全等三角形全章复习和巩固(提高)知识讲解

1、12 / 12全等三角形全章复习与巩固（提高）【学习目标】1 . 了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2 .探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；3 .会作角的平分线，了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质, 会利用角的平分线的性质进行证明.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：388614 全等三角形单元复习，知识要点】 要点一、全等三角形的判定与性质一般二角形直角三角形判定边角边（SAS 角边角（ASA 角角边（AAS 边边边（SSS两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL）性质对应边相

2、等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等）备注判定三角形全等必须有一组对应边相等要点二、全等三角形的证明思路找夹角t SAS 已知两边找直角t HL、找另一边t SSS'边为角的对边已知一边一角 边为角的邻边t找任一角t AAS找夹角的另一边t SAS找夹边的另一角 T ASA 找边的对角t AAS口斤门由疗械夹边t ASA 已知两角匕，一,四任一边t AAS要点三、角平分线的性质1 .角的平分线的性质定理角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等2 .角的平分线的判定定理角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上3 .三角形的角平分线三角形角平分线交于一点，且到三边的距

3、离相等4 .与角平分线有关的辅助线在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.要点四、全等三角形证明方法全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法.1 .证明线段相等的方法：(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等(3)等式性质.2 .证明角相等的方法：(1)利用平行线的性质进行证明

4、.(2)证明两个角所在的两个三角形全等.(3)利用角平分线的判定进行证明.(4)同角(等角)的余角(补角)相等 .(5)对顶角相等.3 .证明两条线段的位置关系(平行、垂直)的方法：可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.4 .辅助线的添加：(1)作公共边可构造全等三角形；(2)倍长中线法；(3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.5 .证明三角形全等的思维方法 ：(1)直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发 现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件(2)如果

5、要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据 图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件(3)如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之 出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质【典型例题】类型一、巧引辅助线构造全等三角形(1) .倍长中线法用曰1、已知，如图， ABC中，D是BC中点，D吐DF,试判断 BE+ CF与EF的大小关系， 并证明你的结论.【思路点拨】 因为D是BC的中点，按倍长中线法，倍长过中点的线段DF,使口合DF,证明 EDe AEDF AFD(C4GDB这样就把 BE CF与EF线段转化到了 B

6、EG中，利用两边之 和大于第三边可证.【答案与解析】BE+ CF> EF；BG EG证明：延长FD到G使D。DD是BC中点 .BD= CD 又 DEL DF 在 EDG EDF 中ED =ED I ：/EDG =/EDF DG =DF . ED® EDF (SAS) .Ea EF 在"DC与AGDB中CD =BD 1 "2 DF = DG. .FD隼GDB(SAS) .CF= BG BJ BE> EG BE+ CF> EF【总结升华】 有中点的时候作辅助线可考虑倍长中线法(或倍长过中点的线段)举一反三：【变式】已知：如图所示，CE CB分别是 A

7、BC与4ADC的中线，且/ ACB= /ABC求证：CD= 2CE【答案】证明： 延长CE至F使EF= CE连接BF. EC为中线，AE = BEAE = BE, |在AEC与BEF中，/AEC =/BEF ,CE =EF,AAE(C BEF (SAS.AC = BF, / A= / FBE.(全等三角形对应边、角相等)又,: /ACB= /ABC / DBC= / AC拼 /A, / FBC= Z ABO /A. AC = AB, / DBC= / FBC.AB = BF.又 BC为 ADC的中线, AB = BD 即 BF=BD.BF =BD, _ , ! 在 FCB与 DCB中，N FB

8、C = / DBC ,BC = BC,AFCE DCB (SAS).CF = CD 即 CD= 2CE.(2) .作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形命 2、已知：如图所示，在 ABC中，Z C= 2/B, /1 = /2.求证：AB= AO CD【答案与解析】证明：在 AB上截取AE= AC.AE=AC（已作），在人£口与4 ACD中，.1=/ 2（已知），、AD = AD（公用边）， AAEtD MCD （SAS）.ED = CD/AED= / C（全等三角形对应边、角相等 ）. 又 Z C= 2/B .-/ AED= 2/B.由图可知：/ AED= / B+ / EDB

9、2 / B=/ B+ / EDB /B= /EDBBE = ED 即 BE= CD.AB = AE+ BE= AJ CD（等量代换）.【总结升华】 本题图形简单，结论复杂，看似无从下手，结合图形发现AB>AC故用截长补短法.在AB上截取AE= AC.这样AB就变成了 AE+ BE,而AE= AC.只需证BE= CD即可.从而把AB= AO CD转化为证两线段相等的问题.举一反三:【变式】如图，AD是AABC的角平分线，H, G分别在AC, AB上，且HD= BD.(1)求证：/ B与/ AHD5补；(2)若/ B+ 2/DGA= 180° ,请探究线段 AG与线段AH HD之间

10、满足的等量关系，并加 以证明.证明：（1）在AB上取一点 M,使得A隹AH,连接DM. /CAD= Z BAD, AD= AD, MH国 AAMD.HD= MD, /AHD= Z AMD. HD= DB, DB= MD.ZDMB= Z B. ZAMD- / DMB = 180 , ZAHDF / B= 180 .即 ZBAHDS补.（2）由（1） /AHD= ZAMD, HD= MD, ZAHDF / B= 180* ZB+ 2/DGA = 180?ZAHD= 2/DGA./AMD= 2/DGM. ZAMD= Z DGM- / GDM.2/DG璃 Z DGM- Z GDM.ZDGM= Z GD

11、M.MD= MG.HD= MG. AG= AM+ MG,AG= AH+ HD.(3).利用截长(或补短)法作构造全等三角形6 120 如图，加中，AB=AC，点P是三角形右外一点，且/ APB= / ABC .(1)如图1,若/ BAC=60。，点P恰巧在/ ABC的平分线上，PA=2,求PB的长;(2)如图2,若/ BAC=60 °,探究PA, PB, PC的数量关系，并证明；(3)如图3,若/ BAC=120 °,请直接写出PA, PB, PC的数量关系.APBC图3 ABC是等边三角形，/ APB=/ABC,得图1【思路点拨】(1) AB=AC , / BAC=60

12、°,证得至|J/APB=60°,又点P恰巧在/ ABC的平分线上，得到/ ABP=30 °,得到直角三角形，禾U 用直角三角形的性质解出结果.(2)在BP上截取PD,使PD=PA,连结AD ,得到4ADP是等边三角形，再通过三角形全 等证得结论.(3)以A为圆心，以 AP的长为半径画弧交 BP于D,连接AD ,过点A作AF LBP交BP 于F,得到等腰三角形，然后通过三角形全等证得结论.【答案与解析】解：(1) AB=AC , / BAC=60 °, .ABC是等边三角形，/ APB=/ABC, ./ APB=60 °,又.点P恰巧在/ ABC

13、的平分线上， ./ ABP=30 °, ./ PAB=90 °,BP=2AP , .AP=2,BP=4;(2)结论：PA+PC=PB.B证明：如图1,在BP上截取PD,使PD=PA,连结AD , . / APB=60 °, . ADP是等边三角形, ./ DAP=60 °, / 1 = /2, PA=PD, 在4ABD与4ACP中，Ta二 pd-Z1=Z2,i AB 二 ACABDA ACP, PC=BD , PA+PC=PB;(3)结论： V3PA+PC=PB .证明：如图2,以A为圆心，以AP的长为半径画弧交 BP于D,连接AD ,过点A作AFLBP

14、 交 BP 于 F,AP=AD , . / BAC=120 °, ./ ABC=30 °, ./ APB=30 °, ./ DAP=120 °,1 = Z2,在ABD与AACP中，'AB = AC，Z2=Z1,lAD=APABDA ACP,BD=PC , AFXPD,VsPF=XAP ,2pd=Tsap,.*PA+PC=PB .【总结升华】 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，截长补短作辅助线构造全等三角形是解题的关键.【变式】如图， AD是4ABC的角平分线，AB> AC,求

15、证：AB- AC> BD- DC【答案】证明：在 AB上截取AE= AC,连ZDEAD是 ABC的角平分线，/BAD= Z CAD在AED与AACD中AE =ACBAD =/CAD、AD = AD.AE呼AAD（C（ SAS.DE= DC在 ABED 中，BE> BD- DC即 AB- AE> BD- DC.AB- AO BD- DC（4）.在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段上上-口,/ 4、如图所不，已知 E为正万形ABC曲边CD的中点，点F在BC上，且/ DAE= / FAE.求证：AF=AD+ CF.【思路点拨】 四边形ABC阴正方形，则/ D= 90°

16、.而/ DAE= / FAE说明AE为/ FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而E到AD的距离已有，只需作 E到AF的距离 EM即可，由角平分线性质可知ME= DE, AE= AE. RtAME与RtADE全等有 AD=AM而题中要证 AF= AD+ CF.根据图知 AF= A- MF.故只需证 MF= FC即可.从而把证 AF= AD+ CF转化为证两条线段相等的问题.【答案与解析】证明：作MEL AF于M连接EF.四边形ABCM正方形，/ C= / D= / EMA= 90° .又 / DAE= / FAEAE为/ FAD的平分线，ME = DE在RfAME

17、与RfADE中，IAE = AE(公用边 DE = ME(已证)，Rt AME2 RtAADE(HL).AD = AM隹等三角形对应边相等 ).又 E为CD中点，DE=EC.ME = EC在 Rt EM* Rt ECF中,ME =CE（已证），EF =EF（公用边），Rt EMF RtAECF（HL）.MF = FC（全等三角形对应边相等 ）.由图可知：AF= A- MFAF =AA FC（等量代换）.【总结升华】 与角平分线有关的辅助线：在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.、如图所示，在 ABC中，AC=BC /ACB=90 , D是AC上一点，且

18、 AE垂直BD的延1 _长线于E, AE = BD ,求证：BD是/ ABC的平分线.2【答案与解析】 证明：延长AE和BC交于点F,. ACL BC, BE! AE, / ADE4 BDC(对顶角相等)， / EAD吆 ADEh CBD廿 BDC 即/ EADh CBD 在 RtMCF 和 Rt BCD43.ZC尸= NBC。=90*（己知），金C =（己知），=（己证），L所以 RtAACF RtBCD （ASA.则AF=BD（全等三角形对应边相等）.11 AE= BD AE= AF,22即 AE=EF在 RtBEA和 RtBEF 中，/£ =跖（已证）,< ZAEB =

19、ZFEB = 9Q“（己知），9二3外公共边）.贝U Rt BEA Rt BEF （ SAS .所以/ ABE=/ FBE （全等三角形对应角相等） 即BD是/ ABC的平分线.【总结升华】如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决.平时练习中多积累一些辅助线的添加方法 类型二、全等三角形动态型问题【高清课堂：379111直角三角形全等的判定，巩固练习5】 6、在 ABC中，Z ACB= 90° , AC= BC直线l经过顶点C,过A, B两点分别作l的垂 线AE, BF,垂足分别为E, F.(1)如图1当直线l不与底边 AB相交时

20、，求证：EF=AE+ BF.(2)将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB相交于点D,请你探究直线l在如下位 置时,EF、AE、BF之间的关系， AD> BD;AD= BD;AD< BD.【答案与解析】证明：(1)A已 l , BF± l ,AEG= / CFB= 90° , Z 1 + Z 2=90° . /ACB= 90° , .2+/3=90°Z 1 = / 3。 在 ACE 和 CBF 中，AEC = CFB I ；Z1 u/3AC =BC. AC珞 CBF (AAS) .AE= CF, CE= BF EF= CE+ CF,

21、EF= AE+ BF。(2)EF= AE- BF,理由如下：AE± l , BF± l ,，/AEC= Z CFB= 90° , /1 + /2 = 90° . /ACB= 90° ,2+/3=90° ,1 = /3。 在 ACE 和 CBF 中AEC »CFB 1= 3AC =BC AC珞 CBF (AAS)AE= CF, CE= BF EF= CF- CE,EF= AE- BF。 EF= AE- BF EF= BF AE 证明同.【总结升华】解决动态几何问题时要善于抓住以下几点：(1)变化前的结论及说理过程对变化后的结论

22、及说理过程起着至关重要的作用；(2)图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段 之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键；(3)几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴原有的结论与过程, 其结论有时变化，有时不发生变化.举一反三：【变式】(2015?临沂模拟)【问题情境】如图，在正方形 ABCD中，点E是线段BG上的动点，AEXEF, EF交正方形外角/ DCG 的平分线CF于点F.【探究展示】(1)如图1,若点E是BC的中点，证明：/ BAE+ / EFC= / DCF .(2)如图2,若点E是BC的上的任意一点(B、C除外)，/ BAE+ ZEFC=Z DCF是否仍 然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.【拓展延伸】(3)如图3,若点E是BC延长线(