时间序列模型--ARMA模型与ARCH模型(2008.11)

1、时间序列模型时间序列分析是现代计量经济学的重要内容，是研究经济变量的动态特征和周期特征及其相关关系的重要工具，被广泛应用经济分析和预测中。时间序列按其平稳性与否又分为平稳时间序列和非平稳时问序列。1 .ARMA与ARCH模型2 .协整与误差修正模型3 .向量自回归模型第五讲ARMA与ARCH模型本讲中将讨论时间序列的平稳性(stationary)概念及自回归模型(Autoregressivemodels)、移动平均模型(Movingaveragemodels)、自回归移动平均模型(Autoregressivemovingaveragemodels)、自回归条件异方差模型(Autoregress

2、ivecconditionalHeteroscedasticitymodels)的识别、估计、检验、应用。一、时间序列的平稳性（一）平稳时间序列所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。严格地讲，如果一个随机时间序列yt,对于任何时间t,都满足下列条件：I）均值E（yJ=卜II）方差Var（yJ=E（yt-N）2=。2,是与时间t无关的常数；田）自协方差Cov（yt，ytG=E（ytN）（yj酬-k,是只与时期间隔k有关,与时间t无关的常数。则称该随机时间序列是平稳的。生成该序列的随机过程是平稳过程例5.1.一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布

3、序列:yt="t'tiid(0尸2)该序列常被称为是一个白噪声(wMtenoise)。由于yt具有相同的均值与方差，且协方差为零，满足平稳性条件，是平稳的。例5.2.另一个简单的随机时间列序被称为随机游走(randomwalk)：yt=ytJ,名tiid(0,。2),是一个白噪声。2容易判断该序列有相同的均值：E(yt)=E(yt-),但是方差Var(yJ=F，即yt的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列。然而，对yt取一阶差分：Ayt=yt-yt-r，则序列w是平稳的。后面将会看到：如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列(二)平稳时间序列的

4、自相关函数与偏自相关函数时间序列yt的自相关函数(autocorrelationfunction,ACF)定义如下:ykk0平稳时间序列的一个重要特征是它的自相关函数随着k的增加而成指数型衰减。一个时间序列的样本自相关函数定义为:n-k?'（yt一y）（yt-k-y）s_k_t=1rk?0、n（y"）2tq则是消除了中间变它是在给定偏自相关函数（partialautocorrelationfunction,PACF量ytt.llhyt,书带来的间接相关后yt与y间的直接相关性,yt4yc,IH,yt.）的条件下，yt与y一间条件相关关系的度量。ri,I：kk=rk-"

5、;(k1)jrkj11一'0(k-i)jrk-j二、单变量平稳时间序列模型：ARMA模型单变量时间序列模型是通过直接或间接地运用变量自身过去的信息和以往的扰动项，寻找其自身的变化规律。ARMA模型是一类常用的单变量平稳时间序列模型，它是由博克斯（Box）和詹金斯（Jenkins）创立的，亦称B-J方法。ARMA模型有三种基本类型：自回归（AR）模型，移动平均（MA）模型，自回归移动平均（ARMA膜型。（一）AR模型1. AR模型的定义如果时间序列yt可以表示为它的前期值和随机扰动项ut的线性函数：yt=c+*iyt_i+%yt_2+|+*pyt_pt8t口3（0。）（5.1）则称该序列

6、yt是自回归序列，（5.1）式为p阶自回归模型，简记为AR（p）。k_引入滞后算子，记L为k步滞后算子，即L乂=yt-k模型（5.1）可表示为：乂=c+3LyJ%L2yt+HI+epLPyt+"即（1-，L-%L2TI|-"LP）yt=c+，令（L）-1-*1L-%L2-|H-*pLP,模型可简写为：（L）yt=c-t2. AR(P)模型的平稳性条件(L)=1-*1L-*2L2-|H-*pLP=0为滞后算子多项式方程。AR(p)模型平稳的条件是：该方程的根在单位圆外，即9(L)=0的根大于1对自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用

7、的规则可用来检验自回归模型的平稳性：1)AR(p)模型稳定的必要条件是*+41 2p、I2 )由于电(i=1,2,HI,p)可正可负，AR(p)模型平稳的充分条件是：、|+/2|+卜，13 .AR模型的识别判断一个随机时间序列是否为AR(p)序列，所使用的工具主要是时间序列的自相关函数(ACF)及偏自相关函数(PACF)。若序列yt的偏自相关函数°kk在P以后截尾，即k>p时，卜卜=0,而且它的自相关函数*k是拖尾的，可以认定此序列是自回归AR(p)序列。以一阶自相关模型AR(1)的自相关函数为例：由于AR(1)的k阶滞后自协方差k=E(yty)=El(cy.i二-二k0因此，

8、AR(1)模型的自相关函数为Pk=,=*kk=1,2,IH0由AR(1)的稳定性知网Y1,k趋于无穷大时，*k呈指数型衰减至0,这种现象称为拖尾。可以证明，当k>p时，样本偏自相关函数kk服从如下渐近正态分布：rkk-N(0,1/n)2因此，如果计算的kk满足心去我们就有95.45%的概率保证程度断定限在k>p之后截尾。（二）M儆型1. M儆型的定义如果时间序列yt是它的当期和前期随机误差项的线性函数，即可表示为:丫1N一”.1+8春-2"1卜<"1胎（0,；）（5.2）则称该序列yt是移动平均序列，（5.2）式为q阶移动平均模型，简记为MA（q）若使用滞

9、后算子，则（5.2）式可以简写为yt=c（1,L%L2IIILq）t=c1（L）t易见，有限阶移动平均过程无条件平稳。2. MA模型的可逆性观察MA莫型:yt-c=(1%L-L2HI%Lq)；t(L)t若多项式方程9(L)=0的根全部落在单位圆外，则称序列yt可逆。8(L)的逆记作e(L)T,则XLpWt-cX&t。比较"(L)yt=c+et,可以证明，若MA(q)算子可逆，MA(q)模型可写成AR(s)的形式;同理，若AR(P)模型满足平稳性条件，AR(P)模型可表示为MA00)。3. MM1型的识别若序列yt的自相关函数Pk在q以后截尾，即k>q时，Pk=0,而它的

10、偏自相关函数Pkk是拖尾的，可以认定此序列是移动平均MA(q)序列。对MA(1)过程ytctt-1很容易计算由它的自协方差函数：0二E(yt2)=二：(12)L=E(ytyt_i)=。,Ve于是得到自相关函数：i=-7012二3川卜0可见，当k>1时,Pk=0,即yt与y-不相关,MA(1)自相关函数是截尾的。同理，可以验证MA(q)过程的偏自相关函数是拖尾但趋于0的（三）ARMA1型1. ARMA!型的定义若时间序列yt是它的当期和前期随机误差项以及前期值的线性函数，即为yt=c+*iytZ*2yt-2+Hl+%yt-p+£t+9i%-i+92£t-2+lll+0q

11、£t（5.3）则称该序列yt是自回归移动平均序列，（5.3）式为（p,q）阶的自回归移动平均模型，简记为ARMAp,q）。显然，AR（p）模型与MA（q）模型都是ARMA（p,q）模型的特殊情况。若使用滞后算子，则（5.3）式可以简记为（L）yt=c（L）utARMA（p,q）模型的平稳性取决于AR（p）部分的平稳性。2. ARMA1型的识别ARMA(p,q)的自相关函数，可以看作MA(q)的自相关函数和AR(p)的自相关函数的混合物。当p=0时，它具有截尾性质；当q=0时，它具有拖尾性质；当p、q都不为0时，它具有拖尾性质。一般地，如果序列的ACF和PACF匀是拖尾，则可断定该序列

12、是ARMA(p,q)过程。通常，ARMA(p,q)过程的偏自相关函数可能在p阶滞后前有几项明显的尖柱，但从p阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自相关函数则是在q阶滞后前有几项明显的尖柱，从q阶滞后项开始逐渐趋向于零。识别是通常以较低的阶数进行分析，然后逐个增加阶数进行尝试3. ARMA模型阶数（P,q）的选择标准常用的模型选择的判别标准有：赤池信息准则（AIC）与施瓦兹贝叶斯信息准则（SBC）。在选择可能的模型时，AIC与SBC越小越好。上面的讨论均是在假定序列满足平稳性的情形下进行的。一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的，进而寻找对应的平稳模型。若将一个非平稳序列通过

13、d次差分，变为平稳序列，然后用一个平稳的(AutoregressiveARMAI型去拟合，称该模型是一个自回归单整移动平均模型1integratedmovingaveragemodels）,记为ARIMA（p,d,q）。（四）模型的应用下面我们通过例子探讨如何利用样本数据建立时间序列模型，并对现象进行分析和预测。例5.1.对我国支由法国内生产总值Y建立ARMA模型并预测2008的支由法国内生产总值。支由法国内生产总值丫认为是非平稳的，但其对数一阶差分序列是平稳的。因此，可以对对数一阶差分序列建立ARMA（p,q）模型。Eviews中的模型参数估计采用非线性方法，由此得到的ARMA模型为：三、自

14、回归条件异方差模型ARCH(AutoregressivecconditionalHeteroscedasticitymodels)模型首先是由恩格尔(Engle.R)于1982年提出的，并由保罗斯拉夫(Bollerslev.T)在1986年发展成为GARCH模型(GeneralizedARCH模型)。用以建立随机变量的条件方差或变量波动性模型。它反映了随机过程的一种特殊特性：即方差随时间变化而变化，且具有丛集性、波动性。ARCH模型已广泛地应用于金融领域的建模及研究过程中。(一)自回归条件异方差模型(ARCH)对于一般的回归模型yt=x；b+utut口N(0u2)如果随机扰动项的平方u：服从A

15、R(p)过程，即Ut2=a0+aiUt2_1+lll+apUtlp+%(5.4)其中，是相互独立的白躁声序列，并且名N(0,2),则称模型(5.4)是自回归条件异方差模型，简记为ARCH模型。记作utARCH(P)。ARCH模型通常用于对主体模型的随机扰动项进行建模，把当期随机扰动以便更充分地提取残差中的项的方差设定为以前各期误差项平方的线性函数,信息，使最终的模型残差项驾为白噪声。判断模型残差序列是否存在P阶的ARCH过程，通常是对于残差项进行拉格朗日乘数检验(ARCHLMTest,Engle1982)对残差平方e2(q=yt-xtf?)进行辅助回归：e2=：飞：但2.1HIpe2-p检验统

16、计量：F统计量和Obs*R-squared统计量在不存在ARCH效应的零假设成立的前提下，LM具有渐近的？2(p)分布。给定显著性水平豆，如果LM之“:(p),则拒绝零假设，说明模型残差序列存在ARCH过程。(二)广义自回归条件异方差模型(GARCH)如果用ARCH模型描述某些时间序列，阶数p需要取一个很大的值时，通常采用广义自回归条件异方差模型。若吃的条件方差3被写成150十屋1十1卜。匚十打卜t.q则称序列Ut服从GARCH(p,q)过程。实际应用中，GARCH模型的阶数p远比ARCH模型的阶数p要小，GARCH(1,1)模型是被广泛应用的模型，它具有如下形式2仃=ot+ait+9crt0

17、1Ut-1t-1可以证明GARCH(1,1)模型等价于一个系数呈几何递减的无限阶ARCH模型，同时，它也蕴涵着当前波动的震荡作用随时间递减的规律。(三)其他ARCH类型模型1. .ARCH-M模型金融理论中经常认为风险较大的资产可以提供较高的平均收益，这在金融市场实际的运作中基本可以得到验证。从金融计量经济建模的角度来看，如果具有集群性的序列其条件方差是风险的一个合适的度量的话，它就应该进入yt的条件期望中。这是由Engle、Lilien和Roberts三人在1987年发现、发展并创造的所谓进入均值的ARCH模型(ARCH-in-mean),又成为ARCHM模型，其形式为yt=xthtut叫=

18、t这里，ht为&的条件方差。如果ht的结构同ARCH模型，则称叫服从ARCH-Ml(p)过程；如果%的结构与同GARCH形式，则称叫服从GARCH一M(p,q)过程。参数捕捉到了在误差项Ut中较强烈的可感噪声震荡对yt均值的影响作用。假如模型旨在解释一项金融资产(如股票或债券)的回报率，那么增加ht的原因是每个投资者都期望资产回报率是与风险度紧密联系的，而条件方差ht代表了期望风险的大小。Campbell、Lo和Macjinlay在1997年曾经讨论过ARCHM模型与资本资产定价模型(CAPM)之间的联系。2. TARCH模型对于股票市场的研究发现，即使股价下跌和上涨的幅度相同时，股价下跌过程往往会伴随着更剧烈的波动性。为解释这种不对称效果，Zakoian于1990年提出TARCH（ThresholdTARCH）模型。它具有如下形式的条件方差pqht=：0iU；uHht_ji=1.j=1一.，、一,15<0其中dt是一个名义变量4=0其他由于引入dt,股价上涨信息（Ut0）和下跌