第二章.平面汇交力系和平面力偶系

1、 2 1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系平面汇交力系: 诸力作用线共面且汇交于同一点诸力作用线共面且汇交于同一点AP1F2F3FA取取A 环为环为受力体受力体ACBGD取取B 铰铰(点点)为受力体为受力体BAFBCFTFBxFByFBA1F2F3F4F1. 平面汇交力系合成的几何法平面汇交力系合成的几何法 力多边形规则力多边形规则1F1F2F1RF2RFRFRFRF2F3F4F4F3Fbb任意改变力系中力的力矢的衔接次序任意改变力系中力的力矢的衔接次序 可得不同形状的力多边形可得不同形状的力多边形, 但是但是, 封闭封闭边边 合力的大小和方向是不变的

2、合力的大小和方向是不变的.任选一点任选一点, 将诸力按各自的大小及方向依次首尾相连将诸力按各自的大小及方向依次首尾相连, 可可得一不封闭多边形得一不封闭多边形. 力系的合力大小构成其封闭边力系的合力大小构成其封闭边, 方向方向为由第一个力的始端指向最后一个力的终端为由第一个力的始端指向最后一个力的终端.)(1RF)(2RF1F例一例一. 在物体在物体O 处作用一平面汇交力系处作用一平面汇交力系. F1 = F2 = 100N , F3 = 150N , F4 = 200N . 方向如图示方向如图示. 试用几何法求合力试用几何法求合力. o507080O1F2F3F4FRFRF2F3F4Fd解解

3、: 选比例尺选比例尺10cm = 50N量得量得: od = 34cm 054)(170 NFR507080O1F2F3F4FRF2. 平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的几何条件507080O1F2F3F4F5F1F5F2F3F4FoRF 1F2F3F4FoRF等效于原力系等效于原力系RF 41iiF若原力系若原力系O 处加一力处加一力RFF 5则新的合力则新的合力RF051 iiF此时此时, 汇交力系平衡汇交力系平衡, 力多边形自行封闭力多边形自行封闭. 诸力首尾相接诸力首尾相接.例：水平梁AB 中点C 作用着力P P，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成60角，支承情况如图(a)

4、所示，试求固定铰链支座A 和活动铰链支座B 的反力。梁的自重不计。 解 (1) 取梁AB 作为研究对象。 (2) 画出受力图。 (3) 应用平衡条件画出P、NA 和NB 的闭合力三角形。 (4) 解出： = Pcos30=17.3kN， =Psin30=10kNA A6060P PB B3030a aa aC C(b)(b)B BD DA AC C60603030P PE EP P60603030H HK K(c)(c)AFAFAFBFBFBF例二例二 ( 书上书上p23 例例2 1 ) 图示由两杆组成的三角架图示由两杆组成的三角架 受力如图示受力如图示. 已知已知C 为为AB杆的杆的 中点中

5、点, 力力P = 10 kN , 杆重不计杆重不计, 求求A 端的支反力和端的支反力和DC 杆所受到的力杆所受到的力.ACBPCFEPCFAFAF ACBDP4545 45116.618.4解解: 取取AB 杆为研究对象杆为研究对象由三力平衡汇交由三力平衡汇交, A ,B ,C 三点的作用力汇交于三点的作用力汇交于E 点点.由平衡而力多边形自行封闭由平衡而力多边形自行封闭, 可得封闭的力三角形可得封闭的力三角形.( 下面不用直接测量法下面不用直接测量法, 而用解三角形法而用解三角形法 )06 .2621 tg0004 .18sin45sin6 .116sinPFFAC kNPFA36.224

6、.18sin45sin00 kNPFC34.284 .18sin6 .116sin00 答答: A 端的支反力方向图中已给出端的支反力方向图中已给出, 大小为大小为22.36 kN . DC 杆由二力平衡杆由二力平衡和作用反作用公理可知为两端受同和作用反作用公理可知为两端受同样大小为样大小为28.34 kN 的压力的压力.CDCFDFxO 2 2 平面汇交力系合成与平衡平面汇交力系合成与平衡 解析法解析法 1. 力在正交坐标系下的投影与力的解析表达式力在正交坐标系下的投影与力的解析表达式AFyX cos:FXOxF轴上的投影轴上的投影在在力力Y同理同理可有可有 sin:FYOyF轴上的投影轴上

7、的投影在在力力上述的定义式中上述的定义式中, 角为力矢与角为力矢与Ox 轴的正向轴的正向 所夹的角所夹的角. 所以所以, 力在规定了方向的轴上的力在规定了方向的轴上的 投影是代数量投影是代数量. 其正负或零由角度的大小来其正负或零由角度的大小来 决定决定. 不过不过, 在实际的计算中在实际的计算中, 投影值的正投影值的正 负可直接从图中判断负可直接从图中判断, 而大小为力与其和而大小为力与其和x 轴所夹锐角正余弦乘积的值轴所夹锐角正余弦乘积的值.xOAFy YX力的正交分解与力的投影力的正交分解与力的投影:xFyFyxFFF jYiX .,轴轴的的单单位位矢矢量量轴轴和和为为分分别别其其中中y

8、xji i jjYiXF 称为力的解析表达式称为力的解析表达式注意注意 : 这里的分力与投影的关系这里的分力与投影的关系iXFx jYFy .,.,.,YFXFYXFFFFOyOxFFYXyxyxyx 即即投影投影在两轴上的在两轴上的等于力等于力上上在数值在数值和和沿两轴的分力沿两轴的分力力力两正交时两正交时当当二者不可混淆二者不可混淆是矢量是矢量和和而而是代数量是代数量力在轴上的投影力在轴上的投影此外此外, 分力有确定的作用点分力有确定的作用点, 力的投影没有这个概念力的投影没有这个概念, 只有只有 代数长代数长 的概的概念念. 一个力对所有同一方向的有向直线的投影都相等一个力对所有同一方向

9、的有向直线的投影都相等.,便不相等便不相等影影与在此两坐标轴上的投与在此两坐标轴上的投的数值的数值沿两坐标轴方向的分力沿两坐标轴方向的分力不正交时不正交时与与当当YXFFOyOxyxOyxXYFxFyF.,.,.,YFXFYXFFFFOyOxFFYXyxyxyx 即即投影投影在两轴上的在两轴上的在数值上也不等于力在数值上也不等于力和和沿两轴的分力沿两轴的分力力力正交时正交时两轴不两轴不当当二者不可混淆二者不可混淆是矢量是矢量和和而而是代数量是代数量力在轴上的投影力在轴上的投影2. 平面汇交力系平面汇交力系 合成的解析法合成的解析法汇交力系的合成是一合力汇交力系的合成是一合力. 根据数学上的合矢

10、量投影定理可得知根据数学上的合矢量投影定理可得知: 汇交力汇交力系的合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和系的合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和. niiRFF1由由可得可得: niiRniiRYFXFyx11 2222 YXFFFyxRRRxyRRFFXYtg 为合力与为合力与x 轴所夹轴所夹锐角锐角,其方位由合力其方位由合力在在x ,y 轴投影的正轴投影的正负来确定负来确定.xy例一例一. 在物体在物体O 处作用一平面汇交力系处作用一平面汇交力系. F1 = F2 = 100N , F3 = 150N , F4 = 200N . 方向如图示方向如图示. 试用

11、解析法求合力试用解析法求合力.507080O1F2F3F4F解解: 选坐标系如图示选坐标系如图示306020 NFFFFXFxR66.9820cos20060cos15050cos10010020cos60cos50cos0000403021 NFFFYFyR10.13820sin20060sin15050sin10020sin60sin50sin000040302 NFFFyxRRR72.16922 045.544 . 1 xyRRFFtgRFxyO 例二例二. ( 参见书上参见书上 p25 例例 2 2 ) 求图示共点力的合力求图示共点力的合力O60304545100N300N200N25

12、0Nxy1515解解 ： 建立建立O xy 坐标系如图示坐标系如图示 NXFxR1 .16815sin25015cos10020000 NYFyR64.3215cos25015sin10030000 NYXFR25.17122 011194. 0 XYtgRF : 坐标轴的选取是人为的坐标轴的选取是人为的, 应视具体力的分布而定应视具体力的分布而定. 宜选使其计算简捷的坐宜选使其计算简捷的坐标系标系. 不同的坐标系不同的坐标系, 力系合力的投影分量不尽相同力系合力的投影分量不尽相同, 但合成后的解但合成后的解是唯一确定的是唯一确定的. 3. 平面汇交力系平衡的解析条件平面汇交力系平衡的解析条件

13、汇交力系平衡汇交力系平衡0 iRFF平面汇交力系平衡的充要条件是平面汇交力系平衡的充要条件是: 各力在不平行的两坐标轴上的投影的代各力在不平行的两坐标轴上的投影的代数和分别等于零数和分别等于零. 00YX若若Ox ,Oy 轴正交轴正交, 则则为平面汇交力系最常用的平衡方程为平面汇交力系最常用的平衡方程 00YX下面下面, 举例说明平面汇交力系的平衡方程的应用举例说明平面汇交力系的平衡方程的应用( 上述中的两投影轴不能平行上述中的两投影轴不能平行 )xy例一例一. 图示起重结构图图示起重结构图. 重物重物P = 20kN , 用钢丝绳绕过在支架上的滑轮用钢丝绳绕过在支架上的滑轮B 而缠绕而缠绕在

14、绞车在绞车D 上上. 设结构的自重不计设结构的自重不计, 并忽略摩擦和滑轮的大小并忽略摩擦和滑轮的大小. 求求: 平衡时平衡时AB 杆和杆和BC 杆所受的力杆所受的力.30ACDB60P解解: 取取B 铰为研究对象铰为研究对象, 由题意由题意, B铰作用铰作用一平衡的汇交力系一平衡的汇交力系.3030B1F2FTFP取坐标系如图示取坐标系如图示.:0 X030cos30sin010 TFFP NPPF321. 730cos30sin001 030sin30cos002 TFPF:0 Y NPPF32.2730sin30cos002 F1 和和 F2 都是负值都是负值, 表示表示 AB 杆和杆和

15、CD 杆对杆对B 铰的力与图示的相反铰的力与图示的相反. 也就是说也就是说, 两杆对两杆对B铰施加铰施加的是压力的是压力. 根据二力平衡和牛顿第三定律根据二力平衡和牛顿第三定律, AB, BC 杆分别受杆分别受 7.321 N 和和27,32 N 的压力的压力.ABBC例二例二. 压榨机机构中压榨机机构中, AB = BC , 已知活塞已知活塞D 上受到的总压力上受到的总压力F =3 kN , h = 200mm. l = 1500 mm. 结构各部分的自重不计结构各部分的自重不计. 求求 压块压块C 对工件和地面的压力对工件和地面的压力.CBDAhl l F解解: 取活塞取活塞, 活塞杆及活

16、塞杆及B 铰组合体为研究对象铰组合体为研究对象 FBAFBCFBD xy建立坐标轴如图示建立坐标轴如图示2222sincoshlhhll :0 X0coscos BCBAFFBCBAFF :0 Y0sinsin FFFBCBA kNFFFBCBA35.11sin2 取压块取压块C 分析建立坐标轴如图分析建立坐标轴如图xy CxFyFCBF:0 X0cos xFFCB kNFhFlFx25.112sin2cos :0 Y0sin yFFCB kNFFCBy5 . 1sin 滑块滑块C 对工件的力和对地面的力方向分别与对工件的力和对地面的力方向分别与Fx, Fy 相反相反.习习 2 6 如图所示如

17、图所示, 输电线输电线ACB 架在两电线杆之间架在两电线杆之间, 形成下垂线形成下垂线, 下垂的距离下垂的距离 f =1 m. 两电线杆的距离两电线杆的距离AB = 40 m. 电线电线ACB 段重段重 P = 400N. 可近似认可近似认为沿为沿AB 线均匀分布线均匀分布. 求电线的中点和两端的拉力求电线的中点和两端的拉力.ABCf = 1m40m解解: 由对称性由对称性,取一半分析取一半分析. 注意柔索内的注意柔索内的 张力皆沿柔索内各点的切线方向张力皆沿柔索内各点的切线方向.此外此外, 视重力沿水平方向均匀分布视重力沿水平方向均匀分布, 为的是为的是容易确定重力的合力作用线的位置容易确定

18、重力的合力作用线的位置.由三力平衡汇交定理由三力平衡汇交定理, 所取电线受力如图所取电线受力如图示示BCBFOCFG yx20m1m1011sin1011011010cos2 NGFFGYBB2010sin200sin0sin:0 NFFFFXBCBC2000cos0cos:0 答答: 输电线内输电线内, 两杆端处的拉力为两杆端处的拉力为2010N , 下垂最低处的拉力为下垂最低处的拉力为2000 N. 2 3 平面力对点之矩的概念及计算平面力对点之矩的概念及计算 力对刚体的运动效应有两种力对刚体的运动效应有两种: 一种为平动一种为平动( 移动移动) 效应效应, 另一种为转动效应另一种为转动效

19、应. 其中其中, 平动效应用力矢平动效应用力矢 ( 就是我们平常所说的力就是我们平常所说的力 ) 来度量来度量, 而转动效应则而转动效应则 用力矩来度量用力矩来度量. 1. 力对点之矩力对点之矩OhAF平面上力平面上力F 对点对点O 的矩的矩 hFFm 0平面上平面上, 力对点之矩是代力对点之矩是代数量数量. 以逆时针转者为正以逆时针转者为正,顺时针转者为负顺时针转者为负.力对不过其作用线的点都力对不过其作用线的点都有矩有矩.此处此处, O 称为称为 矩心矩心, h 称为称为 力力臂臂. 2. 合力矩定理合力矩定理: 对一平面上的力系而言对一平面上的力系而言, 合力对某一点的矩合力对某一点的矩

20、, 等于各个分力对等于各个分力对 同一点之矩的代数和同一点之矩的代数和.3. 力矩和合力矩的解析表达力矩和合力矩的解析表达xOAFy YXxFyF由合力矩定理和力在正交坐标坐标系下的由合力矩定理和力在正交坐标坐标系下的 解析表达解析表达, 可得到可得到: yXxYyFxFFmFmFmxyyOxOO 值得注意的是值得注意的是: 上式中上式中yxFFyx,本身是代本身是代数量数量 , 其正负与力的方向及坐标轴的取向有关其正负与力的方向及坐标轴的取向有关.如果一个力系有合力如果一个力系有合力( 比如平面汇交力系比如平面汇交力系) , 则则 niiRFF1由合力矩定理由合力矩定理:)()()(11ii

21、iniiniiOROyXxYFmFm 例一例一. 求刚架上的力求刚架上的力F 对对B 点的矩点的矩. 已知已知 = 30 , F = 20 kN .ABDC15m10mF 解解: 运用合力矩定理运用合力矩定理 mkNFFFmB.2 .2315212010232015sin10cos 用解析法具体计算力对点的矩时用解析法具体计算力对点的矩时, 不必拘泥不必拘泥硬套公式硬套公式, 只需据图直接考虑各个力的力矩只需据图直接考虑各个力的力矩的正负的正负.例二例二. 水平梁水平梁AB 受三角形分布的载荷作用受三角形分布的载荷作用. 求载荷的合力作用线位置求载荷的合力作用线位置.ABql由合力矩定理由合力

22、矩定理: qdxlxxFmlRA 02023121qldxlxqxqllC xdxqlx lxC32 QCx 2 4 平面力偶理论平面力偶理论1. 力偶与力偶矩力偶与力偶矩定义定义: 二等值二等值, 反向不共线的一对力构成一力偶反向不共线的一对力构成一力偶.(MM一般记为一般记为，），如图的力偶记为如图的力偶记为FFd力偶矩力偶矩: 力偶的大小及转向力偶的大小及转向. 以逆时针为正以逆时针为正, 顺时针为负顺时针为负.( 如上图的力偶如上图的力偶M = Fd )二力之间的距离称为二力之间的距离称为 力偶力偶臂臂.力偶的性质力偶的性质: (1) 一个力不能和一个力偶等效一个力不能和一个力偶等效.

23、 即即 一个力和一个力偶对物体的作用永远不一个力和一个力偶对物体的作用永远不可能相同可能相同. (2) 力偶中的二力对任意点之矩的和恒等于力偶矩本身力偶中的二力对任意点之矩的和恒等于力偶矩本身, 与矩心的位置无关与矩心的位置无关. (3) 在同一刚体上在同一刚体上, 力偶对其效应只决定于力偶矩的值力偶对其效应只决定于力偶矩的值( 包括大小包括大小 与转向与转向), 与与力偶作用的位置无关力偶作用的位置无关. (4) 同一刚体上同一刚体上, 任意改变力偶的力偶臂长短及二力的大小和方向任意改变力偶的力偶臂长短及二力的大小和方向, 而保持而保持力偶矩不变力偶矩不变, 则不会改变其对刚体的效应则不会改

24、变其对刚体的效应.力偶中的二力对任意点之矩的和恒等于力偶矩本身力偶中的二力对任意点之矩的和恒等于力偶矩本身, 与矩心的位置无关与矩心的位置无关.FFdxO , FFMdFxFxdFFmFmOO2.同平面内力偶的等效定理同平面内力偶的等效定理 通过对力偶性质的认识通过对力偶性质的认识, 不难得到如下的结论不难得到如下的结论: 同一平面内同一平面内, 两个力偶若力偶矩相等两个力偶若力偶矩相等, 则二力偶等效则二力偶等效. 3.平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡( 1 ) 合成合成同一平面内的诸力偶组成一平面力偶系同一平面内的诸力偶组成一平面力偶系. 同一平面上诸力偶的力偶矩同一平面上诸力

25、偶的力偶矩, 其转向或正其转向或正或负或负. 所以所以,平面力偶系的合成是代数量的叠加平面力偶系的合成是代数量的叠加.由于同一平面内的力偶可任意移动由于同一平面内的力偶可任意移动, 又力偶矩是力偶的唯一度量又力偶矩是力偶的唯一度量, 则则:平面力偶系的合成是一合力偶平面力偶系的合成是一合力偶, 合力偶矩等于各个力偶的力偶矩的代数和合力偶矩等于各个力偶的力偶矩的代数和. niimM1M1M2M3BAl( 2 ) 平衡平衡平面力偶系平衡平面力偶系平衡 的充分和必要条件是的充分和必要条件是: 合力偶矩为零合力偶矩为零.01 niim力力偶偶系系平平衡衡例一例一. 某钻床加工一钢板某钻床加工一钢板,

26、已知三个钻头在钻孔时施加给钢板的力偶矩分别为已知三个钻头在钻孔时施加给钢板的力偶矩分别为 M1 = M2 =10N.m , M3 = 20N.m . 固定螺柱固定螺柱A 和和B 的距离的距离l = 200mm. 求求: 两个光滑螺柱所受到的水平力两个光滑螺柱所受到的水平力.AFBF解解: 取钢板分析取钢板分析. 钢板静止平衡钢板静止平衡, 其上受三个力偶的作用其上受三个力偶的作用, 而而A , B 处受两个约束力的作用处受两个约束力的作用. 由于力偶只能由力由于力偶只能由力偶来平衡偶来平衡, A , B 处的二力必构成力偶处的二力必构成力偶.:0 im NlMMMFMMMlFAA2000321

27、321 NFFAB200 A, B 螺柱所受的力分别与螺柱所受的力分别与FA , FB 等值反向等值反向.AO例二例二 . 图示机构的自重不计图示机构的自重不计. 圆轮上的销钉圆轮上的销钉A 嵌在摇杆嵌在摇杆BC 的导槽内的导槽内. 圆轮上作用圆轮上作用 一力偶一力偶, 其矩其矩 M1 = 2kN. m , OA = r = 0.5 m . 图示位置时图示位置时OA O B , = 30 . 系统平衡系统平衡. 求求: 摇杆摇杆BC上的力偶上的力偶M2 及及O , B 处的约束反力处的约束反力.BOACM2 M1 rM1解解: 取圆轮为研究对象取圆轮为研究对象 AFOF由于力偶只能由力偶来平衡由于力偶只能由力偶来平衡, A , O 二点的约束反力二点的约束反力必构成一力偶与必构成一力偶与M1 平衡平衡. 并由并由A 处的约束特点可求得处的约束特点可求得二力的方向二力的方向. kNrMFFrFMmOAAi85 . 05 . 0230sin0sin:0011 取摇杆为研究对象取摇杆为研究对象M2 CBAAFBF r同理可知同理可知BAFF ,构成一力偶构成一力偶FB = FA = 8 kN .mkNMrFMmAi.80sin:022 习题选解习题选解: 2 22 四块相同的均质板四块相同的均质板, 叠放如图叠放如图. 在板在板I