导数中双变量地函数构造

1、实用标准文档导数中双变量的函数构造21. (12 分)已知函数 f(x)=lnx_e-(九 WR)(1)若函数f(x)是单调函数，求 九的取值范围; 求证：当 0 <x1 <x2 时，都有 e1-2 -e1-1 >1 -2-. xi21 .解：(1)函数 f (x)的定义域为(0,收),f (x) =(lnx_e" , . . f )x)=t +e"+xe , xx函数f(x)是单调函数，f'(x)< 0或f'(x)>0在(0,上C)上恒成立，; f (x) < 0 ,' 'xe < 0 ,即儿 +x

2、e- < 0 , I. < -xe- =,xexx . x -1令中(x) = F ,则中(x)=、-,当 0cx父1 时，中'(x) <0;当 x>1 时，中'(x)>0. ee11则q(x)在(0,1)上递减,(1,依)上递增，用(xLn =甲(1)= 一，. K& 一； ee f (x)>0,/ +xe > 0 ,即九十xe>0,九 xe"=二，xex由得平(x) =f在(0,1)上递减，(1,收)上递增，又中(0)=0, xt "时邛(x)<0, 九>0； e综上可知，e0 ;61

3、.1x .(2)由(1)可知，当 =时，f (x) = 一ln x -e 在(0, 土叼上递减，: 0 < x1 < x2 , ee f (x1) > f (x2),即-In x1 e" >-ln x2 -e2 , /. e1"2 e1" >ln x1 ln x2 ,ee要证 e1"2 -e11 >1 -里,只需证 ln x1 -ln x2 >1 -2 ,即证 In ' >1 -2-, xx1x2x1人x1/、,1 人,、,1 ,、t 一1 c令 t=4, tw(0,1),则证 lnt>1，令

4、 h(t) = lnt+-1 ,贝u h (t) = <0 ,x2ttt1h(t) 在(0,1)上 递减， 又 h(1) = 0 , h(t) >0 , 即 lnt>1 , 得 t证. 12分典例已知函数f (x) =ax2+xln x(a R)的图象在点(1 , f(1)处的切线与直线x + 3y = 0垂直.(1)求实数a的值；m n(2)求证：当 n>m>0 时，In n-ln n m解(1)因为 f (x) =ax2+xln x,所以 f ' (x) =2ax+ln x+1,因为切线与直线x+3y = 0垂直，所以切线的斜率为3, 所以 f 

5、9; (1) =3,即 2a+ 1 = 3,故 a=1.m n(2)证明：要证 ln n-ln m>%m即证1nm> m m，只需证 ln m- m+ m> 0.令口 = x,构造函数 g(x)=ln x- + x(x>1), mx则 g' (x)= + 2+1. x x因为 x 1 , +00),所以 g' (x) =-+±+ i>0, x x故g(x)在(1, +8)上单调递增.n由已知n>m>0,得m> 1,所以 g n(>g(1) =0, m即证得in nm- m+ m> 0成立，所以命题得证.21.

6、 (2017 石家庄质检)已知函数f(x) =a4x5x(x>0),其中e为自然对数 e的底数.(1)当a=0时，判断函数y = f(x)极值点的个数；x2(2)右函数有两个零点xb x2(x1<x2),设t =丁，证明：x + x2随着t的增大而 x1增大.2x解：(1)当 a=0 时，f (x) = r(x>0), e2x - exx令 f ' (x) =0,得 x=2,当 xC(0,2)时，f' (x)<0, y = f(x)单调递减，当 xC(2, 十°°)时，(x) >0, y=f(x)单调递增, 所以x = 2是函数

7、的一个极小值点，无极大值点， 即函数y = f (x)有一个极值点.X23(2)证明：令 f(x) = ayfX r=0,得 x2=ae', e因为函数有两个零点Xi, X2(Xl<X2),333所以 xii2=aexi, x22 =aex2,可得21n x1 = ln a + xb3. 一，21n X2 = ln a + X2.X2 Xi = 3ln X2-3ln xi = 3ln- 222Xi取对数，做差将两个零点X1, X2(X1<X2),用t表示，注意的隐含 范围。文案大全X2 = tx 1 ,一 X2又X" = t，则 t >1,且 311x2Xi

8、=21n3321n t 2t1n t解得 x1 ti , X2= ti所以 Xi + X2= 2t + 1 In tt -1令 h( x)=x+1 In x -、y q， xC (1 , i),XI一 ,12ln x + x- x 贝 1 h (x)=x 1令 u(x) = 2ln当 xC(1, +oo)时，u' (x)>0.因此，u(x)在(1, +oo)上单调递增，故对于任意的 X (1 , +00), u(x)>u(1)=0,由此可得h' (X)>0,故h(x)在(1 , +8)上单调递增.因此，由可得X1+X2随着t的增大而增大.2. (2016 全国

9、乙卷)已知函数f(x) = (x 2)eX+a(x1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设X1, X2是f (x)的两个零点,证明：x1 + x2<2.解：(1)f'(x) =(x1)eX+2a(x1) =(x1)(ex + 2a).设a=0,则f(x) = (x 2)ex, f(x)只有一个零点.设 a>0,则当 xC(oo, 1)时，f' (x)<0；当 xC (1 , +00)时，f ' (x)>0 ,所以f(x)在(一8, 1)内单调递减，在(1, +OO)内单调递增.一 a又 f(1) = e, f (2) =a,取 b 满足

10、b<0且 b<ln 万，贝U f(b)>*b 2) +a(b1)2= a b2-3b >0,2<2 7故f(x)存在两个零点.设 a<0,由 f ' (x) = 0 得 x = 1 或 x = ln( 2a).e -若 a>-2,则 ln( -2a) <1,故当xC (1 , +8)时，f' (x)>0,因此f(x)在(1 , +8)内单调递增.又当x<1时，f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.4 e右 a< 2，则 ln( 2a)>1 ,故当 xC (1 , ln( -2a)时，f '

11、 (x)<0；当 xC(ln( 2a), 十)时，f' (x)>0.因此f(x)在(1, ln( -2a)内单调递减，在(ln( 2a), +oo)内单调递增.又当x<1时，f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0, +00).(2)证明：不妨设 x1<x2,由(1)知，x1 C ( OO, 1) , x2C (1 , +oo) , 2 x2C ( °°, 1),又f (x)在(一oo, 1)内单调递减，所以 x1 + x2<2 等价于 f (x1)>f (2 x2),即 f(2x2)<0.由

12、于 f (2 x2) x?e2 x2+ a( x2 1),而 f(x2) =(x2 2)ex?+ a(x21)2 = 0,所以 f (2 x2) = x2e2 x2一 (x2- 2)ex2.设 g(x) = xe2 x(x 2)ex,则 g' (x) =(x1)(e 2 x-ex).所以当 x>1 时，g' (x)<0,而 g(1) =0,故当 x>1 时，g(x)<0.从而 g(x2) =f (2 x2)<0 ,故 x + x2<2.3 .已知函数f (x) =exax1(a为常数)，曲线y= f (x)在与y轴的交点A处的 切线斜率为-1

13、.(1)求a的值及函数y=f(x)的单调区间；(3)若 xYln 2 , x2>ln 2 ,且 f (x1)= f (x?),试证明：x1 + x2<2ln 2 .解：(1)由 f (x) =exax1,得 f' (x) =ex a.又 f' (0) =1a= 1,所以a=2,所以 f(x) =ex 2x1, f ' (x) =ex 2. x由 f (x)=e2>0,得 x>ln 2 .所以函数y=f(x)在区间(一oo, in 2)上单调递减，在(In 2 , + 00)上单调递 增.(2)证明：设 x>ln 2 ,所以 21n 2 -x

14、<ln 2 ,f (2ln 2 x) = e(21n 2 x)-2(2ln 2 -x) -14 1=2x 4ln 2 1. e令 g( x) = f (x) f (2ln 2 -x)= ex-2-4x+4ln 2( x>In 2), e所以 g' (x) =ex+4e x4>0,当且仅当x=ln 2时，等号成立，所以 g(x) =f (x) f (2ln 2 x)在(In 2 , +)上单调递增.又 g(ln 2) =0,所以当x>ln 2时，g(x) =f (x) f (2ln 2 x) >g(ln 2) =0,即 f (x) >f (2ln 2

15、-x),所以 f (x2) >f (2ln 2 -x2),又因为 f(x1)=f(x2),所以 f (x1)>f (2ln 2 x2),由于 x2>In 2 ,所以 21n 2 -x2<ln 2 ,因为 x1<ln 2 ,由(1)知函数y=f(x)在区间(一8, in 2)上单调递减，所以 Xi<2ln 2 -X2,即 Xi + X2<2ln 2 .1 2.一4 . (2017 沈阳质监)已知函数 f(x)=2x aln x+b(aCR).(1)若曲线y = f(x)在x=1处的切线的方程为3x y 3 = 0,求实数a, b的值；(2)若x= 1是函

16、数f(x)的极值点，求实数a的值；_一 ，一一 一 .1111 一(3)右2&a<0,对任息 x1，x2 (0,2,不等式 | f(x。f (x2)| <m- 恒x x2成立，求m的最小值.解：(1)因为 f(x) =2x2aln x + b,所以 r (x) =xa, ' ' x因为曲线y=f(x)在x=1处的切线的方程为3x y 3=0,1 :3,10,7 a=3,即1 3+b=0,. 2a= - 2,解得1 .一因为x = 1是函数f (x)的极值点，所以 f ' (1) =1a = 0,所以 a=1.当 a=1 时，f(x)=2x2In x

17、+ b,定义域为(0, +00),f'(x)1 x2 1=x-x= x =x- 1x+ 1当 0Vx<1 时，f ' (x)<0, f(x)单调递减, 当x>1时，f'(x)>0, f(x)单调递增， 所以a=1.(3)因为一20a<0,0 <x<2,所以 f ' (x) =x a>0, x故函数f(x)在(0,2上单调递增，不妨设 0<x10x202,.11 m . m则| f (x1)一f (x2)| <my-可化为 f(x2) +<f (x1)+ 一, x1 x2、 ，x2x1设 h(x)

18、=f (x) + 吗 1x2aln x+ b + m, x 2x则 h(xi) >h(X2).所以h(x)为(0,2上的减函数,即 h，(x) =x a me 0 在(0,2上包成立， x x等价于x3 axme0在(0,2上包成立，即m>x3ax在(0,2上恒成立，又一20 a< 0,所以 ax>一2x,所以 x ax wx + 2x,而函数y = x3+2x在(0,2上是增函数，所以x3+ 2x&12(当且仅当a= 2, x= 2时等号成立).所以m> 12,即m的最小值为12.1 一 _5 .已知函数 f(x)=x3 g(x)=aln x(aCR).

19、 x(1)当a> 2时，求F( x) =f (x) -g(x)的单调区问；(2)设 h(x) =f(x)+g(x),且 h(x)有两个极值点为 x1，x2,其中 x1 0, 1,< 21求h(x1)一 h(x2)的最小值.解：(1)由题意得 F(x)=x ' aln x(x>0), xf r 一 ，、 x ax + 1 人，、2.2则 F (x) =2,令 n(x) =x ax+ 1,则 A = a 4.' ' x当一20a02 时，A<0,从而 F(x) >0, 所以F(x)的单调递增区间为(0, +oo)；当a>2时，A >

20、0,设F' (x) =0的两根为a _ yla _4a+x/a 4X1 = - 2，3 - 2，所以F(x)的单调递增区间为a da2 4 !0,;4即、 2F(x)的单调递减区间为a 4a2 4 a+Ka2 4、2'2，综上，当一2&a02时，F(x)的单调递增区间为(0, +8)； 当a>2时，F(x)的单调递增区间为F(x)的单调递减区间为a a2 4 a+、a2 42'21对 h(x) =xx+aln x, x (0 , + 00)求导得,、,1 a x2+ax+1h(刈=1+7+ x=x,h' (x)=0 的两根分别为 x1，x2,则有

21、x1 x2= 1, x + x2= a,所以x2= 从而有a= x1 x1x1令 Hx) = h(x) h=x-+ -x-x I1 .1,xln x-x+-x-11 in'Cx-11n x+x一 x即 H' (x) =2 -2-1 ln xx J2 1-x 1+x=2xln x(x>0).t 1 1L ，/当 x 0, 2 符,H (x)<0,所以 H(x)在 F，单调递减,又 H(xi) =h(x1)-h=h(xi)-h(x2),上5ln 2 3.所1 以h( x)一 h( x2) min =6 .设 f (x) =ex a(x+ 1).(1)若？ xC R, f

22、(x) 0恒成立，求正实数a的取值范围;a-设 g(x) =f(x)+二，且 Ax1, y)，B(x2, y2)( xwx2)是曲线 y = g(x)上任息 e两点，若对任意的a<- 1,直线AB的斜率恒大于常数m,求m的取值范围.解(1)因为 f(x)=ex a(x+1), 所以 f ' (x)=exa.由题意，知a>0,故由 f，(x) =exa=0,解得x = ln a.故当 x C ( oo, in a)时,f' (x)<0,函数f(x)单调递减；当 xC (ln a, +00)时，f' (x)>0,函数f(x)单调递增.a.所以函数 f(x)的最小值为 f(ln a)=elna a(ln a+1)= aln由题意，若？ xC R, f (x) 0包成立，即 f(x) =ex a(x+1) >0 包成立，故有一aln a> 0,又 a>0,所以 In a< 0,解得 0<a<1,所以正实数a的取值范围为(0,1.设