数值分析习题(含答案)..

1、第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比拟选择、误差和误差限的计算.1假设误差限为0.5xlr那么近似数有几位有效数字有效数字的计算解：/=0.3400x10-2,x-x*<lxl0"5=lxlO"2"322故具有3位有效数字.24=3.14159具有4位有效数字的近似值是多少有效数字的计算解：4=0.314159xlO,欲使其近似值/具有4位有效数字,必需<lxlOH九一1x10-34,+_1*10-3,即3.141094%*«3.14209222即取,之间的任意数,都具有4位有效数字.3a=L2031,0=0.9

2、78是经过四舍五入后得到的近似值,问ax/?有几位有效数字有效数字的计算解：a-a<x10-3,b-b"<xlO_2,而a+=2.1811,tzx/?=1.176622(a+h)-(a+bx<a-+-l/<-xO-3+-x0-2<lxlO1-2222故4+至少具有2位有效数字.(ab)-(ab*)|<ba-a+ab-l/<xlO-3+x10-2=0.0065<|xlO1-2故ax.至少具有2位有效数字.4设x>0,x的相对误差为6,求Inx的误差和相对误差(误差的计算)*Inx-Inx=JXVx解：一=.,那么误差为XInx-In

3、xxix-xx那么相对误差为：一=一=二hixInxxInx5测得某圆柱体高度力的值为二=20.,底面半径r的值为/=5.,I/?-/?*I<0.2cm9lr-r4l<OAcm9求圆柱体体积U=的绝对误差限与相对误差限.误差限的计算解：卜(力,<2""/?上一,卜一人"绝对误差限为|v(h,r)-v(20,5)|<|2-.5-20|x0.1+-52x0.2=254|v(/?,r)-v(20,5)|25乃1相对误差限为而W<"<2.八=右=4%v(20,5)715-20206设x的相对误差为.求丁=/的相对误差.(函数误

4、差的计算)*H"y-yx-xx-x=-<一=(幻yxx7计算球的体积,为了使体积的相对误差限为1%,问度量半径厂时允许的相对误差限为多大(函数误差的计算)414443解：球体积为v(r)=-rv(r)=_乃ri%.v(r)-v(rx)42r-r,一/欲使=3一一=1%,必须出)土方"3卜38设/=eTfx/dj求证：(1)/“=1-如5=0,1,2)(2)利用(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小.(计算方法的比拟选择)解：/“=e-ljxndex=xVr|*一jx,!lexdx=1-000如果初始误差为4=假设是向前递推,有J=/“一I

5、；=(1/“7)一(1一/；_)=一%_1=(-1)2n(n-1X-2=-=(-I)"!/可见,初始误差分的绝对值被逐步地扩大了.如果是向后递推/“_=!/,其误差为1小1；广1£,=一.=工ii1ii1i1i-22m可见,初始误差3的绝对值被逐步减少了.笫二章插值法姓名学号班级习题主要考察点：拉格朗日插假法的构造,均差的计算,牛顿插值和埃尔米特插值构造,插值余项的计算和应用.1/(1)=2,/(1)=1,/(2)=1,求/(x)的拉氏插值多项式.(拉格朗日插值)解法一(待定系数法)：设L(x)=+0x+c,由插值条件,有a-b+c=2<a+h+c=14a+2b+c=

6、解得：a=l/6,0=1/2,c=4/3°rzx1214故LyX)=XX+o623解法二(基函数法)：由插值条件,有l(y)_(x-D(x-2)21(a+1)(x-2)t(x+l)(x-l)t(1+1)(1-2)(2+1)(27)=1(x-l)(x-2)-i(x+l)(x-2)+l(x+l)(x-l)J乙J1214=一尸-x+6232=4,玉=9,用线性插值求J7的近似值.(拉格朗日线性插值)解：由插值节点与被插函数,可知,yo=JJ=2,%=次=3,其线性插值函数为了/、工-90x-416L(x)2+3=-x+-4-99-4552.6o7A1on的近似值为l(7)=x3假设与(/=

7、0,)为互异节点,且有/j(X)=(%0)(%司)勺1)(工一勺X).一匕)(勺一/)(七一七)(勺Xjt)(Xj_加)一(七一当)试证实三/z=o,i,拉格朗日插值基函数的性质解：考虑辅助函数尸工=其中,0«攵<,xe-00,000j0尸X是次数不超过的多项式,在节点工=七0</<77处,有F%=£x"再-X-=X；4A；-X-=X-X-=0卜.这说明,尸X有n+1个互异实根.故厂x三0,从而9.匕/工三/对于任意的.<攵均成立.04sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487,sin0.36=0.352274,用抛

8、物线插值计算sinO.3367的值并估计截断误差.拉格朗日二次插值解：由插值条件,其抛物线插值函数为L(x)=-0.314567(x-0.34)(x-0.36)(0.32-0.34)(0.32-0.36)0.333487(x-0.32)(x-0.36)(0.34-0.32)(0.34-0.36).一0.32)*-0.34)10,352274(0.36-0.32)(0.36-0.34)将x=0.3367代入,计算可得：0.3367%0.3304.其余项为：/(x)|=二*一0.32)*-0.34)10.36)其中,0.32自<0.363!|r(x)|<|(x-0.32)(x-0.34

9、)(x-0.36)|故误差的上界为：|“0.3367)I<!|(0.3367-0.32)(0.3367-0.34)(0.3367-0.36)|<2,14x10-71,5用余弦函数cosx在与=.,X1=4%=受三个节点处的值,写出二次拉格朗日插值-2多项式,并近似计算cos二及其绝对误差与相对误差,且与误差余项估计值比拟.拉格朗6日二次插值解：由插值条件,二次拉格朗日插值多项式为工一乃/4不一乃/2x-0x-/21x-0x一乃/4LX=1HT00乃/40乃/2乃/4一04/4一乃/242乃/20乃/2万/48(%一4/4)(不一4/2)Sy/2x(x-711n19冗-汽、0.850

10、88(4/6/r/4)(;z76；r/2)8、历;r/6(/r/64/2)_2+4、笈U9绝对误差为：cos二乙乙=土史=区1110.0153662918相对误差为：一/HF-兀、4+8,2余项为：|r(x)|=x(a-/4)(x-/2),其中,0?万/23!其余项的上界为：,x|、kx-;r/4x乃/2|广、/冗产乃、/乃九、冗crvc666646264比拟可知,实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些.6函数值/0=6",=10,3=46,/4=82,6=212,求函数的四阶均差/0,1,3,4,6和二阶均差44,1,3°均差的计算解：采用列表法来计算各阶均

11、差,有Xy一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差061104461814/34823661/362126529/3>111,1/15从表中可查得：/0,1,3,4,6=oXy一阶均差二阶均差4%8211072/3346186故/4,1,3=6.其实,根据均差的对称性,/4/,3=/1,3,4=6,该值在第一个表中就可以查到.7设fX=X-XoX-XX-X求/“玉Xp之值,其中4+1,而节点司,=0,1,刀+1互异.均差的计算解：由均差可以表示成为函数值的线性组合,有fix.xl-xp=£9餐七一%一七一H七一如1一一.-I氏一勺而/七=.0<z</?,故/Lq.XXp=.

12、8如下函数值表X012419233建立不超过三次的牛顿插值多项式.牛顿插值多项式的构造解：先构造均差表Xlx?一阶均差二阶均差三阶均差011982231434-10-8-11/4故N(x)=1+8x+3x(x-1)一一x(x-l)(x-2).49求一个次数小于等于三次多项式(x),满足如下插值条件：=2,p(2)=4,“(2)=3,“(3)=12.(插值多项式的构造)解法一(待定系数法)：设p(x)=ax'+cx+d,那么px)=3ax2+2bx+c,由插值条件,有a+b+c+d=28.+4+2c+d=4V12"+4Z?+c=327a+9+3c+=12解得：a=2,b=9,c

13、=15,J=-6o故PM=2一9x2+15x-6解法二带重节点的均差法：据插值条件,造差商表Xy一阶差商二阶差商三阶差商12*2422431312852故p(x)=2+2(x-1)+(x-l)(x-2)+2(x-IXx-2尸=2x3-9/+15x-610构造一个三次多项式"(x),使它满足条件"(0)=1,"(1)=0,"(2)=1,"'(1)=1(埃尔米特插值).解：设"(X)=ax3+bx2+cx+d9H'(x)=3ax2+2bx+c利用插值条件,有d=a+b+c+d=08a+4b+2c+d=3a+2b+c=1解得

14、：=-l,/?=4,c=T,d=l.Hx=一/+4.r2-4x+1311设/*=/,%=1/4,玉=1,=9/4.试求/X在1/4,9/4上的三次埃尔米特插值多项式“X,使得“,=/与,j=0,12'区=/'为,"X以升幕形式给出.2写出余项Rx=/'xx的表达式.埃尔米特插值及其余项的计算.11Q273-3解：/(T)=-*/=1,/(-)=>f/M=-x2,/(I)=-4o4o22设(x)=ax'+bx2+cx+d9H'(x)=3ax2+2bx+cL+_L"c+=_L64164a+b+c+d=729819,276416483

15、3a+2b+c=2解得:14,263,b=225450233f1,a=45025故H(x)=-H/+也4交225450450253-1,910Ra)=Hax-Da一7其中广作"12假设/xec加向,/=/6=0,试证实：鹤"刈?/一疗赠"I插值余项的应用解：以/3)=/S)=o为插值条件,作线性插值多项式,有Tz、xb/x-cirtL(x)=-/()+-.f(b)=0a-bb-a其余项为R(x)=f(x)-L(x)=/(x)=(x-a)(x-b)乙.故max|/(x)|=:max|/"(x)卜一)("一=：S-max|/"(x)|.a

16、<x<bl12,金少1228a<x<b'113设/(-2)=-1,/(0)=1J(2)=2,求p(x)使(再)=/(再.)(i=0,1,2)；又设1/*(幻隆M,那么估计余项«x)=/(x)(幻的大小.(插值误差的估计)解：由插值条件,有4a-2b+c=-1<c=4a+2b+c=24=7/8解得：W=3/4c=1i3从而p(x)=-X1+-X+184其余项为r(x)=/(x)-p(x)=人品(x+2)x(%-2)4e(2,2)|r(x)|<(x3-4x)|<V3=M1166927笫三章函数暹近姓名学号班级习题主要考察点：最小二乘法,最

17、正确平方逼近,正交多项式的构造.1设/x=sin;rv,求/"于0,1上的线性最正确平方逼近多项式.最正确平方逼近解：0=spanl,xii1.1,=八=1,pp1=xdx=-.仍,外=/八,=,oo2oJ/必=fsin7txdx=,/"=xsin7txdx=-costd:+rsinm2线性最正确平方逼近多项式为：,=一.7C2令fx=e',-14x41,且设x=ao+/x,求.0,%使得px为/于-1,1上的最正确平方逼近多项式.最正确平方逼近解：=spanLx1 i2夕,0=卜/x=2,曰,尹2=Jx"x=°,夕2,夕2=Jx2dx=一-i-

18、i-i3/,例=JeZ/x=e-/,f,p1=xexdx=2e-i-i法方程组为线性最正确平方逼近多项式为：px=1+X.233证实：切比雪夫多项式序列TkX=cosA:arccosx在区间一覃上带权夕x=i/JiZF正交.正交多项式的证实解：对于Iwk,有cosQaicco&v)cos(karccosx)dx0jff=f.=cos)cos(r)(-sinr)J/=icos(lt)cos(kt)dt-cos2/0I穴=jcosQ-k)t+cosQ+k)tdt2()=1sin(/-k)t+-i-sin(/+k)t=02 I-kI+k对于/=k,有(T,7)=f,cos2(karccosA

19、)Zx3 |!T4 f=cos2(kt)(-sint)dt=fcos2(kt)dt*Jl-cos"t0=1j1+cos(2幻/dt=-t+sin(2A:)r；=-2022A2故,序列,",)在T,1上带权.(x)=_正交.VI-A-2%1+x2=34求矛盾方程组：(玉+2妈=4的最小二乘解.(最小二乘法)X-x2=2解法一：求X与公,使得/(xpx2)=(演+x2-3厂+(芯+2x2-4厂+(xtx2-2厂到达最小.于是,令Ofdxx2(为+Xy3)+2(X+2x?-4)+2(xx2-2)0=2(/+x2-3)+2(x1+2x2-4)2+2(x-x2-2)(-1)=0dxy

20、3x.+2x.=9即：?22X1+6x2=9其最小二乘解为:Jx,=2.5714x2=0.6429,记作AX=.,该矛盾方程组的最小二乘解,应满足以下方程组解之,得x2=2.5714=0.6429试用直线拟合这组数据.(ATA)X=(ATy)5一组试验数据xk2345¥yk4689计算过程保存3位小数.最小二乘线性逼近40161.252290.5622解得:a=L2288,b=L4831°其直线拟合函数为y=1.2288+1.483x06用最小二乘原理求一个形如丁=.+泣2的经验公式.使与以下数据相拟合.xk1925313844%1949最小二乘二次逼近解：等价于对数据表作

21、线性拟合.其法方程组为:532753277277699271.4369321.5解得：a=0.9726,b=0.0500故经验公式为y=0.9726+0.05衣*>361625961144419361949笫四章数值积分姓名学号班级习题主要考察点：代数精度的计算,构造插值型求积公式(梯形,辛甫生公式),复化求积的计算,高斯公式的构造.1给定求积公式J：J(x)公xaf(-h)+歹(0)+</(力)试确定4,4C使它的代数精度尽可能高.(代数精度的应用和计算)解：分别取/(x)=l,x,d,使上述数值积分公式准确成立,有；a+b+c=2h<(_)+c()=0ah)2+c(h)2

22、=2/?/3解得:故求积公式为Jfxdxasf(-h)+再取/(x)=d,左边=,/3,戊=0,右边=g(T?)3+?.O+g(»3=ohhr、4a_,rr"4.2/z,h.f、44/z八/f、42h再取/(x)=x,左边二Jxdx=.右边二一(一力)+二-0+(力)=一“53333此求积公式的最高代数精度为3.2求积公式£/3)公/(O)+AJ+%/'(0),试确定系数4,A及线,使该求积公式具有尽可能高的代数精确度,并给出代数精确度的次数.(代数精度的应用和计算)解：分别取/(幻=1,不,工2,使求积公式准确成立,有4.+A=1<A,+B0=1/

23、2A1=1/3211解得：4=彳,4=三,&=.336求积公式为J；/(x)公q/(0)+9+；/(0).再取fM=v3,左边二Cxlx=0二0+11+10=右边J.4336故该求积公式的最高代数精度为2.3数值积分公式J；/(x)dx%37(l)+/(2),是否为插值型求积公式,为什么又该公式的o2代数精确度为多少(插值型求积公式特征)解：令/(x)=l,jt/A=3=|l+l=1/(l)+/(2)o22fW=x.jxJA-=|l+2=1/(1)+f(2)o222fM=x2,=9=11+22=|/(I)+/(2)Q乙乙乙故代数精度为1.由于求积节点个数为2,代数精度到达1次,故它是插

24、值型的求积公式.4如果/"(x)>0,证实用梯形公式计算积分所得到的结果比准确值大,并说明其几何意义.(梯形求积)解：梯形求积公式b-a八T=-f(a)+f(b)是由过点(aj(a),(bj(b)的线性插值函数rz、x-bx-ci八、L(x)=-/()+-/S)a-bb-a在a,b上的定积分.注意到：在区间a,b上,fx)>0,而(xa)(xb)vO,有hbhb£"/石/一7=Jf(x)dx1L(x)dx=J"(x)-L(x)dx=j-a)(x-b)dx<0aaaa从而/v7其几何意义可作以下解释：在区间a,b上,/"(x)&

25、gt;0,故曲线y=/(x)下凹,直线y=L(x)位于曲线之上,因此,曲边梯形的面积/=J/(x)"x小于梯形面积T=JUxdxo3,J1h1一"x=Z1T/x"Z力/(七)+/(七+1)="匕f*0)+f(Xl)+f(X2)+f(Xi)+-7(-4)xj=ojx/=()222lrl44441411171424567281680r>i因J；ch=ln2,那么误差大约为：|ln20.697q=0.0039.Xf6设/(-I)=1,/(一0.5)=4,/(0)=6J(0.5)=9,/(I)=2,那么用复化辛甫生公式计算£/(%),假设有常数用

26、使1/l<M,那么估计复化辛甫生公式的整体截断误差限.(复化辛甫生公式)0+4x4+6+6+4x9+2=11.1667解：L/+Jf(x)dx141141x-/(-D+-/(-0.5)+-/(0)+-/(0)+-/(0.5)+-/(I)If|«J4;(x+l)(x+0.5)2(x-0)6/.v(x一0)(x一0.5)2(x-)dx666666<j|(x+1)(%+0.5)66(x-O)|c/x+j|(x-0)(x-0.5)2(x-1)|dx24to<j|(x-0)(x-0.5)2(X-1)卜氏=州j产(0.25-r)J/=X0.0042120606<0.008

27、M7高斯求积公式7(x)dxe/(0.57735)+/(0.57735)将区间0.1二等分,用复-I1化高斯求积法求定积分JJKa的近似值.(高斯公式)11/2I解：|yfxdx=Jy/xdx+Jy/xdx001/2有1/2对于作变量换工=01/2JfQdx=f正“dt比一J1+0.57735+J10.57735o8.i831对于JJX/y作变量换工=二十一,1/24411Iy/xdx=-y/3+idt->/3+0.57735+V3-0.577351/28T8|yfxdxx1V1+0.57735+Jl-0.57735+13+0.57735+73-0.57735=0.6692o88试确定常

28、数A,B,C和a,使得数值积分公式比八可'()+团'(0)+q'(a)有尽可能高的代数精度.试问所得的数值积分公式代数精度是多少它是否为高斯型的(代数精度的应用和计算,高斯点的特征)解：分别取/(x)=l,x,/使上述数值积分公式准确成立,有;4+B+C=4&_)+C(a)=0/、,16<4_)-+C(.厂=4_)'+C(a)3=04)4+C(a)4="、J整理得:A+8+C=4A=C/(A+C)=Fa4(A+C)=y数值求积公式为26/710一"16仆10乙便、再取/(x)=x'=0再“左边心U竽右边苧-停Y.喈(肾喑

29、可见,该数值求积公式的最高代数精度为5.由于该公式中的节点个数为3,其代数精度达到了2x31=5次,故它是高斯型的.9设佗(x)是01区间上带权?(x)=x的最高次察项系数为1的正交多项式系(1)求与.(2)构造如下的高斯型求积公式/(/)+4/.1).(高斯求积)解(1)：采用施密特正交化方法,来构造带权夕(x)=x且在o,1上正交的多项式序列取己)(x)=l,设R(x)=X+%/(X),且它与庶(X)在0,1上带权0(x)=x正交,于是fx2dx(XP)J2.=(4记)=(x,%)+4©"),4=一3半=一一=一解储)xdx3022故(x)=x-(x)=x-o设巴(幻=

30、丁+&出+4凡(x),且它与综")、R(x)在0,1上带权P(x)=x正交,于是,fxydx(x2pJ10=(4/)=(/4)+%(凡/),<z0=-=-解劣)xdx202jx3(X-)t/x.=(8,用)=(x")+%(A,8),4=；？-=:r-=-1(片不卜(J.5o3,61)621)63R(x)=x8(x)外()=厂(x)=尸x+-52532510解2：只幻=工2-9%+上的零点为：勺,=吆®-51010分别取/'x=l,x,使上述求积公式准确成立,有<6-V610+竺理儿=1/3'艮10A>+4=4ML-靠解得：

31、4=-41676笫五章非线性方程求根姓名学号班级习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根,迭代法求根的收敛性和收敛速度的讨论.1用二分法求方程-X1=0的正根,要求误差小于.(二分法)解：f(x)=x2-x-,/(0)=-1<0,/(2)=1>0,/'3)在0,2连续,故0,2为函数的有根区间.(1)计算/(1)=一1<0,故有根区间为1,2.33313(2)计算/(二)=(二尸二1=一一<0,故有根区间为二,2.22242777537(3)计算/(一)=()-1=>0,故有根区间为一,一.4441624Ia1a1q1aia(4)计算/()=()

32、2-1=>0,故有根区间为二,上.88864281Q1a1Q1Q1Q(5)计算/()=()2-1=>0,故有根区间为二,上.888642875757571OS14(6)计算/()=()2-1=-<0,故有根区间为二,上.161616256168(7)计算/()=()2-<0,故有根区间为卫,U.3232321024328(8)假设取中点.=也1作为取根的近似值,其误差小于-=<0.0326483232103取近似根/=%1,6094,可满足精度要求.642说明方程工2+lnx4=0在区间1,2内有惟一根丁,并选用适当的迭代法求/(精确至3位有效数),并说明所用的迭

33、代格式是收敛的.(迭代法)解：/(a)=x2+lnx-4xel,2/=一3<0,/(2)=ln2>0,广")=2工+1>2、历>0,故函数单调增加,因此,x该方程在(1,2)之间存在着惟一的实根.取迭代函数火工)=34一Inxxel,2显然1v、行W14一In2W窗x)W,4-In1=2,且1xj4-lnx故迭代x=j4-lnv(%=1,2,)对任意初始值玉el,2收敛.对于初值为=1.5,其迭代值分别为公=1.8959,.=18331,x4=1.8423,x5=1.8409由于卜4一%|=0-00144,乂101,故%=1.8409作为近似值,已精确到了3位

34、有效数字.23设有解方程123x+2cosx=0的迭代法xm=4+二cosx“证实V/eR均有lim/=/(x*为方程的根).此迭代法的收敛阶是多少,证实你的结论.(3)取x°=4一>R用此迭代法求方程根的近似值,误差不超过10,列出各次迭代值.(和收敛性讨论)2解：8x=4+1cosx,忸'22-sinx<<1x£-s,s,故该迭代对任意初值均收敛于方程的根厂.解(2)：由x=4+cosx,故有；rv=4一一vx<4+=一<2乃一一.3333332夕'(不)=一二sinW0,故该迭代的收敛速度是1阶的.解(3)：取/=4,代入

35、迭代式,可计算出以下结果：X,=3.5642,x2=3.3920,x3=3.3541x4=3.3483.x5=3.3475由于卜5%|=0.0008vIO',取/13.3475可满足精度要求.4设,/=夕(/),miix|(x)|=2<1,试证实：由x“+i=3(x)=0,1,得到的序列%收敛于一.(收敛性证实)证实：由丁=夕(/)知,方程x=°(x)有根.七出一T奴X)-奴X*)|<义卜"一<九2卜1-T<I卜.一X*由当“18时,有再用一0,即序列xa收敛于<.5设方程33x2sinx=0在0,1内的根为/,假设采用迭代公式x.=1

36、一一sinx,试rill91证实：均有limz=/(x*为方程的根)；此迭代的收敛阶是多少,证实你的结论.(迭代法和收敛性讨论)2解：迭代函数p(x)=1-二sinxM'x|=-COSX故迭代在区间(一8,8)上整体收敛.=x>那么x=1-sinx,且<!+-=-<故d(x")=-cosx>*0故该迭代的收敛速度为1阶的.6方程1=0在/=1.5附近有根,把方程写成3种不同的等价形式：(1) x=l+'r,对应迭代格式：x“+i=1+丁厂七；(2) x-=+x2t对应迭代格式：3=#l+x：(3) x2=,对应迭代格式：xt=；一X-1V-l讨

37、论这些迭代格式在与=1.5时的收敛性.假设迭代收敛,试估计其收敛速度,选一种收敛格式计算出%=1.5附近的根到4位有效数字.(收敛速度的计算和比拟)解：f(x)=a3-x2-1,xel,1-oi3/(1)=-1<0,/(-)=_>0,故方程在1,一上有根x,282/(-)=-<0,故方程在工匕上有根一.46442“111494+知人113占坨/()=<0故号性1二,一.根xo851282对于迭代式(1)：(p(x)=1+-L,d(x)=一二(p'(x")=一,<2-()3=")'<12而.(丁)=一二700,故该迭代局部收

38、敛,且收敛速度为1阶的.X对于迭代式(2)：在xel,2上,？(x)=(l+/)"3e'(x)=2x3(l+x2)2/3<-r=v<<i,又“(r)=2二一wo,故该迭代在3(2x严33,3(i+J严xel,2上整体收敛,且收敛速度为一阶的.对于迭代式(3)：o(x)=I-L在1,2上的值域为L+s),该迭代式不收敛.Vx-1取迭代式招+i=.+焉,q=1.5进行计算,其结果如下：/=1.4812,公=1.4727,x3=1.4688,x4=1.4670x5=1.4662,x6=1.4659,x1=1.4657,=1.4656Ix8-x7I=0.0001&l

39、t;-xl0,-4,取4=1.4656为近似值具有4位有效数字.2(1)写出解/(幻=0的牛顿迭代格式;(2)证实此迭代格式是线性收敛的.(牛顿迭代的构造与收敛速度)解：牛顿迭代式为西.=2%+=,66斤方程的根为9(x)=*K+/v,8'(x)=*-7,(V«)=-066厂63x2因"(%)=1<1,故迭代局部收敛.又因吠(“)=1.0,故迭代收敛速度为1阶.228设计一个计算的牛顿迭代法,且不用除法(其中4>0).(牛顿迭代法)解：考虑方程&一L=0,/'(X)=,<P(X)=x-vaA=2x-yfcix1XJC1/尸七川=2五

40、一、值片而d(-U)=2-26-3=0,该迭代局部收敛.y/ayja9用牛顿法求JFI亍的近似值,取入=10或11为初始值,计算过程保存4位小数.牛顿迭代的构造解：考虑方程/(x)=115=0,ff(x)=2xf(p(x)=x-115=77(x+)2x2x1z115、X+1=(xn+)2x八取人=10为初始值,计算其迭代值如下：K=10.7500占=10.7238七=1072389,取、.二11为初始值,计算其迭代值如下：巧=10.7272x2=10.7238±=10723810设/是非线性方程/幻=0的m重根,试证实：迭代法具有至少2阶的收敛速度.收敛速度证实解：设,是非线性方程/

41、幻=0的m重根,那么z(x-x)g(x)"吆(x)+(x-x")g'(x)f(x)=(x-x)tng(x)9且g(/)wo及"?N2,其牛顿迭代函数为须)一胆一_,(一7一J'(x)m(x-x广g(x)+(x-x)'g'(x)牛顿迭代式引出?(x“一X)g(怎)吆(x)+(x-xX)g'(x).+1=X/I-X=8(%)X=(%X)一皿%-x)g(匕)吆(%)+(%-X)g'(X)兑7'2g'zg'X,=；c吆七+X一/g'区吆立+X一8区Hm芋=lim如乙=0廿q；"廿mg

42、(xn)+区-x)g'*)ing(x)故该迭代的收敛速度至少是2阶的.11设/是非线性方程/1)=0的m重根,证实：用牛顿迭代法求只是线性收敛.(收敛速度证实)解:设,是非线性方程/(幻=0的m重根,那么/(x)=(x-)"'g(x),且g(/)WO及?22,其牛顿迭代函数为/(x)_v(/一丁)""(幻丫(工一)g(x)fMm(xg*)+(x一x*yg(x)mg(x)+(x-x)gx)牛顿迭代式=x/?-:,fng(xn)+(xn-x)g(xn)=o(x)_x*=1_"')4e吆(x)+(xX)g(Z)lim&=liml

43、*").1=1-*")=l->0eis吆区)+(Z-x)g'区)m故收敛速度为1阶的.12设夕(“)=4,9(x)在“附近有直到阶的连续导数,且夕3)=0,“m3)工0,试证：迭代法七.=.(乙)在4附近是阶收敛的.(收敛速度证实)解：将夕(x)在.点附近作泰勒展式,有夕(x)=夕(幻+*4)2+-ay-'+*F)(x-ay1!2!(p-1)!p=a+-,其中,自在x与“之间.！于是：储出=Z+i一.=以5)一.=卢氏一六靖,其中,获在乙与.之间.p!pl由于limx.=a,故lim=a,从而Hm也-少=也廿ePn->x！因此,迭代的收敛速度为P

44、.第六章常微分方程数值解姓名学号班级习题主要考察点：欧拉方法的构造,单步法的收敛性和稳定性的讨论,线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论.1用改良的欧拉公式,求以下微分方程,2xy=y-一< .yxeOJ)(0)=1的数值解(取步长=0.2),并与精确解作比拟.(改良的尤拉公式的应用)解：原方程可转化为W=V_2x,令？=二,有生一2z=2x2dx解此一阶线性微分方程,可得y=J2x+1°利用以下公式2a-< 7=凹+.2(兑一口)< 儿=y+0.2.(y-竺)(/=0,1,2,3,4)>71 z、=5(%+K)求在节点3=0.2i(i=1,2,3,4,5)处的

45、数值解兑,其中,初值为人=0,儿=1.MATLAB程序如下:x(l)=0N初值节点y(l)=l微初值fprintf(1x(%d)=%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%fn,tl,x(l),l,y(D,l,y(D);fori=l：5yp=y(i)+*(y(i)-2*x(i)/y(i)小预报值yc=y(i)+*(yp-2*x(i)/yp)；%校正值y(i+l)=(yp+yc)/2;先改良值x(i+l)=x(i)+；%节点值yy(i+l)=sqrt(2*x(i+l)+l);%精确解fprintf(*x(%d)-%f,y(%d)=%f,yy(%d)=%fnrfi+l,x(i+l),i+lty(i+

46、l)ti+l,yy(i+l)；end程序运行的结果如下：x(l)=,y(l)=,yy(l)=x(2)=,y(2)=,yy(2)=x(3)=,y(3)=,yy(3)=x(4)=,y(4)=,yy(4)=x(5)=,y(5)=,yy(5)=x(6)=,y(6)=,yy(6)=yf+v=12用四阶龙格一库塔法求解初值问题,取=0.2.求x=020.4时的数值解.口(.)=0要求写出由人匕,儿直接计算力.1的迭代公式,计算过程保存3位小数.(龙格一库塔方法的应用)解：四阶龙格-库塔经典公式为7=尤+3(K+2k2+2k3+k4)oK=/(w“)&=/(七+)勺=/'区+?,'&

47、quot;+恤)&=/(%+/?,然+/)由于/(x,y)=ly,在各点的斜率预报值分别为：占=1一%攵2=1-(+M)=1->'n-3(1-K)=o-y)(l-1)攵3=1(%+%)=1K一3(1一)')(1一,)=(1一)'")1一：(1一,乙乙乙乙乙储=1一(%+股3)=1一心一加1一方)1一9(1-1)二(1一乂仇1一,?(1-1(1一)乙乙乙乙四阶经典公式可改写成以下直接的形式：=>'+g(l_y“)(6_3/?+/尸一1)64*.3在工=巧=.2处,有yt=0+(1-0)(6-3x0.2+(0.2)2一6在A=/=.4处

48、,有f)7(0=0.1813+(1-0.1813)(63x0.2+(0.2)2)=0.329764注：这两个近似值与精确解,=1在这两点的精确值十分接近.3用梯形方法解初值问题F+y=0,0=1证实其近似解为2八2+h)并证实当/?-0时,它收敛于原初值问题的准确解y=°解：显然,丁=6-"是原初值问题的准确解.求解一般微分方程初值问题的梯形公式的形式为y+i=+*/a,4+/匕+1,+乙对于该初值问题,其梯形公式的具体形式为hz、八h、/h、,2h、=>Tn+-一丁一%川,1+-K+I=1-2222+h于是：2-112-112-/?丫川2-hX+ly寸,=.卜,1-

49、TgJ亦即:匕尸'2-2<2+/?；汪意到：x=O+nh=nh,n=9令,=,-=有h2+hht2(2hW-士-士-土-包_xk_xn从而limyn=lim(l+f)1-lim(1+1)2=eTXn即：当/?-0时,收敛于原初值问题的准确解yx=e-%.y=-10y4对于初值问题.,证实当/?<0.2时,欧拉公式绝对稳定.显式和隐式欧拉公lyo=1式的稳定性讨论证实：显式的欧拉公式为X+1=1+/毯4,方=1-10/?%从而储*=1-,由于0v万<0.2,-1<1-10/<L|,j+1|<|n|因此,显式欧拉公式绝对稳定.隐式的欧拉公式为此7=先+/

50、?/*“居川=£,一10力%.1Ve=,."-,e=-l+10/z2l+10/i由于Ov,0<一!一<1,Ie.J<|e1+10/?1"川1因此,隐式的欧拉公式也是绝对稳定的.5证实：梯形公式,用=y+3"%y“+/x心,*无条件稳定.梯形公式的稳定性讨论解：对于微分方程初值问题yr=一丸y'y(o)=1(2>0)其隐式的梯形公式的具体形式可表示为hr.今n助、Air,2一入h、%+i=y,i+t-4y一办'“+i1,a+亏%+i=a一亏>、,£出=y/r2222+AJi2Ah从而与山=-一en2+

51、Ah由力>0,丸>0可知,2土2.|e“|=|e"故隐式的梯形公式无条件稳定.2+Ahyr=fx,y6设有常微分方程的初值问题,1J,试用泰勒展开法,构造线性两步法数值计算公式+7=&+做自,+PJ1,使其具有二阶精度,并推导其局部截断误差主项.局部截断误差和主项的计算解：假设立=yx“,yn.x=yxn_,利用泰勒展式,有=*“-y'x“力+二2-'；力+2ofn=f(Xn,)=f(Xn,>(%)=)A-1=f(xn-i,yn-x)=f(xn-i,y(1)=y'(%)=/K)-y"a+八-$>'n+i=2a)

52、*“)+(A)+A-o)y'(x“),?+(-笈)y"(x)h2+(1+4)'"匕)h'+2021,12又y«r+i)=yM+yxn)h+-yxnw+-)严(%)+2o欲使其具有尽可能高的局部截断误差,必须2.=1,风+-a=1,-A=乙乙一171从而a=9/0=二,P="T244171于是数值计算公式为ym=；(%+/_1)+力(7,一彳/；一).244该数值计算公式的局部截断误差的主项为义加)-f4)产(X、+=三)严.、+oo2247初值问题)=2x<y(0)=0y(0.1)=0.01取步长=0.1,利用阿当姆斯公式)

53、,N=y+g(3,一/；i),求此微分方程在o,10上的数值解,求此公式的局部截断误差的首项.(阿当姆斯公式的应用)解：假设yn=y(x),yn_x=y(xn_,),利用泰勒展开,有%=y(x),fn=y'(%),fn-i=y,(xn_i)=y(xn)-yxn)h+乙)=义当)+M+；V区/-川+1.1Q而)'(x+i)=)'(a)+y'(x)力+-yxn)ir+-)严(与)+2oy(x+i)-+i=4+)犷+=工)/(%)'+6412该阿当姆斯两步公式具有2阶精度,其局部截断误差的主项为上12取步长力=0.1,节点匕=0.1=0,1,2,100,注意到/x,y=2x,其计算公式可改写为%+='"+¥6%一=>'+0.02+0.01仅需取一个初值凡=0,可实现这一公式的实际计算.其MATLAB下的程序如下：xO=0；%初值节点yO=0微初值for"0:99yl=yO+*n+;xl=xO+；fprintf(rx(%3d)-%10.8f.i3d)=%10.8fnf,n+l,xl,n+lty