第四章平面任意力系

1、第第 四四 章章 平面任意力系平面任意力系山西农业大学工学院山西农业大学工学院2工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系第第 4 章章 平面任意力系平面任意力系4-5 平面平行力系的平衡条件平面平行力系的平衡条件4-6 物体系统的平衡问题物体系统的平衡问题4-7 滑动摩擦滑动摩擦4-3 分布荷载分布荷载4-4 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件4-2 平面任意力系向一点简化平面任意力系向一点简化4-1 力线平移定理力线平移定理前前 言言3工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 平面任意力系是指位于同一平面内的诸力其作平面任意力系是指位

2、于同一平面内的诸力其作用线既不汇交于一点，也不互相平行的力系，简称用线既不汇交于一点，也不互相平行的力系，简称平面力系。平面力系。前前 言言 工程计算中的很多实际问题都可以简化为平面工程计算中的很多实际问题都可以简化为平面任意力系来处理。任意力系来处理。4工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 图示的屋架，它所承受的恒载、风载以及支座图示的屋架，它所承受的恒载、风载以及支座约束力所组成的力系，在一定条件下，可约束力所组成的力系，在一定条件下，可简化为平简化为平面任意力系面任意力系。5工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 图示的起重机简图，配

3、重、荷载、自重、及支图示的起重机简图，配重、荷载、自重、及支座约束力所组成的力系，在一定条件下，可视为座约束力所组成的力系，在一定条件下，可视为一一个平面任意力系个平面任意力系。6工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系4-1 力线平移定理力线平移定理 证明如下图所示：证明如下图所示：定理定理 ： 作用在刚体上作用在刚体上A点的力点的力 ，可以平行移动到可以平行移动到刚体上任意一点刚体上任意一点B，但必须同时附加一个力偶，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于作用在其力偶矩等于作用在A点的原来的力点的原来的力 对平移点对平移点B之矩之矩，而，而FF。dFFMMB )(7工

4、程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的可见，一个力可以分解为一个与其等值平行的力和一个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶力和一个位于平移平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用一个位和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用面内的力来等效替换。于力偶作用面内的力来等效替换。8工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通如打乒乓球，若球拍对球作用的力其作用线通过球心（球的质心），则球将移动而不旋转；但若过球心（球的质心），则球将移

5、动而不旋转；但若力的作用线与球相切力的作用线与球相切“削球削球”，则球将产生移，则球将产生移动和转动。动和转动。9工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系思考题思考题 4-1 用力线平移定理将图用力线平移定理将图(a)、(b)中各主动力分别平中各主动力分别平移到轮心，由此说明两个图中的力对轮子的外效应移到轮心，由此说明两个图中的力对轮子的外效应有何不同？有何不同？10工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系4-2 平面任意力系向一点简化平面任意力系向一点简化 应用力线平移定理，将该应用力线平移定理，将该力系中的各个力逐个向刚体上力系中的各个力逐个

6、向刚体上的某一点的某一点O（称为简化中心）称为简化中心）平移，再将所得的平面汇交力平移，再将所得的平面汇交力系和平面力偶系分别合成系和平面力偶系分别合成。 设在某一刚体上作用着平面任意力系设在某一刚体上作用着平面任意力系 ,如图所示。显然像平面汇交力系那样，如图所示。显然像平面汇交力系那样，用力的平行四边形法则来合成它很困难。用力的平行四边形法则来合成它很困难。nFFF,.,2111工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 FFFFFFFFnnR2121(4-1)平面任意力系平面任意力系平面力偶系平面力偶系平面汇交力系平面汇交力系向一点简化向一点简化合成合成合成合成 （

7、合力）合力）MO（合力偶）合力偶）RF nnFFFFFF ，2211 yyxxFFFFRR,12工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系由此可见，主矢与简化中心的位置无关。由此可见，主矢与简化中心的位置无关。 )()()()(2121FMFMFMFMMMMMOnOOOnO(4-2) 由此可见，由此可见，MO一般与简化中心的位置有关，它一般与简化中心的位置有关，它反映了原力系中各力的作用线相对于反映了原力系中各力的作用线相对于O点的分布情点的分布情况，称为原力系对况，称为原力系对O点的点的主矩主矩。 事实上，可直接用原力系事实上，可直接用原力系 的各力作的各力作出力多边形

8、，力多边形的封闭边称为原力系的出力多边形，力多边形的封闭边称为原力系的主矢主矢。 的大小和方向等于主矢，作用点在的大小和方向等于主矢，作用点在O点。点。nFFF,.,21RF 13工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系此时主矩与简化中心的位置无关。此时主矩与简化中心的位置无关。1. 若若 力系简化为合力偶力系简化为合力偶0, 0R OMF平面任意力系的三种简化结果：平面任意力系的三种简化结果： 就是原力系的合力，合力的作用线通过简就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。化中心。RF 力系简化力系简化 为一个力为一个力0, 0. 2R OMF若若14工程力学教程电子

9、教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系力系简化为一个合力，但合力的作用线不通力系简化为一个合力，但合力的作用线不通过简化中心。过简化中心。则则力力系系简简化化为为一一个个力力。，若若0, 0. 3R OMF15工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系3. 力系平衡力系平衡0, 0R OMF合力矩定理合力矩定理 平面任意力系如果有合力，则合力对该力系作平面任意力系如果有合力，则合力对该力系作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的代数和。代数和。16工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系

10、)()(,)(),(RRRFMFMMdFFMFMMOOOOOO如下图所示，显然有如下图所示，显然有证明：证明：17工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 一平面力系向一平面力系向A、B两两点简化的结果相同，且点简化的结果相同，且主矢和主矩都不为零，问是否可能？主矢和主矩都不为零，问是否可能？ 答：合力与两点连线平行时可能。答：合力与两点连线平行时可能。思考题思考题 4-118工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 在什么情况下，一平面力系向任一点在什么情况下，一平面力系向任一点A简化所简化所得的主矩为零？得的主矩为零？ 思考题思考题 4-2

11、答：合力过答：合力过A点或合力为零。点或合力为零。19工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 有一平面任意力系向某一点简化得到一合力，有一平面任意力系向某一点简化得到一合力，问能否另选适当的简化中心而使该力系简化为一力问能否另选适当的简化中心而使该力系简化为一力偶？为什么？偶？为什么？思考题思考题 4-3答：不能，因力偶不能与另一个力等效。答：不能，因力偶不能与另一个力等效。20工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系4-3 分布荷载分布荷载 集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或与整个构件的尺寸相比

12、很小，可以认为集中作用或与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。在一点上。例如，铁轨给轮子的力等。例如，铁轨给轮子的力等。21工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系几种分布荷载：几种分布荷载： 体分布荷载：体分布荷载：荷载（力）分布在整个构件内部荷载（力）分布在整个构件内部各点上。例如，构件的自重等。各点上。例如，构件的自重等。 面分布荷载：面分布荷载：分布在构件表面上。例如，风压分布在构件表面上。例如，风压力、雪压力等。力、雪压力等。 线分布荷载：线分布荷载：荷载分布在狭长范围内，如沿构荷载分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。件的轴线分布。平面固定端约

13、束平面固定端约束22工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系(2) 体分布荷载的单位：体分布荷载的单位： N/m3 ，(3) 面分布荷载的单位：面分布荷载的单位： N/m2 ，(4) 线分布荷载的单位：线分布荷载的单位： N/m 。1. 荷载的单位荷载的单位 (1) 集中荷载的单位，即力的单位集中荷载的单位，即力的单位 (N，kN)。 分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。分布荷载的大小用集度表示，指密集程度。23工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系kN,6 .174m16kN/m91.10 lqF其作用线其作用线通过梁的通过梁的中点。中点。

14、2. 分布荷载的计算方法分布荷载的计算方法 (1) 均布荷载：集度为常数的分布荷载。均布荷载：集度为常数的分布荷载。 例如图中的均布荷载的合力为：例如图中的均布荷载的合力为：24工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系如坝体所受的水压力等。如坝体所受的水压力等。(2) 非均布荷载：荷载集度不是常数。非均布荷载：荷载集度不是常数。25工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系求图示梁上线性分布荷载的合力。求图示梁上线性分布荷载的合力。解：解： 取坐标系如图所示。取坐标系如图所示。在在x处取一微段，其集度为处取一微段，其集度为lxqq0 微段上的荷载为

15、：微段上的荷载为：xxlqqxF0 以以A为简化中心，有为简化中心，有)(lim000RRxxlqFFFFxyxx 例题例题 4-126工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系200200000R3d)(lim)(2d0lqxxlqxxxlqFMMlqxxlqFlAAlx 由此可见，分布荷载合力由此可见，分布荷载合力的大小等于荷载集度图的面积。的大小等于荷载集度图的面积。合力作用线的位置为：合力作用线的位置为：llqlqFMxyAC322/3/020R 例题例题 4-127工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 已知水坝的坝前水深已知水坝的坝前

16、水深 h=10 m ，求，求1 m长的坝长的坝面上水压力的合力之大小和作用线的位置。面上水压力的合力之大小和作用线的位置。例题例题 4-228工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系解：在深度为解：在深度为y 处，水的压强处，水的压强2kN/mygp 取取1 m 长的坝体考虑时，作用于坝面的水压力长的坝体考虑时，作用于坝面的水压力可以简化为沿坝面中心线平行分布的线荷载。可以简化为沿坝面中心线平行分布的线荷载。) (kN/md)d1 (ygyyygqy 例题例题 4-2( g 9.81kN/m3 , 为为水的密度，水的密度，g为重力加速度。为重力加速度。 )(kN/mhh

17、gq 29工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 该分布荷载是呈三角形分布的，其该分布荷载是呈三角形分布的，其合力大小为三角形的面积，作用线在距底边合力大小为三角形的面积，作用线在距底边2/3高高度度处。处。m67. 6m103232Nk491m10kN/m)1081. 9(2121 hdqhF例题例题 4-230工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系4-4 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系的平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任意一点的主矩都为零。主矢和对任意一点的主矩都为零。

18、0,0R OMF平面任意力系的平衡方程为：平面任意力系的平衡方程为： . 0)(, 0, 0FMFFOyx3个独立的方程，可以求解个独立的方程，可以求解3个未知量。个未知量。31工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 图示一悬臂式起重图示一悬臂式起重机简图，机简图，A、B、C 处处均均为光滑铰链。均质水平为光滑铰链。均质水平梁梁AB自重自重 P = 4 kN，荷，荷载载 F =10 kN，有关尺寸，有关尺寸如图所示，如图所示，BC 杆自重杆自重不计。求不计。求 BC 杆所受的杆所受的拉力和铰链拉力和铰链A给梁的约给梁的约束力。束力。例题例题 4-332工程力学教程电子

19、教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系解：解：(1) 取取 AB梁为研究对象。梁为研究对象。独立的平衡方程数也是三个。独立的平衡方程数也是三个。(3) 列平衡方程，选坐标。列平衡方程，选坐标。)1(030cos00T FFFxAx)2(030sin00T FPFFFyAy例题例题 4-3未知量三个：未知量三个： T,FFFAyAx(2) 画受力图。画受力图。33工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系)3(030sin0)(0T AEFADPABFFMA由由(3)解得解得kN195 . 0m4mkN)10342(30sin4320T FPFFAx=16.5 k

20、N, FAy=4.5 kN。例题例题 4-3 以以 之值代入式之值代入式(1)、(2)，可得：，可得：TF34工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 即铰链即铰链A的约束力及与的约束力及与x轴正向的夹轴正向的夹角角为：为：0223 .15arctankN1 .17 xAyAyAxAAFFFFF 思考题思考题 4-4例题例题 4-3 如果例题如果例题4-3中的荷载中的荷载 可以可以沿沿AB梁梁移动，问：移动，问：荷载荷载 在什么位置时杆在什么位置时杆BC所受的拉力（所受的拉力（ ）最大？）最大？其值为多少？其值为多少？FTFF35工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案

21、平面任意力系平面任意力系(1) 由右图所示的受力图，试按由右图所示的受力图，试按00)(0)( xBAFFMFM思考题思考题 4-5(2) 由右图所示的受力图，试按由右图所示的受力图，试按00)(0)( yBAFFMFM看可否求出看可否求出 ；T,FFFAyAx看可否求出看可否求出 ；T,FFFAyAx36工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系(3) 由右图所示的受力图，试按由右图所示的受力图，试按0)(0)(0)( FMFMFMCBA思考题思考题 4-5看可否求出看可否求出 。T,FFFAyAx37工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 平

22、面任意力系平衡方程的其他形式：平面任意力系平衡方程的其他形式：1. 二矩式二矩式00)(0)( xBAFFMFM注意：注意：A、B两点连线不垂直于两点连线不垂直于x 轴。轴。2. 三矩式三矩式0)(0)(0)( FMFMFMCBA注意：注意：A、B、C 三点不在一条线上。三点不在一条线上。38工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 由下图所示的受力图，可否列出下列四个独立由下图所示的受力图，可否列出下列四个独立的平衡方程？的平衡方程？0)(0)(0)( FMFMFMCBA0 xF为什么其中必有一个是从属的？为什么其中必有一个是从属的？思考题思考题 4-639工程力学教

23、程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 图示简支梁图示简支梁AB。梁的自重及各处摩梁的自重及各处摩擦均不计。试求擦均不计。试求 A和和B 处的支座约束力。处的支座约束力。解：解：(1) 选选AB梁为研究对象。梁为研究对象。 (2) 画受力图如图所示。画受力图如图所示。 (3) 取坐标如图。取坐标如图。例题例题 4-440工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系(4) 列平衡方程列平衡方程. 02,0, 0,0, 0240)(NeN ByAyAxxBAFaqFFFFaaqMaFFM解得解得.423,421, 0eeNaMaqFaMaqFFAyBAx 例题例

24、题 4-441工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 在例在例4-4中，试以下列三个方程求解，看会有中，试以下列三个方程求解，看会有什么问题，并说明原因。什么问题，并说明原因。 00)(0)( yBAFFMFM思考题思考题 4-742工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系4-5 平面平行力系的平衡条件平面平行力系的平衡条件平面平行力系：平面平行力系： 各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。各力的作用线在同一平面内且互相平行的力系。 图示一受平面平行力系作用的物体，如选图示一受平面平行力系作用的物体，如选x轴与轴与各力作用线垂直，显然有：各

25、力作用线垂直，显然有：0 xF平面平行力系的平衡条件为：平面平行力系的平衡条件为： 0)(0FMFOy43工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的即平面平行力系平衡的充要条件是：力系中各力的代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。代数和以及各力对任一点之矩的代数和都为零。平面平行力系平衡方程的二矩式平面平行力系平衡方程的二矩式 0)(0)(FMFMBA注意：注意：A、B 两点的连线不两点的连线不能与各力的作用线平行。能与各力的作用线平行。44工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 图示的连续梁，约束

26、力有哪几个？求解约束力图示的连续梁，约束力有哪几个？求解约束力时有几个独立的未知量？能够列几个独立的平衡方时有几个独立的未知量？能够列几个独立的平衡方程？程？思考题思考题 4-845工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系静定和超静定的概念：静定和超静定的概念： 静定问题静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未：一个静力平衡问题，如果系统中未知量的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡知量的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就能解出全部未知量。方程就能解出全部未知量。46工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案平面任意力系平面任意力系 超静定或静不定问题：超静定或静不定问题：一个静力平衡问题，如一个静力平衡问题，如果系统中未知量的