步步高大一轮复习讲义高三数学53平面向量的数量积

1、§5.3平面向量的数量积1平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为，则数量_叫做a和b的数量积(或内积)，记作_规定：零向量与任一向量的数量积为_两个非零向量a与b垂直的充要条件是_，两个非零向量a与b平行的充要条件是_2平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影_的乘积3平面向量数量积的重要性质(1)e·aa·e_；(2)非零向量a，b，ab_；(3)当a与b同向时，a·b_；当a与b反向时，a·b_，a·a_，|a|_；(4)cos_；(5)|a·b|_|a|b|.

2、4平面向量数量积满足的运算律(1)a·b_(交换律)；(2)(a)·b_(为实数)；(3)(ab)·c_.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则a·b_，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2_或|a|_.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|_.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab_.难点正本疑点清源1向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量

3、夹角的范围2数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足向量间的结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线1(课本改编题)已知向量a和向量b的夹角为135°，|a|2，|b|3，则向量a和向量b的数量积a·b_.2已知ab，|a|2，|b|3，且3a2b与ab垂直，则实数的值为_3已知a(2,3)，b(4,7)，则a在b方向上的投影为_4(课本精选题)设a，b，c是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有_(填序

4、号)(a·b)c(c·a)b0；|a|b|<|ab|；(b·c)a(a·c)b不与c垂直；(3a4b)·(3a4b)9|a|216|b|2.5(2011·辽宁)已知向量a(2,1)，b(1，k)，a·(2ab)0，则k等于()A12B6C6D12题型一平面向量的数量积的运算例1已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(ac)·(bc)0，则|c|的最大值是_ (1)若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正东方向，且|a|b|1，则(3a)·(ab)_.(2)如图，在ABC中，ADAB

5、，|1，则·等于()A2B.C.D.题型二向量的夹角与向量的模例2已知|a|4，|b|3，(2a3b)·(2ab)61，(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积探究提高(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|要引起足够重视，它是求距离常用的公式(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的(1)(浙江高考改编)已知平面向量，|1，(2,0)，(2)，求|2|的值；(2)已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，|a|1，|b|2，|c|3，求

6、向量abc与向量a的夹角题型三平面向量的垂直问题例3已知a(cos，sin)，b(cos，sin)(0<<<)(1)求证：ab与ab互相垂直；(2)若kab与akb的模相等，求.(其中k为非零实数)探究提高(1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明ab，则只需证明a·b0x1x2y1y20.(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b0.(3)数量积的运算中，a·b0ab中，是对非零向量而言的，若a0，虽然有a·b0，但不能说ab.已知平面向量a(，1

7、)，b.(1)证明：ab；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使ca(t23)b，dkatb，且cd，试求函数关系式kf(t)3.三审图形抓特点试题：(5分)如图所示，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若xy，则x_，y_.审题路线图图形有一副三角板构成(注意一副三角板的特点)令|AB|1，|AC|1(一副三角板的两斜边等长)|DE|BC|(非等腰三角板的特点)|BD|DE|sin60°×(注意ABD45°90°135°)在上的投影即为xx|AB|BD|cos45°1×1在上的投影即yy|BD|·sin45

8、76;×.正确答案1解析方法一结合图形特点，设向量，为单位向量，由xy知，x，y分别为在，上的投影又|BC|DE|，|DE|·sin60°.在上的投影x1cos45°1×1，在上的投影ysin45°.方法二xy，又，xy，(x1)y.又，·(x1)2.设|1，则由题意|.又BED60°，|.显然与的夹角为45°.由·(x1)2，得×1×cos45°(x1)×12.x1.同理，在(x1)y两边在取数量积可得y.点评突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一

9、副三角板构成)根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷方法二是原试题所给答案，比较方法一，略显繁杂.方法与技巧1向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似如(ab)2a22a·bb2；(ab)·(satb)sa2(ts)a·btb2(，s，tR)2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧失误与防范1(1)0与实数0的区别：0a00，a(a)00，a·000；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只

10、定义了非零向量的垂直关系2a·b0不能推出a0或b0，因为a·b0时，有可能ab.3一般地，(a·b)c(b·c)a即乘法的结合律不成立因a·b是一个数量，所以(a·b)c表示一个与c共线的向量，同理右边(b·c)a表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，故一般情况下(a·b)c(b·c)a.4a·ba·c(a0)不能推出bc，即消去律不成立5向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，应为120°，而不是60°.课时规范训练(时间：60分钟)A组专项基础训练题

11、组一、选择题1(2011·大纲全国)设向量a，b满足|a|b|1，a·b，则|a2b|等于()A.B.C.D.2已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c等于()A.B.C.D.3在ABC中，AB3，AC2，BC，则·等于()ABC.D.二、填空题4(2011·课标全国)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.5(2011·江西)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1·b2_.6已知a(2，1)，b(，3)，若a与b的夹

12、角为钝角，则的取值范围是_三、解答题7已知a(1,2)，b(2，n)，a与b的夹角是45°.(1)求b；(2)若c与b同向，且a与ca垂直，求c.8在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，2)，B(2,3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)·0，求t的值B组专项能力提升题组一、选择题1(2011·辽宁)若a，b，c均为单位向量，且a·b0，(ac)·(bc)0，则|abc|的最大值为()A.1B1C.D22已知|a|6，|b|3，a·b12，则向量a在向量b方向上的投影是

13、()A4B4C2D23已知a、b、c是同一平面内的三个单位向量，它们两两之间的夹角均为120°，且|kabc|>1，则实数k的取值范围是()A(，0)B(2，)C(，0)(2，)D(0,2)二、填空题4(2011·浙江)若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_5已知向量a，b，c满足abc0，(ab)c，ab，若|a|1，则|a|2|b|2|c|2的值是_6已知在平面直角坐标系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，动点P(x，y)满足不等式0·1,0·1，则z·的最大

14、值为_三、解答题7设平面上有两个向量a(cos，sin) (0°<360°)，b.(1)求证：向量ab与ab垂直；(2)当向量ab与ab的模相等时，求的大小8设两向量e1、e2满足|e1|2，|e2|1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围答案要点梳理1|a|b|cosa·b|a|b|cos0a·b0a·b±|a|b|2|b|cos3(1)|a|cos(2)a·b0(3)|a|b|a|b|a2(4)(5)4(1)b·a(2)(a·b

15、)a·(b)(3)a·cb·c5x1x2y1y2(1)x2y2(2)(3)x1x2y1y20基础自测132.3.4.5.D题型分类·深度剖析例1变式训练1(1)3(2)D例2解(1)(2a3b)·(2ab)61，4|a|24a·b3|b|261.又|a|4，|b|3，644a·b2761，a·b6.cos.又0，.(2)可先平方转化为向量的数量积|ab|2(ab)2|a|22a·b|b|2422×(6)3213，|ab|.(3)与的夹角，ABC.又|a|4，|b|3，SABC|sinABC

16、15;4×3×3.变式训练2解(1)(2,0)，|2，又(2)，·(2)22·12·0.·.(2)24224·44210.|2|.(2)由已知得(abc)·aa2a·ba·c12cos120°3cos120°，|abc|.设向量abc与向量a的夹角为，则cos，即150°，故向量abc与向量a的夹角为150°.例3(1)证明(ab)·(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)(cos2sin2)0，ab与ab互相垂直(2)解kab(kc

17、oscos，ksinsin)，akb(coskcos，sinksin)，|kab|，|akb|.|kab|akb|，2kcos()2kcos()又k0，cos()0.而0<<<，0<<，.变式训练3(1)证明a·b×1×0，ab.(2)解ca(t23)b，dkatb，且cd，c·da(t23)b·(katb)ka2t(t23)b2tk(t23)a·b0，又a2|a|24，b2|b|21，a·b0，c·d4kt33t0，kf(t) (t0)课时规范训练A组141566(，6)7解(1)a

18、·b2n2，|a|，|b|，cos 45°，3n216n120 (n>1)，n6或n(舍)，b(2,6)(2)由(1)知，a·b10，|a|25.又c与b同向，故可设cb (>0)，(ca)·a0，b·a|a|20，cb(1,3)8解(1)由题设知(3,5)，(1,1)，则(2,6)，(4,4)所以|2，|4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知(2，1)，t(32t,5t)由(t)·0，得(32t,5t)·(2，1)0，从而5t11，所以t.B组1B2A3C4.54637(1)证明(ab)·(ab)a2b2|a|2|b|2(cos2sin2)0，故ab与ab垂直(2)解由|ab|ab|，两边平方得3|a|22a·b|b|2|a|22a·b3|b|2，所以2(|a|2|b|2)4a·b0，而|a|b|，所以a·b0，则·cos·sin0，即cos(60°)0，60°k·180