空间向量的数量积运算精品教案

1、空间向量的数量积运算【教学目标】1 .掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2 .掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3 .掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。【教学重点】两个向量的数量积的计算方法及其应用。【教学难点】两个向量数量积的几何意义。【授课类型】新授课【课时安排】1课时【教学过程】一、复习引入：1 .空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量+注：(1)空间的一个平移就是一个向量(2)向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量*(3)空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2 .空间向量的运算定义

2、：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下V.V.9._一_4-一OB =OA+AB =a+b ； BA =OA OB =5b ； OP = >“a(% W R) _ _ _ _D'jC C'运算律：(1)加法交换律：a+b=b+a/ + A'bIB'(2)加法结合律：(a+b)+c =a+(b+c)a(3) 数乘分配律： 儿(a+b)=7a+，ubdrCj- ,I JF3 .平行六面体： AB平行四边形ABC"移向量a到A BCD'的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作： ABCD A BCD.它的六个面都是平行

3、四边形，每个面的边叫做 平行六面体的棱。4 .平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 入，使b=入a。要注意其中对向量a的非零要求。5 .共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平 行向量。a平行于b记作a/b。当我们说向量a、b共线（或a b）时，表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直 线，也可能是平行直线。6 .共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b*0）, a/ b的充要条件是存在实数 入， 使a

4、=入b。推论：如果i为经过已知点a且平行于已知非零向量a的直线，a .那么对于任意一点。，点p在直线i上的充要条件是存在实数t满 /1足等式OP=OA+t5。其中向量a叫做直线i的方向向量。-空间直线的向量参数表示式： oP =oA +ta或oP =oA +t（OB -oA）=（i-t）oA十toB ,中点公式"八二191+30。7 .向量与平面平行：已知平面*一和向量a,作oA=a,如果直线oa平行 于支或在支内，那么我们说向量a平行于平面口，记作： 和“。通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向 量。说明：空间任意的两向量都是共面的。，8 .共面向量定理：如果两个向量a,b不共

5、线，p与 向量a,b共面的充要条件是存在实数x，y使P =xa + yb推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序头数对x,y ,使 M'P= X1MA TM bd或 对空间任一点o ,有O"p>力 xlM砥 或 T T Iop x o a yoB zow （3>Xy z上面式叫做平面MAB的向量表达式、讲解新课：i.空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p,存在一个唯一的有序实数组x, y,z,使百=*a+ 丫1 + 22。证明：(存在性)设a,b,c不共面，过点。作 oA = a1oB=b,oC=c,Op = P ；过

6、点 P作直线 PP/行于 OC，交平面OABf点p在平面OAB内，过点P，作直线P'A7/OB,PB'/OA，分别与直线OA,OB相交于点A',B'，于是，存在三个实数x,y,z，使OA= XoA*a OB = yOB = yb，T 三一一 T TOC' = zOC = ZC，: OP=OA +OB +OC =xOA+yOB+zOC所以 p = xa yb zc(唯一性)假设还存在x：y：z彳更P=x，a + yb+zcxa yb zc = x a y b zc， j ， 产， .、 .(x-x)a (y-y)b (z-z)c=0不妨设 x #x'

7、;即 x-x'#0 a = y，y b + ： z x' -xx' _xa，b, c共面此与已知矛盾；该表达式唯一综上两方面，原命题成立。由此定理，若三向量a，b，c不共面，则所有空间向量所组成的集合是 plpnxa+yb+zcx三RyWRz三R,这个集合可以看作由向量 九生成的，所以我们把Nbc叫做 空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，可以知道，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间 的一个基底。推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，=xOA yOB zOC -三、讲解范例:【例11用向量方法证明：直线和平面垂直

8、的判定定理已知：m,n是平面a内的两条相交直线，直线l与平面a的交点为B，且l _L m,l _L n 求证：l_L£。证明：在"内作不与m,n重合的任一直线g，在l,m,n,g上取非零向重l ,m,n,g，m,n 相交, i I向量m,n不平行,由共面定理可知，存在唯一有序实数对(x,y), >g =xm + yn ,.l g =xl m+yl n ,又.l，m = 0,l，n=0, .l g=0, - l _i_ g , l_Lg,所以，直线l垂直于平面内的任意一条直线，即得l。【例2】已知空间四边形 ABCD中，AB_LCD, AC_LBD,求证：AD _L B

9、C。证明：（法一）AD BC 二(AB BD) AC -AB)=AB AC BD AC-Ab2 -Ab BD.AB (AC-AB-BD)= AB DC =0（法二）选取一组基底，设Ab a, Ac b,AD 屋,解:BC = AC-AB,.OABC.OATC-OAABcos : OA, BC =24 -16 23-2、2|OA|BC|所以，OA与BC的夹角的余弦值为3-2.2o5 AB1CD , a (c-b) =0 ,即 a c = b a ,同理：a b = b c , a c =b c , . c (b -a) =0 , AD BC =0 ,即 AD _L BC o说明：用向量解几何题的

10、一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未 知向量，然后通过向量运算取计算或证明【例3】如图，在空间四边形OABC, OA = 8, AB=6, ZOAB =60，求OA与BC的夹角的余弦值。乐晶 cos：OA,AC.-|OAMAB|cos：OA,7B.二8 4 cos135 -8 6 cos120 = 24-16, 2说明：由图形知向量的夹角时易出错，如OA, AC x135易错写成OA, AC a 45，切记! 四、课堂练习：1.已知向量a_Lb,向量c与a,b的夹角都是60：且|a|=1,|b|=2,|c|=3,试求：（1） （a+b）2；(2) (a+2b-c)2； (3

11、) (3a-2b) (b-3c)。1. 'Li«解：.向量a,b,向量c与a,b的夹角都是60,且|?|=1,向=2,由=3,242 T T -14 3*4 a =1,b =4,c =9,a,b=0,a*c= ,b*c=32，”2 2 204 2 2 2(1) (a+b) =a +2a*b+b =1+0 + 4=5;(2)(a + 2b -c)2 = a +(2b)2+c + 2-2b -2a ,C-4b +C = 1+16+9+0-3-12=11;、/ J、 4 4 0 .42 - 4 八 27 八 7(3)(3a -2b) (b3c) =3a .b _3a .3c _2b + 2b *3c = 0-5-8+18=32.已知线段AB. BD在平面口内，BDJ_AB,线段AC_« ,如果AB=a BD巾 AC=c求C、 D间的距离。解：AC la , AB, BDUa ,. AC J. AB,AC _LBD ,又AB _L BD ,AC*AB =0,