相似三角形证明技巧,专题

1、标准相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广.因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨 论又是以全等形的有关定理为基础.二、相似三角形（1）三角形相似的条件：;.三、两个三角形相似的六种图形：AAA AB条件DE#BC条件条件/1=£口条件四"1条件乙随ND 条件AD是RtABC斜边上的高文案只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而 使问题得以解决.四、三角形相似的

2、证题思路：判定两个三角形相似思路:1）先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单;2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例；a）已知一对等tr找另一角一找夹边对应成比例3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；两角对应相等，两三角形相似两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似L找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似b）己知两边对应成比 v 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似 找一个直角 f 斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似r找另一角两角对应相等，两三角形相似c）已知一 I直 t找两边对应成比例 判定定理1或判定定理

3、4,找顶角对应相等一判定定理1d）有等腰关-找底角对应相等判定定理1找底和腰对应成比例一判定定理3e）相似形的传递性若a 1A 2, 2A 3,则4 1A 3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式 前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定” ；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不 同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使

4、问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。例 1、已知:如图,AAB阱,CE±AB,BF±AC.求证：AE ACAF - BA（判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD是RtABC的斜边 AB上的高，/ BAC的 平分线分别交 BG CD于点E、F, AC- AE=AF- AB吗？ 说明理由。分析方法：1）先将积式2） （ “横定”还是“竖定”？）例1、 已知：如图，4ABC中，/ACB=9（5, AB的垂直平分线交 AB于D,交BC延长线于F。求证：cD=de- dr分析方法：1）先将积式2） （ “横定”还是“竖定”？）六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论

5、如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明.1、等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件 找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后 再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代 换的线段再代换回来。例1 :如图3, ABC中，AD平分/ BAC AD的垂直平分线 FE交BC的延长线于 E,求

6、证：D= BE CE 分析：2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第 三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个 比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。例 2:如图 4,在 ABC 中，/ BAC=90 , AD）± BC, E 是 AC 的中点, 的延长线于点F.求证:AB DFAC 一而ED交 AB3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例；若三 点定形法不能确定两个相似三角形，

7、则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用三点定形法 确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。例3:如图5,在 ABC中，/ ACB=90 , CD是斜边 AB上的高, XACG垂足为E,交CD于点F.求证：CD2=DF- DGG是DC延长线上一点，过 B作BE小结：证明等积式思路口诀：“遇等积，化比例：横找竖找定相似;不相似，不用急、：等线等比来代替。同类练习：1. 如图，点 D、E分别在边 AB、AC上，且/ ADE=/ C求证：(1) AADE ACB;(2)AD- AB=AE- AC.（1题图）（2题图）2 . 如图， ABC中，点 DE在边BC上，且 AD比

8、等边三角形，/ BAC=120 求证：（1） ADEB CEA; DE2 =BD- CE;（3）AB - AC=AD BC.3 . 如图， 平行四边形 ABCM, E为BA延长线上一点，/D=/ ECA.求证：AD- EC=AG EB .（此题为陷阱题，应注意条件中唯一的角相等，考虑平行四边形对边相等，用等线替代思想解决）4 .如图，AD为4ABC中/ BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线。求证：FD2 =FC- FB=（此题四点共线，应积极寻找条件，等线替代，转化为证三角形相似。）5 .如图，E是平行四边形的边 DA延长线上一点，EC交AB于点G,交BD于点F, 求证：FC2 =FG- E

9、F.（此题再次出现四点共线，等线替代无法进行，可以考虑等比替代。 ）6 .如图，E是正方形 ABCEfe BC延长线上一点，连接 AE交CD于F,过F作FM/ BE交DE于M. 求证：FM=CF.（注：等线替代和等比替代的思想不局限于证明等积式，也可应用于线段相等的证明。此题用等比替代可以解决。）7 .如图， ABC中，AB=AC点D为BC边中点，CE/ AB,BE分别交AR AC于点F、G 连接FC. 求证：（1） BF=CF.(2)BF2 =FG- FE.8 .如图，/ ABC=90 ,AD=DB,DEJ_AB, 求证：DC2 =DE- DF.39 .如图，ABC的直角梯形， AB/ CD

10、,ABL BC,AC± BD AD= BD 过 E 作 EF/ AB交 AD于 F. 是说明：(1) AF=BE;(2)AF2 =AE - EC.10 . MBC中，/BAC=90 ,AD± BC,E 为 AC中点。 求证：AB:AC=DF:AE11 .已知，CE是R3 ABC斜边AB上的高，在 EC延长线上任取一点 P,连接AP,作BGL AP,垂足为G ,交CE于点D.试证：CE2 =ED- EP.（注：此题要用到等积替代，将 CE2用射影定理替代，再化成比例式。）七、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明：常用“三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面

11、积法等.若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比“转移”（必要时需添辅助线），使其分别构成两个相似三角形来证明.可用口诀： 遇等积，改等比，横看竖看找关系；三点定形用相似，三点共线取平截；平行线，转比例，等线等比来代替；两端各自找联系，可用射影和园哥.DUAB于F,交AC的延长线于 H,交BE例1 如图5在ABC43, AD BE分别是BC AC边上的高,于G,求证：（1） FG/ FA= FB/ FH （2） FD是FG与FH的比例中项.1说明：证明线段成比例或等积式， 通常是借证三角形相似.找相似三角形用三点定形法 （在比例式中, 或横着找三点，或竖着找三点 ），若不能找到相

12、似三角形，应考虑将比例式变形，找等积式代换，或直接 找等比代换例2 如图6, DABC珅，E是BC上的一点，AE交BD于点F,已知BE EC= 3: 1,S afbe= 18,求： BF: FD (2)S FDA2说明：线段BE FD三点共线应用平截比定理.由平行四边形得出两线段平行且相等，再由“平截比 定理”得到对应线段成比例、三角形相似；由比例合比性质转化为所求线段的比；由面积比等于相似比的 平方，求出三角形的面积.M是AD的中点，CM的延长线交 AB于N.求：AN AB例3 如图7在4ABC中，AD是BC边上的中线, 的值；3说明：求比例式的值，可直接利用己知的比例关系或是借助己知条件中

13、的平行线，找等比过渡.当 已知条件中的比例关系不够用时，还应添作平行线，再找中间比过渡.例4 如图8在矩形 ABCD, E是CD的中点，BEL AC交AC于F,过F作FG/ AB交AE于G 求证: Ad = AFX FC4说明：证明线段的等积式，可先转化为比例式，再用等线段替换法，然后利用“三点定形法”确定 要证明的两个三角形相似.、例5 如图在 ABC, D是BC边的中点，且 AD= AC DH BC交AB于点E, EC交AD于点F. (1)求 证： AB6 FCD (2)若 Safca 5, BC= 10,求 DE的长.5说明：要证明两个三角形相似可由平行线推出或相似三角形的判定定理得两个

14、三角形相似.再由相 似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性质得到线段的长.例6如图10过ABC勺顶点C任作一直线与边 AB及中线AD分别交于点F和E.过点D作DM/ FC交AB于点 M (1)若 SzxAEF： S 四边形MDEf= 2 ： 3, 求 AE ED(2)求证：AEX FB= 2AFX ED6说明：由平行线推出两个三角形相似，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方及比例的基本性 质得到两线段的比.注意平截比定理的应用.例7 己知如图11在正方形ABCD勺边长为1, P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时, ADPW QCPf 似？P所在的位置.本题是开放7说明：两

15、个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系.然后再确定顶点 性题型，有多个位置，应注意计算，严防漏解.例8 己知如图12在梯形 ABC由，AD/ BC / A= 90°, AB= 7, AA2, BC= 3.试在边 AB上确定点 P 的位置，使得以 P、A、D为顶点的三角形与以 P、B C为顶点的三角形相似.8说明：两个三角形相似，必须注意其顶点的对应关系.然后再确定顶点P所在的位置.本题有多个位置，应注意计算，严防漏解.例11.如图，已知 ABC中，AB=AC AD是BC边上的中线，CF/ BA BF交AD于P点，交AC于 巳点。 求证：BP2=PE- PF。ED交AB的延长线于F。1

16、1分析：因为BP PE PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC D是BC中点，由等腰三角形的性质知 AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC,由线段垂直平分线的性质知PB=PC只需证明 PES4PCF问题就能解决了。例12.如图，已知：在 ABC中，/ BAC=900 AD±BC, E是AC的中点,AB _DF 求证：屁打' 。12分析：比例式左边 AB, AC在 ABC中，右边DF、AF在4ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经 过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。八、确定证明的切入点。几何证明题的证明方法

17、主要有三个方面。第一，从“已知”入手，通过推理论证,得出“求证”；第二，从“求证”入手，通过分析，不断寻求“证据”的支撑，一直追溯回到“已知”通三，从“已知”及“求证”两方面入手，通过分析找到中间“桥梁”，使之成为清晰的思维过程。九、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段 或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以 下几种：一、作平行线例1.如图，4ABC的AB边和AC边上各取一点 D和E,且使AD= AE, DE延长线与BC延长线相交于 F,BF BD求证：=CF CE例2.如图， A

18、BC中，AB<AC在AB AC上分另截取 BD=CE DE BC的延长线相交于点F,证明：AB DF=ACEF。F例3、如图45, B为AC的中点，E为BD的中点，则 AF: AE=例4、如图4-7 ,已知平行四边形 ABCM,对角线AC BD交于。点，E为AB延长线上一点，OE交BC于F, 若 AB=a, BC=lb BE=g 求 BF 的长.例5、 ABC中，在 AC上截取 AD在CB延长线上截取 BE,使AD=BE求证：DFNC=BGFE例6:如图 ABC中，AD为中线，CF为任一直线，CF交AD于E,交AB于F,求证：AE: ED=2AFFB。二、作延长线例7.如图，RtABC中

19、，CD为斜边 AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交 BC于F, FG_L AB于G,求证：fg2=cf*bf1AF = AD例8.如图4-1 ,已知平行四边 ABCM, E是AB的中点，3，连E、F交AC于G求AG: AC的值.三、作中线例10: 已知：如图， ABC中, 求证：BC 2=2CD- AC.A bac中考综合题型1.已知：如图，在 AABC中，AD2 =DC AC .AB= AC BD± AC于 D.AB = AC,/A = 36： BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明1说明(1)有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并

20、 且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式 ab = cd,或平方式a2 =bc, 一般都是证明比例式，3=9,或9=3,c b a c再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.2.如图，矩形ABCD中，AD =3厘米，AB=a厘米(a>3).动点M , N同时从B点出发，分别沿Bt A,Bt C运动，速度是1厘米/秒.过 M作直线垂直于 AB ,分别交AN , CD于P, Q .当点N到达终点C时，点M也随之停止运动.设运动时间为 t秒.(1)若a =4厘米，t=1秒，则PM =厘米；(2)若a =5厘米，求时间t,使PNBs/Xpad ,并求出它们的相似比

21、;(3)若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求t(用表示)3.如图，已知B两点出发，分别沿 AB BC匀速运动，其中点 P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时，P、Q两点都停 止运动，设运动时间为 t (s),解答下列问题：(1)当t = 2时，判断 BPQ勺形状，并说明理由；(2)设 BPQ勺面积为S (cm2),求S与t的函数关系式；4. （2012湖北黄石，24, 9分）如图（10）所示：等边 ABC线段AM其内角角平分线，过 D点的 直线BiG±AC于G交AB的延长线于 B.请你探究： 丝=CD=QD是否都成立？A

22、B DB ABi DBi ACCD请你继续探究：若 ABE任意三角形，线段AD为其内角角平分线， 请问 土 =CD 一定成立吗？并AB DB证明你的判断5. （2012四川巴中，31, 12分）如图12,在平面直角坐标系中，点 A、C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO；矩形，AB=16,点D与点A关于y轴对称，AB:BC=4:3,点E、F分别是线段 AD AC上的动点（点 E 不与点A、D重合），且/ CE=/ACB（1）求AC的长和点D的坐标；（2）说明 AEF与DCEF目似；6.(2011江苏宿迁，28,12 分)如图，在 RtABC中，Z B= 90° , AB= 1, BC=

23、-,以点 C为圆心，CB 2为半径的弧交 CA于点D;以点A为圆心，AD为半径白勺弧交 AB于点E.(1)求AE的长度；(2)分别以点A、E为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点 F (F与C在AB两侧)，连接AE EF,设EF 交弧D日野在的圆于点 G连接AG试猜想/ EAG勺大小，并说明理由.7. （2011广东汕头，21, 9分）如图（1）, 4ABC与 EFD为等腰直角三角形， AC与DE重合，AB=EF=9, / BAC= / DEF= 90° ,固定 ABC将 EFD绕点A顺时针旋转，当 DF边与AB边重合时，旋转中止.不考 虑旋转开始和结束时重合的情况，设 DE DF （

24、或它们的延长线）分别交 BC （或它的延长线）于 G H点, 如图（2）.（1）问：始终与 AGCf似的三角形有 及;（2）设CG= x, BH= y,求y关于x的函数关系式（只要求根据2的情况说明理由）；8. （2011湖南怀化，21, 10分）如图8, ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD是边BC上的高，BC=40cm,AD=30cm从这张硬纸片上剪下一个长HG宽HE的2倍的矩形EFGH使它的一边 EF在BC上，顶点G H分别在AC, AB上，AD与HG的交点为 M.（1）求证：包=3；AD BC（2）求这个矩形EFGH勺周长.£力/ CDP PEBQ - QC9. （2011

25、湖北武汉市，24, 10分）（本题满分10分）（1）如图1,在 ABC中，点D E, Q分别在AR AC BC上，且DEE/ BC, AQ交DE于点P.求证:（2） 如图，在 ABCK / BAC90° ,正方形 DEFG勺四个顶点在 ABC勺边上，连接 AG AF分别交DE 于M, N两点.如图2,若AB=AC1=,直接写出 MN勺长；10. 如图，在 ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点.且满足 AD= AB / ADE= / C.(1)求证：/ AED：/ ADC / DEC/B;求证：A= AE? ACBC11. (2010江苏南京)学习图形的相似后，我们可以借助探索

26、两个直角三角形全等的条件所获得经验, 继续探索两个直角三角形相似的条件。(1) “对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等” 类似地，你可以等到：“满足，或，两个直角三角形相似”。(2) “满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。已知：如图，。试说明 RtABS RtA' B' C'.12. (2010江苏苏州)(本题满分8分)如图，在 ABC中，/ C=90° , AC=8 BC=6. P是AB边上的一个动 点(异

27、于A、B两点)，过点P分别作AG BC边的垂线，垂足为 M N.设AP=x(1)在4ABC中,AB= ;(2) 当*= 时,矩形 PMCN勺周长是14;(3)是否存在x的值，使得 PAM勺面积、4PBN的面积与矩形 PMCN勺面积同时相等 ？青说出你的判断，并加以说明.13. (2010安徽省中中考)如图，已知 ABS ABC,相似比为k (k>1),且 ABC的三边长分别为a、b、c (a>b>c), AB1C1的三边长分别为 明、口、G。若c =a1，求证：a = kc；若c =a1，试给出符合条件的一对 abc和 ABG ,使得a、b、c和a1、b、G进都是正整数，并加

28、以说明;若b = a, c = h,是否存在 abc和 ABG使得k = 2?请说明理由。/BAC =90° , AD ± BC于点D ,点。是AC边上一点，连图214. (2009武汉)如图1,在 RtABC中,接BO交AD于F , OE± BO 交BC边于点E .(1)求证：ABFs/XCOE；ACOF(2)当O为AC边中点，AC =2时，如图2,求OF的值;ABOE(3)当O为AC边中点，公C = n时，请直接写出 OF的值. ABOE15. (2009年上海市)已知/ ABC=90 , AB=2, BC=3 AD/ BC, P为线段BD上的动点，点 Q在射线 AB上,PQ AD且满足=(如图8所不).PC AB(1)当AD=2且点Q与点B重合时(如图9所示)，求线段PC的长;3(2)在图8中，联结AP .当AD =,且点Q在线