概念教学要体现概念的形成—向量概念教学与反思章建跃陶维林

1、概念教学必须体现概念的形成过程“平面向量的概念”的教学与反思章建跃 陶维林（人民教育出版社中数室 100081 南京师范大学附属中学210003 ）当前，不重视章节起始课的教学，概念教学走过场，以解题教学代替概念教学的现象比较普遍在章节起始时，许多老师没有把本章节要解决的主要问题、基本过程和主要思想方法等纳入教学任务中；概念教学常常采用“一个定义，几项注意”的方式，在概念的背景引入上着墨不够，没有给学生提供充分的概括本质特征的机会，认为让学生多做几道题目更实惠更令人担忧的是，有些老师不知如何教概念李邦河院士认为，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！”1以解题教学代替概念教学的做法严

2、重偏离了数学的正轨，必须纠正否则，学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空本文是我们继“函数的概念”教学案例2后做的又一个案例，主要指导思想是“数学概念首要表现在概念的形成”1，概念教学必须让学生经历概念的形成过程；基本想法是聚焦概念教学，探索概念教学的基本规律期待我们的案例能抛砖引玉，希望广大教师积极参与“如何教好数学概念”的讨论一、对教学内容的基本认识平面向量是“人教A版”数学4的一章，本节课包括“章引言”和“2.1平面向量的实际背景及基本概念”两部分在配套的教师教学用书中，介绍了章头图和章引言的编写意图，其中有这样的叙述：“章引言说

3、明了向量的研究对象及研究方法，揭示了向量与几何、代数之间的关系，运用向量法可将几何性质的研究转化为向量的运算，使几何问题通过向量运算得到解决”因此，“章引言”（包括“章头图”）起“导游图”作用，是本章学习的“先行组织者”，应有充分的重视教学时，可以渗透在具体内容中，不必作抽象讲解，以避免空洞说教许多老师认为，“平面向量的实际背景及基本概念”一节“概念多但不难理解”，但我们认为“其实不然”事实上，从“概念的形成”的角度看，本节内容，重要的不是向量的形式化定义及几个相关概念，而是获得数学研究对象、认识数学新对象的基本方法，蕴含了用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径，这是一个带有“本源”性质的

4、过程这里，为了帮助学生建立向量的概念，与数、形的相关概念（数及其运算、直线（段）的平行关系等）类比与联系是值得重视的在学生的已有经验中，与本节内容相关的有：数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、数的相等、0和1的特殊性、线段的平行或共线等，这些将为学生自觉、有序、有效地认知向量概念提供“固着点”具体教学时，要设计一个能让学生开展概括活动的过程，引导他们经历从具体事例（位移、力、速度等）中领悟向量概念的本质特征，类比数的概念获得向量概念的定义及表示，类比数的集合认识“向量的集合”，类比直线（段）的基本关系认识向量的基本关系要使学生从中体会到认识一个数学概念的“基本套路”：从具体背景中抽象出共

5、同本质特征定义表示定义“相等”（这件事情很重要，但往往不被注意）、“单位元”、“0元”某些特殊关系由此看来，向量概念的形成并不是一件容易的事情二、教学过程概述2009年11月初，在河南省举办的高中数学课标教材跟进式培训中，我们以本节课为载体开展了概念教学的研讨活动下面呈现的是教学设计和课堂中发生的主要事件1向量概念的形成11 让学生感受引入概念的必要性引子：甲、乙两车分别以v1=40km，v2=50km的速度从同一地点出发向北行驶2小时后，它们相距20km甲、乙两车分别以v1=40km，v2=50km的速度从同一地点出发，甲车向北，乙车向南2小时后，它们相距180km它们的行驶速度一样，为什么

6、2小时后的距离相差这么大？意图：向量概念不是凭空产生的用这一简单、直观例子中的“速度不仅有大小，而且有方向”，让学生感受“既有大小又有方向的量”的客观存在，自然引出学习内容问题1 你能否再举出一些既有方向，又有大小的量？意图：激活学生的已有相关经验（学生能容易地举出重力、浮力、作用力等物理中学过的量）追问：生活中有没有只有大小，没有方向的量？请你举例意图：形成区别不同量的必要性（学生所举的例子有年龄、身高、面积等）概念抽象需要典型丰富的实例让学生举例可以观察到他们对概念属性的领悟，形成对概念的初步认识，为进一步抽象概括做准备T：由同学们的举例可见，现实中有的量只有大小没有方向，有的量既有大小又

7、有方向类似于从一支笔、一本书、一棵树中抽象出只有大小的数量1，数学中对位移、力这些既有大小又有方向的量进行抽象，就形成一种新的量向量（板书概念）12 向量的几何表示问题2 数学中，定义概念后，通常要用符号表示它怎样把你所举例子中的向量表示出来呢？意图：让学生先尝试向量的表示方法，自觉接受用带有箭头的线段（有向线段）来表示向量（让学生在黑板上画学生画了用带有箭头的线段表示力，开始时没有对带箭头的线段加注起点、终点的字母，也没有给出大小，写出的f 上方没有加箭头教师引导学生不断完善，最终形成了用带箭头的线段表示向量有的学生还标出了单位长，以比较两个向量的大小）T：看来大家都认为用带箭头的线段表示向

8、量比较好在初中，常用AB，CD，a，b，c等表示线段现在，我们加上箭头，用，等表示向量以前AB与BA表示同一线段，现在和表示同一向量吗？为什么？S：不向量和起点、终点正好相反T：对，方向是向量的本质属性之一向量的另一本质属性是大小，我们用|表示，称为向量的模同样，用|来表示向量的模因为向量有大小和方向两个要素，只用代数形式或几何形式是无法确定的，必须两者结合13 零向量与单位向量T：现在，我们已经建立了一个向量的集合就象每个人都有名字一样，这个集合中的每一个向量都有了名称那么问题3 你认为在所有向量组成的集合中，哪些向量较特殊？意图：引导学生学会观察一组对象面对一组对象，首先注意特殊对象是自然

9、的（学生普遍认为零向量、单位向量是特殊的）T：大家为什么认为它们最特殊？你们是怎么想的？意图：挖掘结果背后的思维过程企图引导学生把向量集合与实数集类比（课堂中，学生从长度这个角度进行了解释，认为零向量的长度是0，单位向量的长度是1，最为特殊这表明他们已经在把向量集与实数集作类比从实数集的认知经验出发，自然会想到零向量、单位向量的特殊性）T：是的类比实数的学习经验有利于向量的学习在实数中，0是数的正负分界点，有0就可定义相反数；1是“单位”，作用很大对实数的研究经验告诉我们，“引进一个新的数就要研究它的运算；引进一种运算就要研究运算律”可以预见，引进向量就要研究向量的运算，进而就要研究相应的运算

10、律或运算法则所以，对于向量，还有许多内容等待我们去研究2相等向量、平行向量、共线向量、相反向量概念的形成问题4 观察图1中的正六边形ABCDEF给图中的一些线段加上箭头表示向量，并说说你所标注的向量之间的关系（举例） 图1意图：不是先给出相等向量、平行向量、共线向量、相反向量的定义，再做练习巩固，而是让学生参与概念的定义过程，使概念成为学生观察、归纳、概括之后的自然产物留给学生足够的时间，并提出问题5，组织学生交流问题5 你是怎样研究的？比如，你画了哪几个向量？你认为它们有怎样的关系？意图：不仅关注结果，更要关注过程尤其要挖掘学生用向量概念思维的过程（课堂中，有的学生首先关注大小；有的学生首先

11、画出向量与，认为它们长度相等且方向相同，是相等的向量；也有学生首先画出向量与，认为它们是共线的向量；等教师适时介入，解释数学中的向量是自由向量，可以平移，因此，与也称为共线向量“平行向量”的产生比较顺利，但“相反向量”的产生有困难，其间还类比了“相反数”）归纳得到：（1）从“方向”角度看，有方向相同或相反，就是平行向量，记为 ；（2）从“长度”角度看，有模相等的向量，|=|；（3）既关注方向，又关注长度，有相等向量=，相反向量=T：我们规定：零向量与任意向量都平行，即问题6 由相等向量的概念知道，向量完全由它的方向和模确定由此，你能说说数学中的向量与物理中的矢量的异同吗？另外，向量的平行、共线

12、与线段的平行、共线有什么联系与区别？意图：让学生注意把向量概念与物理背景、几何背景明确区分，真正抓住向量的本质特征，完成“数学化”的过程3阅读课本请同学们把课本看一遍，看看我们的讨论过程与课本讲的是否一致，有什么遗漏？有什么不同？意图：通过阅读，对本课的内容再一次进行归整、明晰引导学生重视课本4课堂练习教科书P77中的“练习”部分5课堂小结问题7（引导学生自己小结）能否画个图，把今天学的内容梳理一下？图2（有的学生提出可以把本课的内容分为三个部分，与图2所呈现的内容基本一致，只是把“特殊关系”说成了“向量的性质”，这也是正确的教师肯定了她的结论，展示了图2）T：今天我们学习向量的概念及其表示方

13、法，并初步研究了向量这个集合，发现了其中的两个特殊向量，以及向量之间的一些特殊关系同学们要认真体会其中的基本思路，即：从同类具体事例中抽象出共同本质特征下定义符号表示认识特殊对象考察某些特殊关系这里特别要注意，因为向量带有方向，所以只用代数的形式已无法表示，必须结合几何的形式因此，向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”随着学习的深入，我们会看到这种身份给向量带来的力量另外，我们用类比数集的方法初步认识了向量的集合我们知道，数与运算分不开，数的概念的发展也与运算不可分割例如，为了解方程x2=2，我们需要有无理数概念，于是要有“开方”运算引进一种新的数，就要研究关于它的运算；引进一种运算，就要研

14、究相应的运算律今天我们引进了一个新的量向量，下面我们该研究它的哪些问题？如何研究？请同学们课后认真考虑，下节课来交流（说罢，教师在“特殊关系”的右边增加了省略号“”）6布置作业（略）三、教学反思1起始课应把“基本套路”作为核心目标本课是“平面向量”的起始课，具有“统领全局”的作用因此，本课的目标应体现出这一地位。具体有如下三个方面：（1）形成平面向量的概念，特别是要让学生体会“向量集形与数于一身”的特征；（2）让学生体会用联系的观点、类比的方法研究向量（主要是联系数及其运算、直线（段）的平行和共线等）；（3）通过类比“数及其运算”而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的基

15、本套路（思路）如果从更深层次考虑，上述目标更本质的是“数学育人”数学课堂应始终把育人目标放在首位，当然要将它融入知识的教学中本课似乎“没什么东西可讲”，也没什么难点，因此不愁完不成教学任务，但这只能指陈述性（或明确）知识目标的实现向量概念的重要性不言而喻，而作为“起始”，本课的教学必须要有“交代问题背景、引入基本概念、构建研究蓝图”的大气要让学生感受到数学概念产生、发展的基本过程，体会到研究数学问题的基本套路，进而提高提出问题、研究问题的能力，这才算充分挖掘了本课内容的育人资源，才算体现了向量概念的教学价值2概念课的主旋律是让学生参与概念本质特征的概括活动前已述及，许多老师认为本课概念多但不难

16、理解多次观摩本课的教学，看到的大多是沉闷的课堂，教师讲得乏味，学生学得无趣事实上，许多概念课都有这种弊端有的老师可以把解题讲得头头是道，但概念教学就没词、没招了我们认为，概念再多也不能成为“讲起来枯燥乏味”的理由让学生参与概念本质特征的概括活动是使概念课生动活泼、优质高效的关键。这就要求我们一方面充分利用新旧知识蕴含的矛盾，激发认知冲突，把学生卷入其中；另一方面要让学生有参与的时间与机会，特别是有思维的实质性参与概念的形成过程充满矛盾冲突，这是激发学生学习兴趣与热情的内在条件比如，考察司空见惯的“量”，有的“只有大小没有方向”，有的“既有大小又有方向”，在比较中就产生了区别的需要，这就是向量概

17、念的生长点与人出生后要起名字一样，我们要给新的数学对象命名，并且要与它的本质相吻合，要区别于其他概念，“方向”就成了区别的标准，没有“方向”的叫数量，有“方向”的叫向量，概念的产生自然而然概念抽象需要典型实例谁来找例子？教师自作自画，自己举例、概括，自己给定义，就可能枯燥乏味比如，告诉学生什么叫平行向量、相等向量、相反向量等，学生被动听，没有参与机会，不仅枯燥乏味，而且会使学生理解不透如果让学生举例，要求尽量举不同的例，就会迫使他们开动脑子，就有可能举出不同的、有趣的例，就会百花齐放这样，生动活泼的场面自然形成，而且在举例过程中，有独立思考、合作交流，甚至有争辩，这就形成了促进概念理解的机制让

18、学生举例可以促进学生思维的深度参与，因为好例子需要以理解概念的本质属性为基础实际上，概念教学中的“参与”，其关键是参与从典型实例中概括概念本质特征的活动举例后，还要让学生讲理由，让其他同学来补充，相互启发、交流互动，生动活泼的局面自然就出现了比如，探索“向量的表示”时，一个学生在黑板上画了带箭头的线段表示力，但没有用字母标注起点、终点笔者没有替他标上，而是问：“大家有什么要补充的吗？”有几位同学不请自来，有的标上字母，有的标出大小经过教师启发和全班努力，终于明确了向量的几何表示的正确方法在这个过程中，全体同学热情参与，自我教育、互帮互学，想让课堂不生动活泼都难也许有人认为，这是小题大做，浪费时

19、间但我们认为这样做不仅使课堂生动活泼，更重要的是体现概念的形成，这才是落实双基的教学，长期坚持可以让学生养成好的学习习惯如果总是老师替学生完善表达，不仅生动活泼的局面难以形成，更糟糕的是剥夺了学生的思考机会事实上，由于数学概念的高度抽象性，对任何一个貌似简单的概念，学生往往都要费很大周折才能理解。许多教师对此不能保持高度警觉，常常认为自己容易的学生也然，没有意识到自己的“容易”是经历了千辛万苦、长期积累才得到的。这种心理导致了师生交流的许多障碍，是造成教师不是从学生的角度出发，针对学生的理解困难展开教学的主要原因。因此，教师要对这种心理保持高度警惕，努力从学生的认知水平出发，保证学生参与概念本

20、质特征的概括活动，确保学生有自己想明白的机会和时间，这是非常要紧的3概念教学要使学生自然地、水到渠成地实现“概念的形成”“人教A版”的主编寄语中说：“数学概念、数学方法与数学思想的起源与发展都是自然的如果有人感到某个概念不自然，是强加于人的，那么只要想一下它的背景，它的形成过程，它的应用，以及它与其他概念的联系，你就会发现它实际上是水到渠成、浑然天成的产物，不仅合情合理，甚至很有人情味”我们认为，这应该成为概念教学的基本指导思想概念课就应该使概念出得自然、水到渠成，否则就不叫做“教数学”、“学数学”本课的教学，我们力求使学生了解向量概念的背景和形成过程，了解为什么要引入这个概念，怎样定义这个概

21、念，怎样入手研究一个新的课题从课堂教学的要求看，概念教学的自然和水到渠成应包括两方面：一是知识的逻辑顺序自然；二是学生心理逻辑的自然，主要是思维过程的自然“自然的概念教学过程”是上述两方面的融合因此，向量概念的教学中，我们注意了从宏观上为学生勾勒研究框架和总体思路，使学生能“抬头看路”，知道往哪里走，这是起始课的重要任务；微观上，引导学生通过类比，有序地给出向量的定义（区别于“只有大小没有方向的量”）、讨论向量的表示（重点是几何表示）、定义特殊的向量、研究特殊的关系（特别是相等向量）在引导学生展开对向量及其相关概念的学习过程中，主要强调了“让学生参与到定义概念的活动中来”，不轻易打断学生的思维

22、和活动，恰时恰点地“以问题引导学习”，在“追问（质疑）反思”的过程中深化概念的理解，使“概念的理解”成为学生自己主动思维的结果4“创造性地使用教材”的前提是深刻理解教材本次课改提出“用教材教”“创造性地使用教材”的理念，这对教师理解和处理教材提出了更高要求我们认为，深刻理解教材的编写意图是“创造性地使用教材”的前提“平行向量”、“共线向量”等概念，教材是这样呈现的：先介绍概念，然后以一个例子作为概念的应用与巩固；“相反向量”在向量的减法运算中给出教科书按知识的逻辑顺序呈现，无疑是正确的如果按教材顺序组织教学，一定能顺利完成任务，学生也会掌握得不错但这是“教师告诉，提醒注意，练习巩固”的办法，学

23、生的主动思维无法调动因此我们根据教材的基本思路，先让学生研究问题4，目的是给学生参与概括概念本质特征的机会，实实在在地经历概念的形成过程观察过程中，必然要利用向量的定义，要从“方向”和“大小”两个方面展开思考于是，平行向量（共线向量）就很容易被概括出来；相等向量、相反向量等概念的产生也比较自然教师适时介入，强化本质特征、规范概念表达，与学生一起完成概念的定义值得指出的是，这样处理教材，自然而然地要求学生联系相关概念比如，由图形呈现的“平行直线段”自然产生了“平行向量”；再增加长度相等、方向相同或相反，就产生了相等向量或相反向量属差决定了向量之间的区别，就有了引入新概念的必要性这里，学生还经历了

24、对向量的关系进行分类的思考：以是否平行为标准，一类是共线向量（平行向量），另一类是不共线向量（不平行向量），这是由向量的“方向”属性决定的如何区分不平行的向量？又有了引入新概念的必要性，这就是向量的夹角（这是后话）总之，这样处理教材后，我们构建了一个真正的问题情境，学生可以从中学习如何获得研究的对象、如何提出研究的问题、如何找到研究的方法从课堂小结看，这一目标已经实现。学生不仅能说出具体知识，而且还能准确地说出“分成三个部分”向量的表示、特殊向量、特殊关系（说成向量的性质）这些是课本中找不到的，需要具有一定概括能力5明确零向量的意义与作用，不过分纠缠于细节本课的教学中，大多数教师都不恰当地在“零向量与任意向量平行”上狠下功夫，原因是“这是考试中的一个陷阱”我们认为这是对零向量的意义和作用理解不到位的表现首先，规定“零向量与任意向量平行”是完善概念系统的需要“平行向量”