自动控制原理第二章黄坚第二版

1、自动控制理论自动控制理论第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型内容提要：本章重点: a、微分方程 建立系统输入输出模式数学模型：b、传递函数c、方块图d、信号流图典型环节传递函数、传递函数的函数 方块图等效变换、信号流图的化简 第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型 通过前面的学习我们知道，自动控制理论是通过前面的学习我们知道，自动控制理论是研究自动控制系统三方面性能的基本理论。研究自动控制系统三方面性能的基本理论。 设控制系统设控制系统求出输出响应求出输出响应控制系统控制系统输入输入输出输出tr(t)0tc(t)0有输入信号时有输入信号时第二章自动控制系统

2、的数学模型第二章自动控制系统的数学模型第一节 引言第四节 控制系统的结构图及其等效变换 第五节 反馈控制系统的传递函数第二节 微分方程的建立第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型第三节 传递函数第一节第一节 引言引言问题：第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型何为数学模型?数学模型的种类? 常用数学模型的种类： 静态模型 动态模型 描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式就称为数学模型 数学模型描述的是各变量间的动态关系， 则为动态数学模型 数学模型表示的是各阶倒数均为零的静态下各变量之间的关系，则为静态数学模型第一节第一节 引言引言输入输出

3、描述 ：状态变量描述 ：描述系统的输入与输出之间的数学关系 用一组（几个）独立的状态变量，来描述一个n阶系统的数学关系 第二节 微分方程的建立一、建立微分方程的一般步骤二、常见环节和系统的微分方程的建立 三、 线性微分方程式的求解第二章自动控制系统的数学模型（1） 确定系统的输入变量和输出变量一、建立系统微分方程的一般步骤 系统通常由一些环节连接而成，将系统中的每个环节的微分方程求出来，便可求出整个系统的微分方程。列写系统微分方程的一般步骤： 根据各环节所遵循的基本物理规律，根据各环节所遵循的基本物理规律，分别列写出相应的微分方程组。分别列写出相应的微分方程组。（2 2） 建立初始微分方程建立

4、初始微分方程组组 将与输入量有关的项写在方程式等号右将与输入量有关的项写在方程式等号右边，与输出量有关的项写在等号的左边。边，与输出量有关的项写在等号的左边。（3）消除中间变量，将式子标准化 下面举例说明常用环节和系统的微分方程的建立ucur1 1 RCRC电路电路+-ucur+-CiR输入量：输入量：输出量输出量：(1) 确定输入量和输出量(2) 建立初始微分方程组(3) (3) 消除中间变量，使式子标准化消除中间变量，使式子标准化ur= Ri + uci = Cducdt根据基尔霍夫定律得： 微分方程中只能留下输入、输出变量，及系统的一些常数。RCducdt+ uc= urRC电路是一阶常

5、系数线性微分方程。电路是一阶常系数线性微分方程。2机械位移系统系统组成：系统组成：质量弹簧弹簧阻尼器输入量输入量弹簧系数弹簧系数km阻尼系数阻尼系数fF(t) 输出量输出量y(t) (2) 初始微分方程组F = ma根据牛顿第二定律根据牛顿第二定律系统工作过程：(1) 确定输入和输出F(t) FB(t) FK(t) = ma中间变量关系式:FB(t) = fdy(t)dtFK(t) = k y(t)a =d2y(t)dt2md2y(t)dt2fdy(t)dt+ ky(t) = F(t)+消除中间 变量得:3他激直流电动机Ud系统组成：系统组成：直流电机直流电机负载负载输入:电枢电压励磁电流励磁

6、电流If电磁转矩电磁转矩Te负载转矩负载转矩TL摩擦转矩摩擦转矩Tf工作原理：工作原理： 电枢电压作用下产生电枢电流，从而产生电磁转矩使电动机转动.输出:电动机速度n根据基尔霍夫定律有根据基尔霍夫定律有 电动机的电路等效图电动机的电路等效图:eb+-udLaidRadiddt ud = Rd id+Ld+ebeb =CenCe 反电势系数反电势系数反电势反电势根据机械运动方程式根据机械运动方程式 dndt Te -TL Tf =GD2375Te =Cm id Cm 转矩系数转矩系数GD2 飞轮惯量飞轮惯量为了简化方程，设为了简化方程，设TL = Tf = 0id =GD2375Cmdndt.+

7、 n =+GD2 Ra375CmCedndtGD2375d2ndt2Cm CeRaLaRaudCe定义定义机电时间常数机电时间常数：GD2 Ra375Cm CeTm =电磁时间常数：电磁时间常数：LaRaTa = 电动机的微分方程式为：+ n =d2ndt2Tm Ta+ TmdndtudCe4液位系统第一章里已经介绍了工作原理：第一章里已经介绍了工作原理：其中其中:qi0流入箱体流入箱体 的流量的流量qo0流出箱体流出箱体 的流量的流量qi0qo0h0液面高度液面高度h0qi流入箱体流入箱体 流量增量流量增量+qiqo流出箱体流出箱体 流量增量流量增量+qoh液面高度液面高度 增量增量+hA箱

8、体面积箱体面积根据物料平衡关系根据物料平衡关系dtAdh0+h(t)=qi0+qi(t)-qo0+qo(t)平衡时：平衡时：qi0=qo0故故dtAdh(t)=qi(t)-qo(t)qo(t)的流量公式的流量公式qo(t)=ah(t)得得:dtAdh(t)=qi(t)+ah(t) 根据实例可知：系统微分方程由输出量各阶导数和输入量各阶导数以及系统的一些参数构成。系统微分方程的一般表达式为系统微分方程的一般表达式为：dtm+bmr(t) = b0dm-1r(t)dtm-1+b1+dmr(t)dr(t)dt+bm-1+anc(t)+dnc(t)dtna0dn-1c(t)dt n-1+a1dc(t)

9、dt +an-1 将已知输入信号代入微分方程中，求解微分方程即可求得系统输的出响应。微分方程微分方程r(t)c(t)三、线性微分方程式的求解 工程实践中常采用拉氏变换法求解线性常微分方程。拉氏变换法求解微分方程的基本思路：拉氏变换法求解微分方程的基本思路：线性微分方程时域t拉氏变换代数方程复数域s代数方程的解求求解解拉氏反变换微分方程的解1 1拉氏变换的定义如果有一函数满足下列条件：如果有一函数满足下列条件：(1) t 0 时时 f(t)=0 (2) t0 时时 f(t)是分段连续的是分段连续的 0(3) f(t)e dt =mG(s)=K0(s z1)(s z2)(s zm)(s s1)(s

10、 s2)(s sn)放大系数传递函数的极点传递函数的零点第三节传递函数传递函数性质：（1） 传递函数只适用于线性定常系统。（2） 传递函数取决于系统的结构和参数， 与外施信号的大小和形式无关。（3） 传递函数为复变量S 的有理分式。 （4） 传递函数是在零初始条件下定义的， 不能反映非零初始条件下系统的运 动过程。第三节传递函数 不同的物理系统，其结构差别很大。但若从系统的数学模型来看，一般可将自动控制系统的数学模型看作由若干个典型环节所组成。研究和掌握这些典型环节的特性将有助于对系统性能的了解。 二、 典型环节的传递函数及其 动态响应第三节传递函数c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)放大

11、倍数放大倍数取拉氏变换取拉氏变换:得传递函数得传递函数:1比例环节微分方程微分方程:R(s)C(s)G(s) =K 比例环节方框图比例环节方框图 KR(S)C(S)K1SC(s)=R(s)=1S单位阶跃响应：单位阶跃响应：拉氏反变换得:c(t)=K 单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)1r(t)Kc(t)第三节传递函数K= -R1R2 比例环节实例(a)uruc-+R1R2运算放大器(b)线性电位器uc(t)+-R1R2+-ur(t)K=R2+R1R2传动齿轮(c)r(t)c(t)iK=i第三节传递函数单位阶跃信号作用下的响应单位阶跃信号作用下的响应:KTs+11sC(s)=Ks+1/TKs+

12、=R(s)=1s2惯性环节微分方程微分方程: +c(t)=Kr(t)dc(t)dtT时间常数比例系数拉氏变换：拉氏变换：TsC(s)+C(s)=KR(s)惯性环节的传递函数惯性环节的传递函数:R(s)C(s)G(s)=KTs + 1= 惯性环节方框图惯性环节方框图 R(S)C(S)1+Ts1拉氏反变换得:c(t) = K(1 e tT-) 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线设设 K=1r(t)t0c(t)1r(t)c(t)T0.632第三节传递函数uruc-+R2R1C 惯性环节实例(a)运算放大器R2CS+1R2/R1G(s) = (b)RL电路+-u(t)RLuL(t)1/R(L/R)S+1

13、G(s) = 第三节传递函数R(s)C(s)G(s) =1TsTsC(s) = R(s) = r(t)dc(t)dtT微分方程：微分方程：时间常数时间常数3积分环节传递函数：传递函数：拉氏变换：拉氏变换： 积分环节方框图积分环节方框图 R(S)C(S)Ts1单位阶跃响应：单位阶跃响应：1TS1SC(s)=R(s)=1S1TS2=1Tc(t)=t 单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)1c(t)r(t)T拉氏反变换得:第三节传递函数 积分环节实例积分环节实例(a) 运算放大器运算放大器uc-+RCur1RCSG(s) = (b) 直流伺服电机直流伺服电机+-UdMSKG(s) =第三节传递函数4微

14、分环节R(S)C(S)Ts理想微分环节微分方程：理想微分环节微分方程：微分时间常数微分时间常数 微分环节方框图微分环节方框图 单位阶跃响应：单位阶跃响应：c (t)=Tdr(t)dtR(s)C(s)G(s) = TsTS1SC(s)=R(s)=1S拉氏反变换得拉氏反变换得:c(t) =T(t) 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线r(t)t0c(t)c(t)r(t)运算放大器构运算放大器构成的微分环节成的微分环节-+RucCurG(s) =RC s第三节传递函数+-uc+-CRurRC电路构成的实用微分环节电路构成的实用微分环节RCsRCS+1 G(s)= TsTs+1= 理想微分环节实际中是难以

15、实现的，理想微分环节实际中是难以实现的，实际中常用含有惯性的实用微分环节。实际中常用含有惯性的实用微分环节。传递函数传递函数:单位阶跃响应单位阶跃响应: 1sTsTs+1G(s)=1s+1/T c(t) = e tT-单位阶跃响应曲线r(t)r(t)t0c(t)c(t)1 由于微分环节的输出只能反映输入信号的变化率，不能反映输入量本身的大小，故常采用比例微分环节。 第三节传递函数采用运算放大器构成的比例微分环节：采用运算放大器构成的比例微分环节：R1ucC1R2ur-+传递函数：传递函数：单位阶跃响应：单位阶跃响应：c(t)=KT(t)+K R(s)C(s)G(s)=K(Ts+1) 单位阶跃响

16、应曲线单位阶跃响应曲线 1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第三节传递函数5. 振荡环节 微分方程：微分方程： + c (t) = r(t)+2T d2c(t)dt2dc(t)dtT 2 时间常数时间常数 阻尼比阻尼比T传递函数：传递函数：1T2S2 + 2T S+ 1=R(s)C(s)G(s) =G(s) =T 21T 21T 2S2 +S+n2n2n S2+2 S+=T1n = 无阻尼自然振荡频率无阻尼自然振荡频率 振荡环节方框图振荡环节方框图 S2+2nS+n2n2R(S)C(S)单位阶跃响应：单位阶跃响应： c(t)=1-1-2Sin(dt+)etn 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线

17、1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第三节传递函数1 ms2+fs+k=F(s)Y(s)G(s)=常见振荡环节的实例：常见振荡环节的实例：(1) (1) 机械位移系统机械位移系统 (2) (2) 他激直流电动机他激直流电动机 (3) RLC(3) RLC电路电路1/Ce TaTms2+Tms+1=U(s)N(s)G(s)=Ur(s)Uc(s)1 LCs2+RCs+1=G(s)=第三节传递函数R(s)C(s)G(s)= e-s c(t) = r (t )1(t ) R(S)C(S)e-s6时滞环节延时时间延时时间数学模型：数学模型： 时滞环节方框图时滞环节方框图 传递函数：传递函数：时滞环节作

18、近似处理得时滞环节作近似处理得1+s1G(s) =1+s+2!2s2+ 11 阶跃响应曲线阶跃响应曲线 1c(t)r(t)r(t)t0c(t)第三节传递函数一、建立动态结构图的一般方法一、建立动态结构图的一般方法二、动态结构图的等效变换与化简二、动态结构图的等效变换与化简 动态结构图是系统数学模型的另一种形式，它表示出系统中各变量之间的数学关系及信号的传递过程。第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型第四节 控制系统的结构图及其等效变换 动态结构图的组成要素：信号线：方框图：综合点：引出点： G(S)1R1CS一、 建立动态结构图的一般方法 设一设一RC电路如图电路如图:初始微

19、分初始微分 方程组方程组ur=Ri+ucduci=dtc取拉氏变换：取拉氏变换：Ur(s)=RI(s)+Uc(s)I(s)=CSUc(s)+-uruc+-CiR=I(s) RUr(s)Uc(s)Ur(s)1R-I(s)Uc(s)I(s)Uc(s)1CS表示为：表示为：组合为：组合为：Uc(s)1CS以电流作为以电流作为 输出：输出：Ur(s)1R-I(s)Uc(s)1CSUc(s)=I(s)1CS 系统动态结构图由四种基本符号构成：系统动态结构图由四种基本符号构成： 信号线信号线 综合点综合点方框方框 引出点引出点 系统动态结构图将各变量之间的数学关系用结系统动态结构图将各变量之间的数学关系用

20、结构图表示出来，将结构图简化，可方便地求出任构图表示出来，将结构图简化，可方便地求出任意两变量之间的传递函数。意两变量之间的传递函数。 第四节 控制系统的结构图及其等效变换 1R-1CSi1i2+-urC1uc+-C2R1R2例 画出图所示电路的动态结构图。解：解：1R1I1(s)_1 C1S1R21 C2SUr(s)UC(s)I2(s)_U1(s)U1(s)I2(s)UC(s)U1(s)i1-i2第四节 控制系统的结构图及其等效变换 绘制动态结构图的一般步骤:（1）确定系统中各元件或环节的传递函数。（2）绘出各环节的方框，方框中标出其传 递函数、输入量和输出量。（3）根据信号在系统中的流向，

21、依次将各 方框连接起来。第四节 控制系统的结构图及其等效变换 绘制电路系统动态结构图的一般步骤:（1）将电路转换成复阻抗模型。（2）列写复阻抗方程式，按下列规律完成。 a.将输出量放在左边，输入量放右边； b.上一方程式的输出量作为下一方程式的输入量; c.第一个方程式的右边包含有系统的输入量； d.最后一个方程式的左边为系统的输出量。（3）画出每个方程式对应的方框图。 （4）通过增加引出点将相同的量连接起来。第四节 控制系统的结构图及其等效变换 例 建立他激直流电动机的动态结构图。 解：解：电枢回路部分：电枢回路部分： 微分方程为微分方程为+ebud =Ra id+Ladiddt取拉氏变换取

22、拉氏变换:Ud(s)=RaId(s)+La sId(s)+Eb(s) 整理得：整理得：Ud (s)Eb(s)=Id(s)(Ra+Las)=Id(s)Ra(1+s)La Ra令：令：La RaTa=则有则有Ra(Tas+1)Ud(s)Eb(s)=Id (s) 1/RaTas+1Ud(s)_Eb(s)Id(s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 电机转轴部分：电机转轴部分：微分方程微分方程:TeTL=GD2375dndt.Te=Cmid TL=CmiL 拉氏变换得：拉氏变换得：Te(s)TL(s)=GD2375sN(s)Te(s)=CmId(s) TL(s)=CmIL(s) 整理得：整理得： I

23、d (s)IL(s)=GD2375CmsN(s)即即令令得GD2 Ra375CmCeTm= Id (s) IL (s) =N(s)SGD2 Ra375CmCeCeRaId (s) IL (s) =N(s)CeRaTmS 用框图表示为 Id(s) IL(s)RaCeTmSN(s)_反电势部分：拉氏变换微分方程 用框图表示为 CeN(s)Eb(s)eb=CenEb(s)=CeN(s) 第四节 控制系统的结构图及其等效变换 N(s)Eb(s) 将三部分框图连接起来即得电动机的动态结构图。 Ud(s)_Eb(s)1/Rd1+TdsIL(s)RaCeTms_N(s)Ce 电动机的动态结构图电动机的动态结

24、构图Id(s)IL(s)RaCeTms_N(s)Id(s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 例例 液位控制系统如图所示，试建立系液位控制系统如图所示，试建立系 统的动态结构图。统的动态结构图。解：解：系统输入系统输入 系统输出系统输出液位控制系统液位控制系统 结构图：结构图：hr(s)h(t)构机构机阀门阀门浮球浮球水箱水箱杠杆杠杆(1) 水箱水箱bAbs+1Qi (s)H(s)= Qi(s)(2) 浮球和杆杠浮球和杆杠 流量的变化量与液位流量的变化量与液位的偏差量成正比：的偏差量成正比：Qi (s)=pH(s)H(s)=Hr(s)-H(s)浮球质量忽略不计：浮球质量忽略不计：(s)系统的

25、动态系统的动态 结构图结构图:H(s)PH(s)_bAbs+1Hr(s)Qi(s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 例 试建立位置随动系统的动态结构图。解解： 第一章已介绍工作原理第一章已介绍工作原理系统的构成系统的构成电位器电位器放大器放大器电动机电动机减速器减速器负载负载第四节 控制系统的结构图及其等效变换 (1) 电位器电位器系统结构框图r r c c电位器电位器放大器放大器电动机电动机减速器减速器- -=r-cUe=Ks=Ks(r-c )r(s)_KSc(s)Ue(2) 放大器放大器Ud=KaUeUd(s)Ka(3) 电动机电动机已求得已求得n为输出的动态为输出的动态结构图结构图,

26、以以m 为输出时为输出时:dmn=dtN(s)=sm (s)La忽略不计时电忽略不计时电机的动态结构图机的动态结构图:CeS_m(s)IL(s)_1RaCeTmSRa1S(4) 齿轮减速器m=ic c(s)1i第四节 控制系统的结构图及其等效变换 对于对于RLC电路，可以运用电流和电电路，可以运用电流和电压平衡定律及复阻抗的概念，直接画出系压平衡定律及复阻抗的概念，直接画出系统的动态结构图。统的动态结构图。例例 求图所示电路的动态结构图。求图所示电路的动态结构图。ii2+-uruc+-R2R1ci1解：解： I2(s)I1(s)+Uc(s)Ur(s)_CS1R1+R2Uc(s) RC电路动态电

27、路动态 结构图：结构图： I(s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 二、 动态结构图的等效变换与化简 系统的动态结构图直观地反映了系统内部系统的动态结构图直观地反映了系统内部各变量之间的动态关系。将复杂的动态结构图进各变量之间的动态关系。将复杂的动态结构图进行化简可求出传递函数。行化简可求出传递函数。1 1动态结构图的等效变换动态结构图的等效变换等效变换：等效变换：被变换部分的输入量和输出量之间的数学关系，在变换前后 保持不变。第四节 控制系统的结构图及其等效变换 C1(s)（1）串联）串联两个环节串联的等效变换：两个环节串联的等效变换：R(s)C(s)G2(s)G1(s)C(s)G1(s

28、)G2(s)R(s)C(s)=G1(s)G2(s)G(s)=等效等效n个环节串联个环节串联 n i=1G(s) =Gi (s)C1(s)=R(s)G1(s)C(s)=C1(s)G2(s)=R(s)G(s)1G2(s)R(s)G1(s)C(s)G2(s)F(s)不是串联！不是串联！R(s)G1(s)C(s)G2(s)C1(s)也不是串联！也不是串联！第四节 控制系统的结构图及其等效变换 R(s)C(s)=G1(s)+G2(s)G(s)=(2) 并联并联两个环节的并联等效变换：两个环节的并联等效变换：G1(s)+G2(s)R(s)C(s)+G2(s)R(s)C(s)G1(s)等效等效C1(s)=R

29、(s)G1(s)C1(s)C2(s)=R(s)G2(s)C2(s)C(s)=C1(s)+C2(s)=R(s)G1(s)+R(s)G2(s)n个环节的并联个环节的并联 n i=1 G (s)= Gi (s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 E(s)=R(s) B(s)+=R(s) E(s)G(s)H(s) +1G(s)H(s)R(s)E(s)=（3）反馈连接）反馈连接G(s)1G(s)H(s)C(s)R(s)G(s)C(s)H(s)R(s)E(s)B(s)环节的反馈连接等效变换：环节的反馈连接等效变换： 根据框图得：根据框图得：等效等效R(s)C(s)1G(s)H(s)G(s)=C (s)=

30、E(s)G(s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 （4）综合点和引出点的移动）综合点和引出点的移动1) 综合点之间或引出点之间的位置交换综合点之间或引出点之间的位置交换引出点之间的交换：引出点之间的交换： b综合点之间交换：综合点之间交换：bccbaaaaaabcacb不改变数学关系不改变数学关系不改变数学关系不改变数学关系aa综合点与引出点之间不能交换！综合点与引出点之间不能交换！第四节 控制系统的结构图及其等效变换 2）综合点相对方框的移动）综合点相对方框的移动前移：前移：R(s)C(s)G(s)F(s)R(s)G(s)C(s)F(s)G(s)C(s)F(s)C(s)F(s)1G(s)

31、C(s)=R(s)G(s)F(s) 数学关系不变！数学关系不变！后移：后移：F(s)R(s)G(s)C(s)C(s)=R(s)F(s)G(s) F(s)R(s)G(s)C(s)F(s)G(s)C(s)C(s)G(s)G(s)第四节 控制系统的结构图及其等效变换 3）引出点相对方框的移动C(s)R(s)C(s)G(s)前移：前移：G(s)C(s)R(s)C(s)G(s)C(s)C(s)R(s)R(s)C(s)G(s)后移：后移：R(s)R(s)C(s)G(s)R(s)R(s)G(s)1被移动的支路中串入适当的传递函数。第四节 控制系统的结构图及其等效变换 G1(s)G2(s)G3(s)H(s)_

32、+R(s)C(s)a移动移动a_G2(s)H(s)例 化简系统的结构图，求传递函数。 先移动引出点和综合点，消除交叉连先移动引出点和综合点，消除交叉连 接，再进行等效变换，最后求得系统接，再进行等效变换，最后求得系统 的传递函数。的传递函数。解：解：交换比交换比 较点较点G2(s)G1G2G3G2H+-R(s)C(s)G1G2+G31+G2H1 等效变换后系统的结构图：等效变换后系统的结构图： G1G2+G311+G2H-R(s)C(s)R(s)C(s)=1+G2H1+1+G2HG1G2+G3G1G2+G3G1G2+G31+G2H+G1G2+G3 =第四节 控制系统的结构图及其等效变换 例 求

33、RC串联网络的传递函数。1R11C1S1C2S_R(S)C(S)1R2 RC串联网络动态结构图串联网络动态结构图解：解：错！错！C2S1R1注意：综合点与引出点的位置不作交换！注意：综合点与引出点的位置不作交换！ R1_1R2C2S_1R1C1SR1C2S1R1C1S+11R2C2S+1_R(s)C(s)系统传递函数：系统传递函数： R(s)C(s)(R1C1S+1)(R2C2S+1)+R1C2S1=H(s)=R1C2S (R1C1S+1)(R1C1S+1)G(s)=1第四节 控制系统的结构图及其等效变换 LiLi Lj Li Lj Lz = 1 + 2梅逊公式 回路内前向通道和反馈回路内前向

34、通道和反馈 通道传递通道传递函数的乘积。函数的乘积。梅逊公式：梅逊公式：回路传递函数：回路传递函数： 特征式特征式 各回路传递函数之和。各回路传递函数之和。 两两互不相接触回路的传两两互不相接触回路的传 递函数乘积之和。递函数乘积之和。 所有三个互不相接触回路所有三个互不相接触回路 的传递函数乘积之和。的传递函数乘积之和。 (s)=nk=1Pk kLiLi Lj Li Lj LzLiLi Lj Li Lj Lzk 将将中与第中与第 k 条前向通道相接触条前向通道相接触 的回路所在项去掉之后的剩余部的回路所在项去掉之后的剩余部 分，称为余子式。分，称为余子式。Pk 第第k 条前向通道的传递函数。

35、条前向通道的传递函数。第四节 控制系统的结构图及其等效变换 例 系统的动态结构图如图所示，求 闭环传递函数。 G1G2G3H1G4H2_C(s)+R(s)解：解：系统有系统有5个回路，各回路的传递函数为个回路，各回路的传递函数为L1L1 = G1G2H1L2L2 = G2G3H2L3L3 = G1G2G3L4L4 = G1G4L5L5 = G4H2Li Lj =0Li Lj Lz =0= 1+G1G2H1 +G2G3H2+G1G2G3+G1G4+G4H2P1 = G1G2G31= 1P2 = G1G42= 1将将 、Pk 、k代入梅逊公式得传递函数：代入梅逊公式得传递函数： G1G2G3+G1

36、G41+G1G2H1+G2G3H2 +G1G2G3+G1G4+G4H2第四节 控制系统的结构图及其等效变换 L1L2L3H1_+G1+C(s)R(s)G3G2例 求系统的闭环传递函数 。解解: L1=G3H1L2=G1H1L3=G1G2P1=G1G21=1 G3H1 =1 +G1G2+G1H1G3H1R(s)C(s)1+G1G2+G1H1G3H1G1G2 (1 G3H1)=第四节 控制系统的结构图及其等效变换 源节点源节点（输入节点）：（输入节点）： 在源节点上，只有信号输出在源节点上，只有信号输出 支路而没有信号输入的支路，支路而没有信号输入的支路， 它一般代表系统的输入变量。它一般代表系统

37、的输入变量。 2.5.1 信号流图的符号和名词术语信号流图的符号和名词术语1+R1C1s x2x5x4 x6 -1 x3 x7I(s) R2 1/R1 x1阱节点阱节点（输出节点）：（输出节点）：在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量一般代表系统的输出变量。符号：符号：节点；支路；传输节点；支路；传输 x2 x1 G名词术语名词术语 混合节点：混合节点：在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号 输入的支路输入的支路 前向通路：前向通路：信号从输入节点到输出节点

38、传递时，每个节点只通信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通 过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增 益之乘积称益之乘积称前向通路总增益前向通路总增益，一般用，一般用Pk表示。表示。 回路：回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于 一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回回 路增益路增益，一般用，一般用La表示。表示。 不接触回路：不接触回路：没有共同节点的回路，称为互不接触回路没有共同节点的回路，称为互不接触回路1+R1C1

39、s x2x5x4 x6 -1 x3 x7I(s) R2 1/R1 x12.5.2 信号流图的绘制信号流图的绘制 由系统微分方程绘制信号流图由系统微分方程绘制信号流图 1）将微分方程通过拉氏变换，得到）将微分方程通过拉氏变换，得到s的代数方程；的代数方程； 2）每个变量指定一个节点；）每个变量指定一个节点； 3）将方程按照变量的因果关系排列；）将方程按照变量的因果关系排列； 4）连接各节点，并标明支路增益。）连接各节点，并标明支路增益。例：根据微分方程绘制信号流图R1R2C1C2i1(t)u1(t)uo(t)i2(t)uA(t)二级RC电路网络dttiCtuRtututidttitiCtuRtu

40、tutiooAAAi)(1)()()()()()(1)()()()(222221111)(1)()()()()()(1)()()()(222221111sIsCsURsUsUsIsIsIsCsURsUsUsIooAAAi取Ui(s)、I1(s)、UA(s)、I2(s)、Uo (s)作为信号流图的节点，其中，Ui(s)、Uo(s)分别为输入及输出节点。按上述方程绘制出各部分的信号流图，再综合后即得到系统的信号流图。 第二章 数学模型11)()()(RsUsUsIAia)I1(s)UA(s)I2(s)sC11-11Ui(s)I1(s)UA(s)11 R-11)()(1)(211sIsIsCsUAb

41、)22)()()(RsUsUsIoAc)UA(s)I2(s)21 R1-1Uo(s)(1)(22sIsCsUod)Uo(s)I2(s)sC21Ui(s)I1(s)UA(s)11 R-11I2(s)sC11-1121 R1-1Uo(s)sC211Ui(s)I1(s)I2(s)UA(s)11 R-11I2(s)sC11-121 R1-1Uo(s)sC211 1) 用小圆圈标出传递的信号，得到节点。用小圆圈标出传递的信号，得到节点。 2) 用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。用线段表示结构图中的方框，用传递函数代表支路增益。注意信号流图的节点只表示变量的相加。注意信号流图的节点只表示变

42、量的相加。 G(s) C(s) R(s)G1(s)G2(s) H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s) (- -)(a) 结构图结构图(节点节点)C(s)R(s) G(s)(节点节点) (支路支路)C(s)1R(s)E(s)G1(s) G2(s) -H(s) Y(s)D(s)V(s)11(b) 信号流图信号流图由系统结构图绘制信号流图由系统结构图绘制信号流图例例 绘制结构图对应的信号流图。绘制结构图对应的信号流图。U Ui i( (s s) )U Uo o( (s s) )I I2 2( (s s) )U U( (s s) )I IC C( (s s) )I I1 1( (s s) )

43、(-)(-) (-)(-) (-)(-)11RsC11sC2121RU Ui i( (s s) )U Uo o( (s s) )U Uo o( (s s) )U U( (s s) )I I2 2( (s s) )I IC C( (s s) )-1-1-1-1-1-11/1/R R1 11/1/C C1 1s s1/1/C C2 2s s1/1/R R2 2G1(s)G4(s)G3(s)G2(s) E1E2E3G1-G2G4G3E3G1(s)G4(s)G3(s)G2(s) E1E2E3G1-G2G4G3E3E11 比较点与节点对应关系： 梅逊公式梅逊公式为为： n1kKKP1P 特征式特征式 ：

44、 所有单独回路增益之和；所有单独回路增益之和； 在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两 个回路增益乘积和；个回路增益乘积和； 在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路增益的乘积之和。个回路增益的乘积之和。 fedcbaLLLLLL1 aL cbLL fedLLL 余因子式余因子式，即在信号流图中，把与第，即在信号流图中，把与第k条前向通路条前向通路相接触的回路去掉以后的相接触的回路去掉以后的值。值。k 2.5.3 梅逊增益公式梅逊增益公式 其中：其中： n从输入节点到输出节点之前向通路总数。从输入节点到输出

45、节点之前向通路总数。 Pk从输入节点到输出节点的第从输入节点到输出节点的第k条前向通路总增益条前向通路总增益 。 R G1 G2 G3 H2 -H2 -H1 C G4422113222321n1kkkGHGGHGGHG1GGGP1) s (G例例 已知系统信号流图，求传递函数。已知系统信号流图，求传递函数。例例 已知系统信号流图，求传递函数已知系统信号流图，求传递函数 X4/X1及及 X2/X1。degbcgegd1abcf)d1 (aef)pp(1XX221114degbcgegd1)d1 (ap1XX1112第二章总 结 自动控制自动控制 系统系统建立微分建立微分 方程方程系统传递系统传递

46、 函数函数R(s)C(s)(s)=建立动态建立动态 结构图结构图拉氏变换拉氏变换梅逊公式梅逊公式等效变换等效变换解析法解析法拉氏变换拉氏变换分析系统分析系统 性能性能时域法时域法根轨迹法根轨迹法频率法频率法第三章第三章第四章第四章第五章第五章性能校正性能校正第六章第六章第二章自动控制系统的数学模型第五节 反馈控制系统的传递函数一、系统的开环传递函数一、系统的开环传递函数二、系统的闭环传递函数二、系统的闭环传递函数三、系统的误差传递函数三、系统的误差传递函数第二章自动控制系统的数学模型第二章自动控制系统的数学模型_H(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)+D(s)一、系统的开环传递函数 闭环

47、控制系统的典型 结构： 开环传递函数：系统反馈量与误差信号的比值E(s)B(s)Gk(s)= E(s)B(s) =G1(s)G2(s)H (s) =G(s)H(s) 二、系统的闭环传递函数1给定信号R(s)作用R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s) 系统的典型 结构： 设设 D (s)=0典型结构图 可变换为：_B(s)H(s)G1(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)+D(s)系统的闭环传递函数:R(s)C(s)(s)=1 +G(s)H(s)G(s)2扰动信号D(s)作用设设 R (s) = 0R(s)E(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)C(s) 系统的典

48、型系统的典型 结构：结构： +D(s) 动态结构图 转换成:前向通道:G1(s)H(s)G2(s)D(s)C(s)反馈通道反馈通道:闭环传递函数为：D(s)C(s)d(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)G2(s)_R(s)E(s)H(s)G2(s)G1(s)三、系统的误差传递函数1给定信号R(s)作用误差输出的动误差输出的动 态结构图态结构图: R(s)+D(s) 前向通道前向通道: 反馈通道反馈通道: 设设 D(s)=0 E(s)C(s)_B(s)H(s)G1(s)G2(s)=1+G1(s)G2(s)H(s)1误差传递函数为：误差传递函数为：R(s)E(s)er(s)=+D(s)G1(s)G2(s)-H(s)E(s)2扰动信号D(s)作用R(s) R(s)作用下误差输出的动态 结构图: 前向通道前向通道: 反馈通道反馈通道: R(s) = 0E(s)C(s)+D(s)B(s)_H(s)G1(s)G2(s)D(s)E(s)ed(s)=误差传递函数为误差传递函数为：=1+G1(s)G2(s)H(s)-G2(s)H(s)例例: R(s)C(s)R(s)+D(s)解解:G1G2G3H1H2_C(s)E(s)D(s) = 0结构图变换为结构图变换为： G1G