材料力学扭转习题解

1、第三章扭转习题解习题3-1一传动轴作匀速转动，转速n=200r/min,轴上装有五个轮子，主动轮II输入的功率为60kW,从动轮，I,III,IV,V依次出18kW,12kW,22kW和8kW。试作轴的扭图。解：（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩）Teu9.55Nkn外力偶矩计算（kW换算成kN.m）题目编号轮子编号轮子作用功率（kW）转速r/minTe(kN.m)习题3-1I从动轮182000.859II主动轮602002.865III从动轮122000.573IV从动轮222001.051V从动轮82000.382（2）作扭矩图085S5E葭:总丁图（小.电习曲32图0.530540=0.0

2、133(kN/m)习题3-2一钻探机的功率为10kW,转速n=180r/min。钻杆钻入土层的深度l=40m。如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度m,并作钻杆的扭矩图。解：(1)求分布力偶的集度mNk10Me=9.549k=9.5490.5305(kNm)n180设钻杆轴为x轴，则：MMx=0ml=Me(2)作钻杆的扭矩图MeT(x)=mx=jx=-0.0133x。x=0,40T(0)=0;T(40)=Me=-0.5305kNm)扭矩图如图所示。习题3-3圆轴的直径d=50mm,转速为120r/min。若该轴横截面上的最大切应力等于60MPa,试问所传递的功率为多大？解

3、：(1)计算圆形截面的抗扭截面模量：13Wd3p16(2)计算扭矩1八.八八3一,3、T=maxWp2=60N/mm3.14159503=24544(mm3)2_3T=60N/mm24544mm1472640Nmm=1.473(kNm)(3)计算所传递的功率NkT=Me=9.549k=1.473(kNm)nNk=1.473120/9.549=18.5(kW)习题3-4空心钢轴的外径D=100mm,内径d=50mm。已知间距为l=2.7m的两横截面的相对扭转角1=1.8°,材料的切变模量G=80GPa。试求：(1)轴内的最大切应力；(2)当轴以n=80r/min的速度旋转时，轴所传递的

4、功率。解；(1)计算轴内的最大切应力Ip=-D4(1-p3213WD3(1-p16式中，a=d/D。1_4_44)=3.141591004(1-0.54)=9203877(mm4)。、工41V3.141591003(1-0.54)=184078(mm3)一口GIp1.83.14159/18080000N/mm29203877mm42700mm=856301445Nmm=8.563(kNm),max8563014.45Nmm184078mm3=46.518MPa(2)当轴以n=80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率T=Me=9.549*=9.549*=8.563(kNm)n80Nk=8.56

5、380/9.549=71.74(kW)习题3-5实心圆轴的直径d=100mm,长l=1m,其两端所受外力偶矩Me=14kNm,材料的切变模量G=80GPa。试求：(1)最大切应力及两端面间的相对转角；(2)图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向;(3)C点处的切应变。解：(1)计算最大切应力及两端面间的相对转角-maxMeWp13Wd3p1613.11613=13、4mm)。0故:maxMeWp14106Nmm196349mm3=71.302MPa.=.!1GIp1,1式中，Ip,：_T_1GIp=，nd4=x3.14159x1004=9817469(mm4)o故323214000Nm1

6、m092124=0.0178254(rad)=1.02°80109N/m2981746910m4(2)求图示截面上A、B、C三点处切应力的数值及方向A=B=max=71.302MPa由横截面上切应力分布规律可知:1cC-B=0.571.302-35.66MPa2A、B、C三点的切应力方向如图所示。(3)计算C点处的切应变c=C=35.66Mpa=4.457510工，0.44610学G8010MPa习题3-6图示一等直圆杆，已知d=40mm,a=400mm,G=80GPa,5db=1°。试求:(1)最大切应力；(2)截面A相对于截面C的扭转角。解：(1)计算最大切应力从AD轴

7、的外力偶分布情况可知：习题36图TAB=TCD=Me,TBC=0。：DB工Tili二讥TDClDCTCBGIp式中,IpJd432MemaxMeWpIcbGIpMea0aGIpGl7MeaGh14一丁八/4、(=3.14159404=251327(mm4)。故:2480000N/mm251327mm400mm3mm18013式中，Wpdp16x3.14159x403=12566(mm3)。故:16maxMeWp877296Nmm12566mm3-69.815MPa(2)计算截面A相对于截面C的扭转角；AC八TiliTAB'lABGIpGIpTBCIbcMe2a

8、0a十二rGIpGIpGIp2Mea_2-2。GIp一2db-2习题3-7某小型水电站的水轮机容量为50kW,转速为300r/min,钢轴直径为75mm,若在正常运转下且只考虑扭矩作用，其许用切应力7=20MPa。试校核轴的强度。解：(1)计算最大工作切应力maxMeJWp-WpNk50式中，Me=9.549k=9.549-n300=1.592(kNm)；Wp=1313一d3=3.141597531616=12566im3)o故：-max=Wp1592QQQNm.19,219MPa82835mm(2)强度校核因为Emax=19.219MPa，引=2QMPa,即5xt,所以轴的强度足够，不会发生

9、破坏。习题3-8已知钻探机钻杆(参看题3-2图)的外径D=6Qmm,内径d=5Qmm,功率P=7.355kW,转速n=18Qr/min,钻杆入土深度l=4Qm,钻杆材料的G=8QGMPa,许用切应力可=4QMPa。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：(1)单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m；(2)作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；(3)两端截面的相对扭转角。解：(1)求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度mNk7.355Me=9.549k=9.549=Q.39Q(kNm)n18Q设钻杆轴为x轴，则：MMx=Qml=MeMeQ.39Qme=Q.QQ975(kN/m)l4Q(2)作钻杆的扭矩图

10、，并进行强度校核作钻杆扭矩图Q.39T(x)=mx=x=Q.QQ975x。x之Q,4Q4QT(Q)=Q；T(4Q)=Me=Q.39Q(kNm)扭矩图如图所示。强度校核Me-maxWp式中，Wp=工二D3(1-121958mm3)=13.141596Q31-(空)4=21958(mm3)p16166QMeWpmax39QQQQNmm=17.761MPa因为"max=17.761MPa，叫=4QMPa,即axT,所以轴的强度足够，不40|T(x)|dx_10GIp=Gp口尸引通39图maxM位一Wp16Me右二d3会发生破坏。(3)计算两端截面的相对扭转角40T(x)dx0GIp.144

11、1450.44.式中，Ip=D(1-二)=一3.14159601-()=658752(mm)p3232602400.00975xjo、0.00975xdx=62J240)80106kN/m265875210,2m42=0.148rad之8.5°习题3-9图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN,已知轴材料的许用切应力可=40MPa，试求：(1)AB轴的直径；(2)绞车所能吊起的最大重量。解：(1)计算AB轴的直径AB轴上带一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶矩相等：Me左=Me右=0.2M0.4=0.08(kNm)Me主动轮=2Me右=0.16(kNm

12、)扭矩图如图所示。由AB轴的强度条件得:16Me右d>3(ed二=21.7mm3116M80000Nmm3.1415940N/mm2(2)计算绞车所能吊起的最大重量主动轮与从动轮之间的啮合力相等:Me主动轮Me从动轮0.20.35Me从动轮0.35M0.200.16=0.28(kNm)由卷扬机转筒的平衡条件得:P0.25=Me从动轮P0.25=0.28P=0.28/0.25=1.12(kN)习题3-10直径d=50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶Me=6kNm,而在圆杆表面上的A点将移动到Ai点，如图所示。已知Ss=A,=3mm,圆杆材料的弹性模量E=210GPa,试求泊松比v（

13、提示：各向同性材料的三个弹性常数E、G、v间存在如下关系：G=。2（1、）解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩T=Me=6kNm。设O,Oi两截面之间的相对对转角为中，则AsnPd,牛=22dTl_2.sGIP-d11式中，Ip='二d4=3.14159504=613592(mm4)p3232TId21PM6106Nmm1000mm50mmZ_4Z2613592mm3mm=81487.372MPa=81.4874GPa,E/口E210由6=得：v=1=1=0.2892（1一）2G281.4874习题3-11直径d=25mm的钢圆杆，受轴向拉60kN作用时，在标距为200mm的长度内伸长了0.

14、113mm。当其承受一对扭转外力偶矩Me=0.2kN，m时，在标距为200mm的长度内相对扭转了0.7320的角度。试求钢材的弹性常数G、G和V。解：（1）求弹性模量NIIEAE='A闫60000N200mm220.253.1425mm0.113mm=216447.8MPa=216.448GPa(2)求剪切弹性模量G1,1Ip=.d4=3.14159254=38349(mm4)由=GIP得:G=1p0.2106Nmm200mm4=81684.136MPa=81.7GPa(0.7323.14/180)38349mm4(3)泊松比由G二得：v2(1、)E.216,4481=-1=0.325

15、2G281,684习题3-12长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同,d受力情况也一样。实心轴直径为d；空心轴的外径为D,内径为do,且一°=0.8。试求当D空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力比和刚度比。解：(1)求空心圆轴的最大切应力，并求D。T(Tmax=7),扭矩T相等时的重量max,空134.Wp=23(1-a4),故：p1616T27.1Tr、=_34=_3-二D(1-0.8)二D月题312图(1)求实心圆轴的最大切应力maxWp式中,Wp一二dp16max,实(d)316T16T=16T-27.1T二16T=1.69375D一=1

16、.192d(3)求空心圆轴与实心圆轴的重量比W空0.25二(D2-dj)lD22D2a-=(02=()2(1-0.82)=0.36()2=0.361.192=0.512W实0.25：d2ldd(4)求空心圆轴与实心圆轴的刚度比1Ip空=nD4(1-0.84)=0.01845D432144I犊='nd4=0.03125nd4点32GIp空G|p实习题3-134:0.01845?=0.5904(。)4=0.59041.1924=1.1920.03125二dd,如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角o解：如图所示，取微元体dx,转角为：则其两端面之间的扭d二也少GIP.14式中,1P-dp32

17、r-r_x2-1l习题3-13国d2-d1x21d2-d1d=2r=xd1d4二(d2-d1xd1)4=udud2一d1dxdxd2一d1dulMedx0GIpMeG1dx0丁pl32dx32M二d411,32Me11duFdu;u4d2-d1二G(d2-d)0u4全长为l,两端面直径分别为d1,d2的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩Me32Mel1du-"c-4：G(d2-di)0u32Me1二G(d2-di)-3u132Me130二3二G(d2-di)1d2_d1,.!x+d1iI1J32Me13二G(d2-dj11"32Me1xdj一屋3nG(d1d2)X./43-d

18、23132Me1+d«2+d；、d；d；EGd13d3X./%习题3-14已知实心圆轴的转速n=300r/min，传递的功率p=330kW,轴材料的许用切应力封=60MPa,切变模量G=80GPa。若要求在2m长度的相对扭车t角不超过10,试求该轴的直径。T1解：=GIpMe1ji工1180式中，M人人Nk人人3301,4一e=9.549=9.549父=10.504(kNm)；Ip=nd。故:n300p32180Me11n32d4,l二G,，32180Me13218010.504106Nmm2000mm“d-42e422111.292mm二2G,3.14280000N/mm2取d=1

19、11.3mm。6=1°/m,切变模习题3-15图示等直圆杆，已知外力偶Ma=2.99kNm,MB=7.20kNm,Me=4.21kNm,许用切应力T=70MPa,许可单位长度扭转角量G=80GPa。试确定该轴的直径d。解：（1）判断危险截面与危险点作AC轴的扭矩图如图所示。因最大扭矩出出在BC段，所以危险截面出现在BC段,危险点出现在圆周上。（2）计算危险点的应力（最大工作切应力），并代入剪切强度条件求domaxTbc16TBeWp一二d；d1-316Tbc_3二一164.21106Nmm3.1470N/mm2=67.42mm(3)计算最大单位长度扭转角(出现在BC段)，并代入扭转刚

20、度条件求do713718。一/GIp71T180<1CTTd飞JLCj43232x1807_32x180x421xlOn2G=V7iax80xWs-=0,0744m=74.4mm(4)确定d值d_max(d1,d2)=74.4(mm)习题3-16阶梯形圆杆，AE段为空心，外径D=140mm,内径d=100mm；BC段为实心，直径d=100mm。外力偶矩MA=18kN,m,MB=32kNm,MC=14kNm,许用切应力T=80MPa,许可单位长度扭转角F'=1.2o/m,切变模G=80GPa。试校核该轴的强度和刚度。解：(1)AB段的强度与刚度校核Tab-Ma-18kNm月嗡316

21、图max,ABTaWp1341310043式中，Wp=-D(1-：)3.141591401-()=398533(mm)p1616140tI18106NmmmaxAB=mm=45.166MPa<E=80MPa符合度条件。Wp398533mm3_|Tab|180AB-lGIp二14414100.44、式中，Ip=lD(1-)3.141591401-()=27897319(mm)3232140:|Tab|180AB二一二lGIp二p18000Nm180921248010N/m2789731910-m3.14=0.462(°/m)：'=1.2°/m符合刚度条件。（2）

22、BC段的强度与刚度校核Tbc=Mc=14kNmmax,BC=771Wp13式中，Wd3p16133=3.141591003=196349(mm3)Tbc14106Nmm-max,AB=3Wp196349mm3=71.302MPa<p=80MPa符合度条件。Tbc180l一GIp二式中，Ip二d4321=3.141591004=9817469(mm4)32_Tbc1807"Gi7丁p14000Nm180Z-927124Z80109N/m2981746910m43.14=1.02(°/m)；'=1.2°/m符合刚度条件。综合（1）、（2）可知，该轴符合强

23、度与刚度条件。习题3-17习题3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力7=20MPa,切变模G=80GPa,许可单位长度扭转角中'=2.5°/m。试按强度条件及刚度条件选择圆轴的直径。解：（1）由强度条件选择直径轴的扭矩图如图所示。因为最大扭矩出现在II、III轮之间，所以危险截面出现在此段内，危险点在此段的圆周上。maxTII-IIIW16TiiTII二d3,16Tii4II-3二=80mm162.006106Nmm-23.1420N/mm（2）由刚度条件选择直径71T1800T321800r=4-GIp二G二d二p2.0061033218009432三：8010二d二10

24、2.006x1x32x180-8xl010Kdf4-JTX10-12=0,27/mj2.0Q6x32xl80xl05V8xl0lffX7tJx0.25=87.5mm习题3-18一直径为d的实心圆杆如图所示，在承受扭转力偶Me后，测得圆杆表面与纵向线成45°的方向上的线应变为名。试导出以Me,d和8表示的切变模量G的表达式。解：圆杆表面贴应变片处的切应力为此16也习即3-18图圆杆扭转时处于纯剪切状态，图（a）。切应_T_16变1口TJd1）对角线方向线应变：CQCCfcos45BF-II。一cC图（a）cos45'cos45'y/2y=2f(2)16此式（2）代入（1

25、）习题3-19有一薄壁厚为25mm、内径为250mm的空心薄壁圆管，其长度为1m,作用在轴两端面内的外力偶矩为180kN，m。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。已知材料的切变模量G=80GPa。解：（1）求管中的最大切应力180x10?x150x1032x180x150x10%=M300J250%I。山12=65.5MPa32T2l180xl80xl0flxl2%2乂8乂1。心吧"qMl产32=0.491kNm习题3-20一端固定的圆截面杆AB承受集度为m的均布外力偶作用，如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为Go解：dVT2(x)dx2GIp22mxdxc1_

26、.,4Gd3222,16mxdx.d4G16m2l二d4G02.xdx=16m2l3T4一3二dG2.3ml-1_A6dG326GI可陋3-加图受拉力F=0.5kN作用，弹簧的试求：m2l习题3-21簧杆直径d=18mm的圆柱形密圈螺旋弹簧，平均直径为D=125mm,材料的切变模量G=80GPa。(1)簧杆内的最大切应力;(2)为使其伸长量等于6mm所需的弹簧有效圈数。解:c旦旦695d184-34x6.95-32474x6.95+227.71n=1.2_1r16xOJ5xl03x62.5xlO-3-ttx(18)3x10=32.8MPa/54ER)J-7因为6_64x0,5x103x(62,

27、5)5x10WOO-8xlOl0x(18/xlO-13-6x8x10.55x10,64x0.5x244x10习题3-22一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图，簧丝直径d=10mm,材料的许用切应力封=500MPa,切变模量为G弹簧的有效圈数为n。试求：(1)弹簧的许可切应力;(2)证明弹簧的伸长二等出一出2”。解：(1)求弹簧的许可应力用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离体。由平衡条件可知，在簧杆横截面上：剪力Q-F扭矩T=FR最大扭矩：Tmax=FR2max2max=.Q.NfAWp二d2二d3二d34R2F=d316R2(14R23.14103mm3500N/mm2957.3N

28、10mm、)16100mm(1)4100mm即由QF=二d3d16R2(1)4R23.14103mm3500N/mm216100mm-981.25N因为D/d=200/10=20a10,所以上式中小括号里的第二项,所产生的剪应力可以忽略不计。此时(2)证明弹簧的伸长16Fn4Gd4(Ri+R2)(R2+R；)_2-dUJ(Rd)2GIp3:d：1L外力功：W=FA,22"FR)2(Rd)F22F3.F22nR2-RiU=Rd-=R102GIp2GIp02GIp02二nppp244F二nR2-R4GIpR2-RiW=U1F2：nR；-R4-Fl=24GIpR2-R16F二nG二d422

29、(R12R；)(RR2)44F二nR；-R4=2GIpR2-RMe=3kNmo已知材料的切变模量习题3-23图习题3-23图示矩形截面钢杆承受一对外力偶G=80GPa,试求：(1) 杆内最大切应力的大小、位置和方向；(2) 横截面短边中点处的切应力；(3) 杆的单位长度扭转角。解：(1)求杆内最大切应力的大小、位置和方向丁二此入=研哟=毋"?LLA_90_60L5由表得”0.294/=。346”=0.858/t=0.294x604xl0-12=331xl01n4网=0.346x60'10=747x104n?=40,2MPa长边中点处的切应力，在上面，由外指向里(2)计算横截面短边中点处的切应力"一飞:;MPa短边中点处的切应力，在前面由上往上(3)求单位长度的转角300080x109x381x10-s=0单位长度的转角习题3-24图示T形薄壁截面杆的长度量G=80GPa,杆的横截面上和扭