x x ": 0。ex11ex21(ex11)( ex2 1)所以y为减函数，存在反函数。可以求得其反函数为：y，=1 n罔。此函数的定义域为 x (-1,1)，故原函数的值域为y ( -1,1)。【例4】求函数y= 一 (a 0,b 0, ab,x-1,1)的值域。 a bx【解法 1 -1 =sx<1a-b 毛-bx <a+b2a 2a 2a>>ab abx a b2

17、aa -b-1 丄 y - -12a-12aa -bxaba ba ba -b【解法2(反函数法)a 2ax 二b b(y 1)由-1 0 VI得:a 2ab 一 b(y 1)"yQa b a - b第11页共23页第#页共23页五、判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0 ;通过方程有实数根，判别式 = - 0，从而求得原函数的值域，形如y二笙* ° ( d、a2不同时为零)的函数的值域，常用此方法求a2x +b2x解军。(解析式中含有分式和根式。)【例1 求函数y二1 x x2的值域。第#页共23页第#页共23页【解析原函数化为关于 x的一元二次方程-f

18、-1 ,由于x取一切实数，故有(1)当1时，丄 -汗rT 丨 V第#页共23页第#页共23页【例2求函数y = x . x(2 -x)的值域。【解析两边平方整理得：二亠-“：一厂 U( 1)丄一-工解得：但此时的函数的定义域由-:上】，得III二二J由；_一，仅保证关于x的方程：.在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间0, 2上，即不能确保方程(1)有实根，由 ：二一求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。丄二二-丄:' 一2 + 72-2*72“n ,斤1 =7=0,2j_Ll' I 代入方程(1) 解得：V _ 2

19、+逅-2*血L即当 二I时，原函数的值域为：一厂I注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔 除。解法二：y = x 、x(2 -X)=x . 1 _(x _ 1)2，令 X -1 =sin'【一 2，2】y =1 sin v cos v -1 2 sin( )4、2.二sin( 一)空 124原函数的值域为： 叮皿【例3】22x +ax +b已知函数f(x)二2的值域为1, 3,求a,b的值。x +1【解析】22x 'ax b22y2(y_2)x _ax y_b=0_-a _4(y_ 2)(y _ b) _ 0x +14

20、y2 -4(2 b)y 8b-a2 乞 0。2x2 +a x +b由于f(x)二 2b的值域为1, 3,故上式不等式的解集 为y|1 wyW3x +1丄Yiy2= 2b= 1 3=J8ba2oy1y23-a = 2匚b=2【例4】求函数y二X 1X2 2x 2的值域。【解法1】先将此函数化成隐函数的形式得:2yx (2y -1)x 2y -1 = 0,这是一个关于x的一元二次方程，原函数有定义,.: =(2y -1)2 4y(2y-1) _0,解得:等价于此方程有解，即方程_ y 湮。的判别式故原函数的值域为:【解法2】1(X 1)x+1由于当 x+1<0 时，(X 1)1一2，即 y2

21、,°)当 X+1 >10 时，(x T)2，即x+1考虑到x=-1时y=0故原函数的值域为:y -昇【例5】已知函数ymx n 1的最大值为4,最小值为一1，则m =【解析】ymx nx21 2 2y x -mx n _y = 0_= m _4y(y -n) _ 04y2 _4ny由于f (x)=2x2 ax bx21的值域为1, 4,故不等式CD的解集为y| 1wyw4% y2 二 n = 32-m / %y2= , =4 L.4m - _4m = 3【例6】求函数X 22x -3的值域。.4第13页共23页第#页共23页【解析】y x2 (y-1)x-3y-2=0第#页共2

22、3页CDy=0得x=-2,从而y=0是值域中的一个点;2 y = 0- .'： - (y-1)2 4y(3y 2) _02-T二丁卡，由g得函数的值域为R.六、换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域, 形如y =ax b± jcx d ( a、b、c、d均为常数，且a=0)的函数常用此法求解。对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的用三角换元。熟悉的基本函数。当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，【例1】求函数y=2x 仁亦的值域。【解析】令t.1-2x (t _0)

23、，则x二心，25max ，无最小值。41 513 y = -t2 t 1 = -(t )2当 t ，即 x = - 时，y2 4285函数y =2x 、1 -2x的值域为(：=。4x 5:【例2】求函数y =2log3 x -1(x _10)的值域。【解析】令y1 =2心2 =log3 x -1则yy2在2，10上都是增函数所以y二yiy2在2，10上是增函数当x=2时,y min = 2 log 3 2 -1=18当x=10时,|1,33故所求函数的值域为：一8【例3】求函数y x v rx -1的值域。【解析】原函数可化为：'x .x -1令yi f x 1,y?x -1，显然yi

24、2在1,；上为无上界的增函数所以y=yi，y2在口咫上也为无上界的增函数2所以当x=i时，a y2有最小值 2，原函数有最大值2显然y 0，故原函数的值域为(0, '、2【例4】求函数y二x 2 j _(x 1)2的值域。【解析】因1 -(x T)2 0即(X 1)2 _1故可令x 仁cos叮"0,二y =cosl- 1 1 -cos2 ： =sin, cosl：, 1=2 sin( )140 _ ： _ -,0 5 二44-忑 <sin(R+<124.0< .2sin( )1 乞1. 24故所求函数的值域为0,12xxy =【例5】求函数 x4 2x21的

25、值域。1 2x 1 -x2y = XX【解析】原函数可变形为：2 1 x2 1 x2第15页共23页第#页共23页2x可令x二tg 1，则有1 x2= sin 2:;,1 -x21 x2= COS2 :第#页共23页1sin21" cos2 sin4：4y max当'=kT 8时，ymin V而此时tan 1有意义。故所求函数的值域为IL 4 4第16页共23页【例6】求函数y =(sinx 1)(cosx 1)122的值域。第17页共23页当 t 二 2 时,ymax i 2x三二且 IL 12 2可得:【解析】y=(sinx 1)(cosx 1)=sinxcosx sin

26、 x cosx 11 2丄丄 sin xcosx= (t -1)令 sin x +cosx =t贝y212 12y (t2 -1) t 1 (t 1)22 2由 t = sin x cosx 二.2 sin(x 亠/ 4)第#页共23页第#页共23页2-2+3-4 -故所求函数的值域为【例7】 求函数y =X 4 ：5 -x2的值域。【解析】由5-x2_0，可得|x|5故可令 x - .5 cos 0,二JI!y = .5 cos ,亠4 亠 i 5sin ： =、10 sin()44第#页共23页第#页共23页- 0 < I-'":-444第#页共23页第#页共23页

27、当 P= 乂/4 时，ymax 二410当- _ 二时，min =4 - -5故所求函数的值域为：4 -巧，4 r10【例8】求函数y =(x2 -5x 12)(x5x 4) 21的值域。【解析】令t=x2 -5x+4二x-5 i< 2丿y =t t 821 =t2 8t 21 Nt 4 25 ,9f 91f1、当 i > 一时，ymin = +4 I +5 =8 ，值域为 汕 | y A8 >4I 4 丿1616；【例9】求函数y = x - 2. 1 - x的值域。【解析】令 t =0 -x，贝V x =1 -t2, t _0 , t2 -2t = -t 1 22当 t

28、_0时，tmax =1 一02 -2 0 =1所以值域为（-：,1。【例10】求函数y = x 110x - X2 - 23的值域。【解析】由 y = x+p'10x x2-23 =x+p2（X-5）2 ,令 x - 5 二 2 cos t，因为 2 （x 5 丫 K0n 2 2cos2 日 3 0二一1 兰cos日 <1，日乏0,兀，则.2 - x -52 = 2sinr，I兀1_ 兀兀 5兀于疋：y = £2 sin B + *'2cosB +5=2 si nB+|+5，日+=,，I 4 .丿444所以:可以利用已学过函数的有界性,反客七、函数有界性法：直接

29、求函数的值域困难时, 为主来确定函数的值域。【例1】求函数y的值域。x +1【解析】由函数的解析式可以知道，函数的定义域为R，对函数进行变形可得(y-1)x2 =-(y 1),，二 x2 - -1 ( x R , y = 1 ),y T人_0 ,. -1 一 y ：1 , y _ 1二函数y二学的值域为y|-仁y 1x +1第18页共23页第#页共23页xe -1 y = x【例2】求函数 e 1的值域。第19页共23页【解析】由原函数式可得:x a/ e 0y 1 0 y -1解得:-1 y : 1故所求函数的值域为(-簽1)【例3】求函数cosxy =sin x -3的值域。第20页共23

30、页第#页共23页【解析】由原函数式可得：ysinx -cosx=3y，可化为:.y2 1 sin x(x I ) =3y第#页共23页第#页共23页sinx(x +P) = : ：y即.y2 1-1 </ x R sinx(x J -1,1即sin(x - )3-4y1 4y2故函数的值域为.44【例4】3sin x y -4 2cosx【解法 1 】sin(x -)= _34y<1 +4y2 3- 333解得1y -V即函数值域为：1 -13333【解法2】y看作是两点(4,3)和(2cos x,sin x)连线的斜率.即过点(4,3)且与椭圆有交点的直线，其斜率取值23 sin

31、 xx 2,y =y 1范围就是 4 - 2COS X聚会取值范围设 y=k(x-4)+3 代入椭圆方程 4 得(4k2 +1)x2 +8(3 - 4k)kx +4(16k2 - 24k +8) = 0，由= 0 得答案.【例5】 已知a>0, X1,X2是方程ax2+bx-a 2=0的二个实根，并且|x 1|+|x 2|=2,求a的取值范围以及 b的最大值【解析】由韦达定理知：X1X2=-a<0,故两根必一正一负，I Xi| +|X2|=2从而 |X1-X2|=2由韦达定理知：4=|x1-x2|2=(b2+4a)/a2232从而 4a -4a =b > 0即 4a (1-a

32、) > 0即a< 1,注意到a>0，从而a的取值范围是0< a < 122a a ：；2 - 2a 316从而 b2 =4a2(1 - a) =2 a a (2 2a)乞 2 ()3 :3 27即b的最大值为士卫，当且仅当a=2/3时“二”成立。9八、函数的单调性法：确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性，求出函数的值域。【例1】求函数y = x_ 1 _2x的值域。【解析】当x增大时，1 -2x随x的增大而减少,-、1 -2x随x的增大而增大, 1函数y =x - 12x在定义域(y_上是增函数。21 111- y1-2，函数 y=x-、-1-2x 的

33、值域为(y-。y 2 Y 2 221【例2】求函数y = x 在区间xE0, :上的值域。x【解析】任取xx2 0,亠，且 ： x2，则%x20, x-! x20，f X1f X2 二上一X2 X"2_1，因为 0 ： X1 :： X2，所以:x1x2当 1 < x1 =x2 时，x2 -1 0，则 f % f x2 ；当 0：X1：X21 时，X1X2-10，则 fX1< fX2；而当 X=1 时，ymin = 21于是：函数y = X 在区间X三i0, ：上的值域为2, ：)。X构造相关函数，利用函数的单调性求值域。【例4】求函数f xip1 ' x£

34、; -x的值域。彳+xZO.【解析】因为丿二-1兰X兰1，而£1 + X与11 - X在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数J -x 兰0g X = .1 X 7“ -X，易知 g(x)在定义域内单调增。gmax 二 g 1 二 2， gmin 二 g -1 =2，二 g x 乞、2，0 乞 g2 x 乞2，又 f 2 x g2 x =4，所以：2 乞 f 2 x 乞 4，f x <2。【例5】求函数y = ：$3x6 一 8匚x的值域。【解析】此题可以看作 丫二u 7和u = 3x 6 , v = - . 8 - x的复合函数，显然函数 u = . 3x 6为单调递增 函数

35、，易验证v = -8 'X 亦是单调递增函数，故函数 y = J3x+ 6 一 J8 一 x也是单调递增函数。而此函数的定 义域为一2,8。当x - -2时，y取得最小值J10。当X = 8时，y取得最大值-J 30。故而原函数的值域为-.10,30。何图形的直观性可九.图像法(数型结合法)：函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图 像求得函数值域，是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离，直 线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时，借助几 求出其值域。【例1】求函数y =|x 3| |x -5|的值域。2x+2 (xw-3)

36、【解析】T y =|x 3| |x -5|二 8(一3 乞 x ：5),、2x2(x3 5) y =|x3| |x-5|的图像如图所示,由图像知：函数y =|x 3| |x-5|的值域为8,二)【例2】求函数y = ：(X -2)2- (x ' 8)2的值域。【解析】原函数可化简得：y =|x -21 -|x 8|上式可以看成数轴上点P (x)到定点A (2)，B(-8)间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，y=|x-2|x冃AB| = 1°当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y =|x - 2|x 8| |AB卜10故所求函数的值域为：【10,；【例3】求函

37、数yx2 -6x 13x2 4x 5的值域。【解析】原函数可变形为:y = .(x -3)2(0 -2)2. (x 2)2(0 1)2上式可看成x轴上的点P(x，0)到两定点A(3,2),B21)的距离之和,由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymin =| AB匸，(3 2) (2 °43 ,故所求函数的值域为.43,：第25页共23页第#页共23页十、基本不等式法：禾惋基本不等式1: C 12 j'. iJ： . 1 - H :，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。kx2 + 2【例1】

38、求下列函数的值域： y =x 3 (k>0);(2) y =xJx2+1【解析】(1)若 x>0时，则y=x+k+3兰2jx冬+3 = 3 + 2你,等号仅当x=k/x，即x = Jk时成立;xV x若 x<0 时，贝U y =x+k+3 兰一2 J_x （-匕）+3 = 3 _2Jk，等号仅当-x=-k/x，即 x= -/k 时成立; xVx故, y （：,3 -2 一 k - 3 2 k,：）x2 +2r1解法一：y= = *x2+1+| 畠 2，故 y"2严）v'x2 +1Jx2 +1解法二：令t（t -1）.即方程 f （t） =t2 -ty 1 =

39、 0在1,+g )上有解.第#页共23页第#页共23页所以吐=1.从而f(x)=0在区间1,+g)只能有一根，另一根在(0,1)内，从而f(1) < 0,即y2.【例2】若- 4 ： x < 1，求x2 -2x 22x -2的最小值第#页共23页第#页共23页【解析】x2 一" 2 = 1 （XT）' 1 ='（xF . 1 = 一1"）12x22x12x12一（x 1）第#页共23页二 0 ： -(x -1) ： 3从而_(x -1)-(x-1)_21-2"1)当且仅当_(x 一1)=1-(x-1)即x=-2时”=”成立即(2x -2

40、x 22x -2)min【例3】求函数y = 2x23,(x0)的最小值x【解析】y”3"芬芥33 2x2爲吨号36当且仅当2x2 =舟即%弓时十舟痂14n【例4】求y=(x (0/ )的最小值。cosx sin x2【解析】y>0,y2=(sec x+4csc xf= sec? x+16csc? x+ 8sec xcsc x2 2=(tan x+1)+16(cot x+1)+8cos2 x +sincos xs in x /2 2=17+(tan x+4cot x+4cot x)+ (16cot x+ 4tan x+4tan x)-1 (3 16)3 33 tan2 x 4

41、cotx 4cot x 33 16cot2 x 4 tan x 4tan x当且仅当严 2(3tan x =4 cot x = 4cot x ” tan x =4 即丿2316cot x=4tanx=4tanx 4cot x =1(这是两个相同的方程) 冗即当x=arctan 3 4(0,3)时，“=”成立(达到最小值)1 1 10【例5】若函数y=f(X)的值域为,3,则函数F(x)二f(x)的值域是2,2f (x)3_第26页共23页F(x) = f (x) 1_2,并且当f(x)=i时等号成立。而g(t) = t -在t -,1时单调递减，g(t)二t 1在f(x) 一t 2tt .1，

42、3时单调递增。从而11151g(t) = t + ；在区间；,1上的值域为g(1), gg) = 2, ； ； g(t) = t + ；在区间1,3上的值域为g(1),g(3)=2,10/3.综合知F(x)的值域为2,103【例6】求函数、J% 2的值域。x+3【解析】令(1)当，丨时,，当且仅当t=i，即,I时取等号，所以第27页共23页第#页共23页(2)当 t=0 时，y=0综上所述，函数的值域为:U1_ 一_注：先换元，后用不等式法第#页共23页第#页共23页I一、利用向量不等式性质1若a = 4心6 = ,间，则纠耳力pm +加芳Jp2 +(?2 .4府+并当且仅当-':jl

43、 _时等式成立+ '：同向平行时右边等式成立，a, +宀反向平行时左边等式成立。，当且仅当；'方向相同且两两平行时等式成立。性质2 M- ' 2九- ，当且仅当a， 性质 3'''类型(1) .，_ 4、1 - - '型(V 门:同号) 【例1】求函数y =5.口 -、莎7x的最大值。【解析】构造向量 ” _ 一 _，-_:由性质1，得111 ' 兰 J 宁 + 1' I +10 a251X26时，如：=3宓二 3/26当且仅当二上-，即解 2：显然 i wxwio, . X1 二、9si n2 v -3s in 丸二0, ；) = 10 - x 二.9(1si n) =3cosr 1y =15sin 3cos- 3 26sin(亠 J (其中二 arctan§)(sin(r )min =minsin ,sin( )二2 2(sin(r J)max 二 sin12所以 3< y =15sin v 3cos j - 3 26 sin( j9-3.26 即类型(2)*：-；1 "-型J 4.- 【例2