第五章二次型基础练习与参考答案

1、s第五章 二次型基础练习及参考答案一.填空题，2 2 Vx、1、实二次型(x1,x2)1的矩阵为，秩为,41 Ji x 4 -1 Ax2 J正惯性指数为 ,规范形为.2、与对称矩阵合同的矩阵只能是 矩阵.3、复二次型f(X1,X2，|,Xn)的规范形由 所唯一确定.4、实二次型 f (Xi,X2, |,Xn) =diX2+d2X2 + 川+dnX2 正定=di,i=l,2,n.5、写出3级实对称矩阵所有可能的规范形：6.实二次型 f(Xi,X2,"|,Xn) =XTAX 正定 U 二.判断题1、设A、B为n阶方阵，若存在n阶方阵C,使CTAC = B ,则A与B合 同.( )2、若A

2、为正定矩阵，则A的主对角线上的元素皆大于零.()3、若A为负定矩阵，则必有|A <0.()4、实对称矩阵A半正定当且仅当 A的所有顺序主子式全大于或等于零. )5、若A负定，则A的所有顺序主子式全小于零.()6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型.()n n7、若实二次型 f(X1,X2,|,Xn) =S S ajXiXj 的符号差为 s ,令 bj=-”，则i T j丑二次型 g(Xi,X2，川,Xn) =£ bj bijXXj 的符号差为一s. ()i 4 j 4三.求二次型f(Xi,X2,X3)= x2-3x22xiX26X2X3的标准形，并写出所作的非退化线性替换

3、.四.证明题1 .证明：若A为负定矩阵，则存在可逆矩阵P,使A + PTP = 0.2 .设A, B都是正定矩阵，证明A+B也是正定矩阵.3 .如果A是正定矩阵，证明A也是正定矩阵.s第五章 二次型基础练习及参考答案一.填空题2 2 % )2 3、1、实二次型(xX2)1 1的矩阵为，秩为，正惯性指数<4 1 Ax2 ) -111为l ,标准形为2x21x2,规范形为x” x2.二次型的矩阵必须是对称矩阵.2、与对称矩阵合同的矩阵只能是对称矩阵.设A是对称矩阵,A与B合同，则B=CTAC ,其中C是可逆矩阵,于是BT =(CTAC)T =CTATC = CTAC,所以B也是对称矩阵.3、

4、复二次型f(K,X2,HI,xJ的规范形由 它的秩 所唯一确定.因为复二次型的规范形为y12 +y2 +y2,其中r是二次型的秩.4、实二次型 f(Xi,X2, |,Xn) = diX2+d2X2+|十dnX2 正定 u di>0, i=1,2,n.d'、一d2该一次型的矩阵为.,二次型正定的充要条件是其矩阵的顺序主子<d n J式都大于零，于是有d1 >0, d1d2 >0,得d2 A 0,又d1d2d3 >0,得d3 >0,，依次下去得所有 di -0,i =1,2,.,n.反之，若 di >0,i =1,2,.,n ,则对于任意的(c1,

5、c2, . c.). Rn2.2.2f (G,C2,.,Cn) =d1G +d2c2 +dnCn >0,所以二次型正定.5、写出3级实对称矩阵所有可能的规范形：0,E, -E :E11-EiiE11+E22,-(E11+E22)E11-E22E11+E22-E33, E11-E22+E336.实二次型f (%,乂2,|名)=XTAX 正定之冏的顺序主子式均大于零U 对任意的(G,C2,Cn)W R； f(G,C2,Cn) >0.二.判断题1 .设A、B为n阶方阵，若存在n阶方阵C,使CAC =B ,则A与B合同.(F )应该是存在可逆矩阵.2、若A为正定矩阵，则A的主对角线上的元素

6、皆大于零.(T )3、若A为负定矩阵，则必有|A <0.( F )当A是奇数阶矩阵时，结论成立.4、实对称矩阵A半正定当且仅当 A的所有顺序主子式全大于或等于零.(T )5、若A负定，则A的所有顺序主子式全小于零.(F )正确答案应该是奇数阶的顺序主子式小于零，偶数阶的顺序主子式大于零.6、非退化线性替换把不定二次型变为不定二次型 .(T )非退化的线性替换不会改变二次型惯性指数.n n7、若实二次型 f(x1,X2,|,Xn)=Z £ ajXiXj 的符号差为 s ,令，则i W j 1 n n二次型 g(&X2,|,Xn) =£ Z bjXXj 的符号差为

7、一s. ( T )1 3 j 3n nn n这是因为 g(X1,X2,|,Xn) =S S bjXiXj= - f(X,X2，川,4) =£ £ 用书，所以 i d j did j =1它们的秩相等，正负惯性指数互为相反数.三.求二次型f(Xi,X2,X3)= x；3x22X1X26x2X3的标准形，并写出所作的非退化线性替换.写出该二次型的秩，正惯性指数和符号差.这是一个什么二次型(正定，负定，不定)解法1：用合同变换把二次型的矩阵化为对角形：1-101-1010I0-3 -3-3000C2+G2+1-»0 -40 -3110-3003 c3-c2433 24

8、，100110010100001 J<0-401100 9434341经过非退化线性替换xx2=<x3j4341标准形为2.292X1 -4X2- X3 .解法 2.(配方法)f (x1, x2,x3) = x2 -3x22 -2x1 x2 -6x2x322 c/、23、292= (xi -x2) -4x2 -6x2x3 =(x1 - x2) -4(x2x3)x344必=x1 -x2人,3令蚀=乂2 +-x34y3 = x3f (x1,x2,x3)= x；X =y +y2-3y34即x2 = y2 -9 y3 ,则二次型化为标准形 4x3 = y3I22292-3x2 -2x1x2

9、 - 6x2x3 =必 -4y2 一 y3.4该二次型的秩为3,正惯性指数是2,符号差为1.这是一个不定二次型.四.证明题1、证明：若A为负定矩阵，则存在可逆矩阵P,使A + P'P=0.证明：因为A是负定矩阵，所以-A是正定矩阵，于是存在可逆矩阵Q使得 QT(-A)Q=-E,则A= -(QT)-1Q-1,令 P=Q-1 为所求.2 .设A, B都是正定矩阵，证明A+B也是正定矩阵.证明：由于A, B都是正定矩阵，所以f(X)=XTAX, g(X) = XTBX都是正定 二次型，所以对任意的 a =(G,C2,.,Cn)T w Rn, f(a) =aTAa A0, g(a)=aTBa >0 uT(A + B)口 =aTAu +aTBa >0,所以 A+B 也是正定矩阵.3 .如果A是正定矩阵，证明A*和A”也是正定矩阵.证明：因为AtA,A