正余弦定理及其应用

1、正余弦定理及其应用1 斜三角形中各元素间的关系：在厶ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示 A、B、C的对边。(1)三角形内角和：A+ B + C = n。2)正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。a bsin Asin B2R。 (R为外接圆半径)sin C(3)余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍。a2= b2 + c2 2bccosA; b2= c2 + a2 2cacosB; c2= a2+ b2 2abcosC。3 三角形的面积公式：hb、hc分别表示a、b、c上的高);1 11() =(2)A =aha

2、= bhb= chc ( ha、2 221 1 1absi nC= bcsi nA= acs inB;2 2 2abcsin Asin Bsin C正弦定理2R ( R为外接圆半径);c2 = a2+b2 2bccosC,在厶 ABC 中，A B sin A sin B4解三角形：由三角形的六个元素(即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少 有一个是边)求其他未知元素的问题叫做解三角形.解斜三角形的主要依据是：设厶ABC的三边为(1)角与角关系：a、b、c,对应的三个角为 A、B、C。 A+B+C = n;(2)边与边关系：a + b > c, b + c > a, c + a

3、> b, a b < c, b c < a, c a >(3)边与角关系:它们的变形形式有：2 2 2sin A ab c aa - 2R sinA, cosA sin B b2bc余弦定理b2 = a2+ c2 2accosB, a2 = b2+c2 2bccosA;5.三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的 特点。(1 )角的变换因为在 ABC 中，A+B+C= n,所以 sin(A+B)=sinC ; cos(A+B)= cosC; tan(A+B)= A B CABCtanC。sin cos , cos si

4、n ；2 2 22(2 )三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。面积公式=S = 2呱=(3)在厶ABC中，熟记并会证明：/ A，/ B ,Z C成等差数列的充分必要条件是/ B=60 ° ; ABC是正三角形的充分必要条件是/A，/ B，/ C成等差数列且a, b, c成等比数列。例 1 . (1 )在 ABC中，已知 a 2 3 , c 6 ' 2 , B 60°，求 b 及 A; 解析：(1)： b2 a2 c2 2accosB= (2.3)2 ( .6 2)2 2 2 3 (、6 .2) cos 45°=12 ( .62)2 4 3(

5、、3 1)=8 b 2 2.求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:解法cos A2bc(2.2)2 ( 6 -.2 )2 (2.3)22 22 G/6 >/2)12， A 60°解法二訓B壽前45°,又 .62 > 2.4 1.4 3.8,2.3 < 2 1.8 3.6, a v c，即 0° v A v 90°, A 60°ABC<2例 2 在 ABC 中，si nA cos A , AC 2 , AB 3,求 tan A 的值和 2的面积。 解法一：先解三角方程，求出角A的值。 . 2sin A cos A .

6、2 cos(A 45 ),21cos(A 45 ).2又 0 A 180 , A 45o 60o, A 105°tan A tan(4丘 60o)2 431 V3V2 <6 si nA sin105 si n(4560 ) sin 45 cos60 cos45 sin604Sabc 2ac ABsinA 12 3 糸 2 6）。解法二：由si nA cosA计算它的对偶关系式 si nA cosA的值。sin A cosA(sin A cosA)22sin AcosA180 ,si nA 0, cosA 0.(sin A"、2cosA)1 2sin AcosA -2s

7、in AcosA 62+得sin A、.2 -.6o4cos A从而 tan AcosA2 .6例3.在AABC中，角B、C所对的边是a,c,且 a2+c2-b2冷ac(1)(2)予 2A C求 sin2 2若b=2，求 ABC面积的最大值.+cos2B的值;17解:1：a2+c2 b2=2ac/ cosB=2 2a c2acb2(2 分).sifl2cos2B 11 cos (A+C)+2cos2B 11+cosB+2cos2B 11= 11+4 田2 x 届1(2)由 cosB= 得:4sin B=4/ b=2.a2+c2=ac+42ac (当且仅当a2=c2=3 时取“=”号)10分.S

8、ABC =11ac sinB w 一 x22故：AABC面积的最大值为12分例4 . ABC中，A , BC 3,则厶ABC的周长为(D )3A.4、3sin(B-)3B.4,3sin(B -)3C.6sin( B)3D.6sin( B ) 33 6AC 3解析：在 ABC中，由正弦定理得：上匕3 ,化简得AC=2.、3sinB,sin B J32ABsin (B 3)，化简得 AB=2、. 3sin(23B),所以三角形的周长为：- - 23+AC+AB=3+ 2 . 3sinB + 2、3sin(B)32=3+ 3-. 3 sinB 3cosB 6sin( B )3.。故选 D。6tanC

9、3tantanC 的2 2 2A例5在 ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tan 2值。解析：因为A、B、C成等差数列，又 A+ B+ C = 180°，所以A+ C = 120°,A cacr从而=60 ，故tan. 3 .由两角和的正切公式，2 2+ A * C tan tan 2 2 A* C1 tan tan 2 2所以 tanA tanC 33tantan|,tan tanC 3 ta nAta nC 3。2 2 2 2例6在厶ABC中，内角 A, B, C对边的边长分别是 a, b, c ,已知c 2 , C -.3(i)若 ABC的面积等于.3，求a, b

10、 ;(n)若si nC sin(B A) 2s巾2人，求厶ABC的面积.本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识， 考查综合应用三角函数有关知识的能力满分12 分.又因为 ABC的面积等于 J3，所以丄absi nC J3，得ab 4 . 分2a2 b2 ab 4联立方程组'解得a 2, b 2 .分ab 4,(n)由题意得 sin(B A) sin(B A) 4si n AcosA,即 sin BcosA 2sin AcosA, 8分当 cosA 0 时，A , B - , a 辽,b,2633当cosA 0时，得si nB 2si nA，由正弦定理得 b 2a ,2

11、2“、心abab42、34、3联立万程组'解得a2, bb 2a,33所以 ABC的面积S1absin C2品12分23练习：1在 ABC中，若2cosBsinA= $"6则厶ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosB = sin （ A+ B） + sin （A B）又t 2sinAcosB= sinC,sin （A B） = 0 ,. A= B点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径。2.在 ABC中，如果Iga lgc=lgsinB= lg 2，并且B为锐角，则厶ABC的形状是（ D ）A 等边三角形C.等腰三角形B 直角三角形D 等腰直角三角形3. (06 四川文，18)已知 A、B、C 是 ABC 三内角，向量 m ( 1. 3) n (cosA,si nA),且m.n 1, (I)求角A; (n) 若 一 血2*3,求tanC。cos B sin Bir解析：（I）： mcosA,sin A1，即，3sin A cosA 1 ,4312 si nAcosAsin A 0 A，二 A，A 。663(n)由题知1 2sin BcosB cos B sin B20，二 cosB 0 tan B tanB 20 ； tan B2 或