2015年中考特殊平行四边形证明与计算经典习题与答案

1、2015 年初中数学中考特殊四边形证明及计算组卷参考答案与试题解析学号30 小题)(1 )如图，？ABCD 的对角线 AC, BD 交于点 O,直线 EF 过点 O,分别交 AD，BC 于点 E, F.? ABCD (纸片)沿过对角线交点O 的直线 EF 折叠，点 A 落在点 A1处，点 B 落在点 B1处，设FB1交 CD 于点 G, A1B1分别交 CD, DE 于点 H , I.考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换(折叠问题)分析：(1 )由四边形 ABCD 是平行四边形，可得 AD / BC, OA=OC，又由平行线的性质，可得/1 = / 2,继而利用 ASA，即

2、可证得 AOECOF,则可证得 AE=CF .(2)根据平行四边形的性质与折叠性质，易得A1E=CF，/ A1= / A= / C,ZB1=ZB= / D，继而可证得厶 A1IECGF，即可证得 EI=FG .解答：证明：(1 )四边形 ABCD 是平行四边形， AD / BC, OA=OC ,/1 =/2,在厶 AOE 和厶 COF 中，,AOECOF (ASA ), AE=CF ;(2)四边形 ABCD 是平行四边形，/ A= / C,ZB= / D，由(1 )得 AE=CF , 由折叠的性质可得： AE=A1E,ZA 仁/A，/ B 仁/ B,- A1E=CF，/ A 仁/ A= / C

3、 ,ZB 仁 / B= / D，又 1 = / 2 ,3= / 4 ,5= / 3，/ 4= / 6 , /5=Z6,在厶 A1IE 与厶 CGF 中，点评：此题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握 折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用.2.(2011?)阅读一解答题(共1. (2012?威海)求证：AE=CF .(2)如图，将在平面直角坐标系中，以任意两点P ( X1, y1)、Q ( x2, y2)为端点的线段中点坐标为.运用(1)如图，矩形 ONEF 的对角线相交于点 M , ON、OF 分别在 x 轴和 y 轴上，0 为坐标原点，

4、点 E 的坐标为(4, 3),则点 M 的坐标为(2，1.5).(2) 在直角坐标系中，有 A (- 1 , 2), B ( 3, 1), C (1, 4)三点，另有一点 D 与点 A、B、C 构成平行四边形 的顶点，求点 D 的坐标.考占：n 八、平行四边形的性质；坐标与图形性质；矩形的性质.专题： 几何综合题.分析： (1)根据矩形的对角线互相平分及点E 的坐标即可得出答案.(2)根据题意画出图形，然后可找到点D 的坐标.解答：解: ( 1) M (,),即 M (2, 1.5).(2)如图所示：根据平行四边形的对角线互相平分可得：设 D 点的坐标为(x, y),以点 A、B、C、D 构成

5、的四边形是平行四边形，1当 AB 为对角线时，/A (- 1 ,2), B (3 , 1), C (1 ,4), BC=, AD= , - 1+3- 1=1 , 2+1 - 4=- 1, D 点坐标为(1,- 1),2当 BC 为对角线时，TA (- 1,2), B (3 , 1), C (1,4), AC=2 , BD=2 ,D 点坐标为(5 , 3).3当 AC 为对角线时，/ A (- 1, 2), B (3 , 1) , C (1 , 4) , AB= , CD= , D 点坐标为：(-3 , 5), 综上所述,符合要求的点有：D (1, - 1), D(- 3 , 5), D( 5

6、, 3).占评： 本题考查了平行四边形的性质及矩形的性质，关键是掌握已知两点求其中点坐标的方法.3.(2007?)在厶 ABC 中，AB=AC，点 P ABC 所在平面一点，过点 P 分别作 PE / AC 交 AB 于点 E, PF/ AB 交 BC 于点 D，交 AC 于点 F.若点 P 在 BC 边上(如图 1),此时 PD=0,可得结论：PD+PE+PF=AB .请直接应用上述信息解决下列问题：当点 P 分别在 ABC (如图 2), ABC 外(如图 3)时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD, PE, PF 与 AB 之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要

7、证A.A明.图1图？图 m考点：平行四边形的性质.专题：探究型.分析：在图 2 中，因为四边形 PEAF 为平行四边形，所以 PE=AF，又三角形 FDC 为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即 PE+PD+PF=AC=AB ，在图 3 中，PE=AF 可证，FD=PF - PD=CF，即 PF- PD+PE=AC=AB .解答：解：图 2 结论：PD+PE+PF=AB .证明：过点 P 作 MN / BC 分别交 AB , AC 于 M , N 两点,/ PE/ AC , PF/ AB ,四边形 AEPF 是平行四边形，/ MN / BC, PF / AB四边形 BDPM 是平行四边形

8、， AE=PF，/ EPM= / ANM= / C,/ AB=AC , / EMP= / B , / EMP= / EPM , PE=EM , PE+PF=AE+EM=AM .四边形 BDPM 是平行四边形， MB=PD . PD+PE+PF=MB+AM=AB ,即 PD+PE+PF=AB .图 3 结论：PE+PF - PD=AB .点评：此题主要考查了平行四边形的性质，难易程度适中，读懂信息，把握规律是解题的关键.4.(2006?)如图，矩形 ABCD 的对角线交于点 O, AE 丄 BD , CF 丄 BD，垂足分别为 E, F,连接 AF , CE.(1) 求证：四边形 AECF 是平

9、行四边形；(2) 若/ BAD 的平分线与 FC 的延长线交于点 G,则 ACG 是等腰三角形吗？并说明理由.平行四边形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性质.证明题；几何综合题；探究型.(1 )根据矩形的性质可知：AB=CD，/ ABE= / CDF，/ AEB= / CFD=90，得到ABE CDF ,所以 AE / CF, AE=CF，可证四边形 AECF 为平行四边形；(2)因为 AE / FG,得到/ G= / GAE .利用 AG 平分/ BAD，得到/ BAG= / DAG，从而求得 / ODA= / DAO .所以/CAG= / G,可得CAG 是等腰三角形.(

10、1)证明：矩形 ABCD , AB / CD, AB=CD . / ABE= / CDF，又/ AEB= / CFD=90 , AE / CF, ABECDF , AE=CF .四边形 AECF 为平行四边形.(2) 解：ACG 是等腰三角形.理由如下： AE / FG,/ G= / GAE ./ AG 平分/ BAD ,/ BAG= / DAG .又 OA=AC=BD=OD ,/ ODA= / DAO ./ BAE 与/ ABE 互余，/ ADB 与/ ABD 互余，/ BAE= / ADE ./ BAE= / DAO ,/ EAG= / CAG，/ CAG= / G, CAG 是等腰三角形

11、.点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有:SSS、SAS、SSA、HL .判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再 根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.5.(2006?)如图，在 Rt ABC 中，/ BAC=90 , E, F 分别是 BC, AC 的中点，延长 BA 到点 D，使 AD=AB .连 接DE, DF .(1) 求证：AF 与 DE 互相平分；(2) 若 BC=4，求 DF 的长.考点：平行四边形的判定.专题：计算题；证明题.分析：(1)连接 EF、AE，证四边形 AEFD 是平行

12、四边形即可.(2)注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质：平行四边形的对边相 等，求得 AE长即可.解答：(1)证明：连接 EF , AE .点 E, F 分别为 BC, AC 的中点， EF / AB , EF=AB .又 AD=AB , EF=AD .又 EF / AD ,四边形 AEFD 是平行四边形. AF 与 DE 互相平分.(2)解：在 Rt ABC 中， E 为 BC 的中点，BC=4 , AE=BC=2 .又四边形 AEFD 是平行四边形， DF=AE=2 .点评：本题考查了平行四边形的判定，有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的 中

13、线等于斜边的一半.6.如图，以ABC 三边为边在 BC 同侧作三个等边ABD、 BCE、 ACF . 请回答下列问题：(1) 求证：四边形 ADEF 是平行四边形；(2) 当 ABC 满足什么条件时，四边形 ADEF 是矩形.考点：平行四边形的判定；等边三角形的性质；矩形的判定. 专题：证明题；探究型.分析：1、本题可根据三角形全等证得DE=AF , AD=EF，即可知四边形 ADEF 是平行四边形2、要使四边形 ADEF 是矩形，必须让/ FAD=90 ,则/ BAC=360 - 90 - 60 - 60 150证明：(1)v等边 ABD、 BCE、 ACF , DB=AB , BE=BC

14、.又/ DBE=60 -/ EBA，/ ABC=60 -/ EBA , / DBE= / ABC . DBECBA . DE=AC .又 AC=AF , AF=DE .同理可证：ABCFCE，证得 EF=AD .四边形 ADEF 是平行四边形.(2)假设四边形 ABCD 是矩形，四边形 ADEF 是矩形，/ DAF=90 . 又等边ABD、 BCE、 ACF，/ DAB=/ FAC=60 ./BAC=360-ZDAF-/FAC-/DAB=150.当厶 ABC 满足ZBAC=150 时，四边形 ADEF 是矩形.点评：此题主要考查了等边三角形的性质和平行四边形的判定.7.(2010?)如图，AB

15、C 是等边三角形，点 D 是边 BC 上的一点，以 AD 为边作等边ADE，过点 C 作 CF / DE 交 AB于点 F.(1)若点 D 是 BC 边的中点(如图)，求证：EF=CD ；(2)在(1)的条件下直接写出AEF 和厶 ABC 的面积比；(3)若点 D 是 BC 边上的任意一点(除 B、C 外如图)，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证:证明题.(1)根据ABC 和厶AED 是等边三角形， D 是 BC 的中点，ED / CF，求证 ABDCAF，进 而求证四边形 EDCF 是平行四边形即可；(2) 在(1)的条件下可直接写出AEF 和厶 ABC 的面积比；(3) 根据

16、 ED / FC,结合ZACB=60，得出ZACF=ZBAD，求证ABDCAF，得出 ED=CF ,进而求证四边形 EDCF 是平行四边形，即可证明EF=DC .解cBC图明；若不成立，请说明理由.:平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质. AD 丄 BC,且/ BAD= / BAC=30 ,AED 是等边三角形， AD=AE，/ADE=60,/EDB=90-ZADE=90-60=30,-ED/CF,ZFCB=ZEDB=30 ,vZACB=60 ,.ZACF=ZACB-ZFCB=30 , Z ACF=ZBAD=30，在 ABD 和厶 CAF 中，ABDCAF (ASA

17、 ), / AD=CF，: AD=ED , ED=CF，又vED / CF，四边形 EDCF 是平行四边形， EF=CD .3 D C(3)解：成立.理由如下：vED / FC,ZEDB=ZFCB,vZAFC=ZB+ZBCF=60 +ZBCF, ZBDA=ZADE+ZEDB=60 +ZEDBZAFC=ZBDA,在厶 ABD 和厶 CAF 中， ABDCAF (AAS ), AD=FC ,vAD=ED, ED=CF,又vED/CF,四边形 EDCF 是平行四边形， EF=DC.点评：此题主要考查学生对平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质的理 解和掌握.此题涉及到的知识

18、点较多，综合性较强，难度较大.& (2011?)如图，在菱形 ABCD 中，ZA=60 ,点 P、Q 分别在边 AB、BC 上，且 AP=BQ .解答:(2)解：AEF 和厶 ABC 的面积比为：1 : 4;(1) 求证：BDQADP ;(2) 已知 AD=3 , AP=2，求 cosZBPQ 的值(结果保留根号).(1)证明：四边形 ABCD 是菱形， AD=AB , / ABD= / CBD= / ABC , AD / BC, /A=60 ,ABD 是等边三角形，/ABC=120 , AD=BD , / CBD= / A=60 , AP=BQ ,BDQ 也厶 ADP ( SAS);

19、(2)解：过点 Q 作 QE 丄 AB，交 AB 的延长线于 E,-BQ=AP=2 ,-AD / BC,/QBE=60 , QE=QB?si n60 =2X=BE=QB?cos6=2X=1,AB=AD=3 , PB=AB - AP=3 - 2=1,PE=PB+BE=2 ,在 Rt PQE 中，PQ=,-cos/ BPQ=.此题考查了菱形的性质与勾股定理、三角函数的性质此题难度适中，解题的关键是数形结合思想 的应用.10. (2007?)如图 1,已知四边形 ABCD 是菱形，G 是线段 CD 上的任意一点时，连接 BG 交 AC 于 F，过 F 作 FH / CD 交 BC于 H，可以证明结论

20、成立.(考生不必证明)(1) 探究：如图 2, 上述条件中，若 G 在 CD 的延长线上，其它条件不变时，其结论是否成立？若成立，请给出 证明；若不成立，请说明理由；(2) 计算：若菱形 ABCD 中 AB=6 , / ADC=60 , G 在直线 CD 上，且 CG=16，连接 BG 交 AC 所在的直线于 F, 过 F 作 FH/ CD 交 BC 所在的直线于 H，求 BG 与 FG 的长.(3)发现：通过上述过程，你发现 G 在直线 CD 上时，结论还成立吗？E 1图2考点：菱形的性质；勾股定理；平行线分线段成比例.专题：综合题；压轴题.分析：(1)借助中间比进行证明，根据平行线分线段成

21、比例定理分别证明两个比都等于即可；(2)首先应画出两个不同的图形进行分析.构造30的直角三角形，然后计算两条直角边的长，在两种情况中，GQ=16+3=19 或 16- 3=13，然后根据勾股定理计算 BG 的长，进一步根据比例式求 得 FG 的长；考占：P 八、专题：分析:菱形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形.几何综合题.(1) 由四边形 ABCD 是菱形，可证得 AD=AB , / ABD= / CBD= / ABC , AD / BC,又由/ A=60 , 易得 ABD 是等边三角形，然后由 SAS 即可证得BDQ ADP ;(2)首先过点 Q作 QE 丄 AB，交 AB 的延

22、长线于 E,然后由三角函数的性质，即可求得PE 与 QE的长，又由勾股定理，即可求得PQ 的长，则可求得 cos/ BPQ 的值.解答:点评:(3)成立，根据(2 )中的过程，可以分别求得左右两个比，从而证明结论. 解答：解：(1 )结论成立证明：由已知易得 FH / AB ,/ FH / GC,(2)vG 在直线 CD 上，分两种情况讨论如下：1G 在 CD 的延长线上时， DG=10 , 如图 1，过 B 作 BQ 丄 CD 于 Q,由于四边形 ABCD 是菱形，/ ADC=60 , BC=AB=6，/ BCQ=60 ,-BQ=3 , CQ=3 , BG=.又由 FH / GC,可得，而厶

23、 CFH 是等边三角形， BH=BC - HC=BC - FH=6 - FH , , FH=,由(1)知, FG=.2G 在 DC 的延长线上时，CG=16 , 如图 2，过 B 作 BQ 丄 CG 于 Q,四边形 ABCD 是菱形，/ ADC=60 , BC=AB=6，/ BCQ=60 .-BQ=3 , CQ=3 . BG=14 .又由 FH / CG,可得，/BH=HC - BC=FH - BC=FH - 6, FH=./FH / CG , BF=14X -16=. FG=14+ .(3) G 在 DC 的延长线上时，成立.结合上述过程，发现 G 在直线 CD 上时，结论还成立.点评：证明

24、比例式的时候，可以利用相似或利用平行线分线段成比例定理进行证明.11.(2001?)如图，在菱形 ABCD 中，AB=10,/ BAD=60 度.点 M 从点 A 以每秒 1 个单位长的速度沿着 AD 边 向点 D 移动；设点 M 移动的时间为 t 秒(0Wt 2个单位长的速度沿着射线 BC 方向(可以超越 C 点) 移动，过点 M作 MP / AB，交 BC 于点 P.当 MPNABC 时，设 MPN 与菱形 ABCD 重叠部分的面积为 S, 求出用 t 表示 S 的关系式，井求当 S=0 时的值.考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的性质.专题：压轴题.分析：(1)菱形被分割成面积

25、相等的两部分，那么分成的两个梯形的面积相等，而两个梯形的高相等，只需上下底的和相等即可.(2) 易得菱形的高，那么用 t 表示出梯形的面积，用 t 的最值即可求得梯形的最大面积.(3)易得 MNP 的面积为菱形面积的一半，求得不重合部分的面积，让菱形面积的一半减去即可.解答：解：(1)设：BN=a , CN=10 - a (0a 1)0因为，点 M 从点 A 以每秒 1 个单位长的速度沿着 AD 边向点 D 移动，点 M 移动的时间为 t 秒(OWt 10所以，AM=Kt=t ( 0 t 10 MD=1O - t (O t 菱形高吃=(t+a)X菱形高吃；梯形 MNCD 的面积=(MD+NC

26、)X菱形高 吃=(10-t) + (10- a) X菱形高 吃当梯形 AMNB 的面积=梯形 MNCD 的面积时，即 t+a=10, (0 t 10 (0 a 1)所以，当 t+a=10, (0 t 10 (0 a 10 时，可出现线段 MN 定可以将菱形分割成面积相等的两 部分.(2)点 N 从点 B 以每秒 2 个单位长的速度沿着 BC 边向点 C 移动，设点 N 移动的时间为 t，可知0t5因为 AB=10,ZBAD=60，所以菱形高=5,AM=1Xt=t,BN=2Xt=2t.所以梯形 ABNM 的面积=(AM+BN )X菱形高吃=3tX5X=t (0 t6=24 . (10 分)点评：

27、考查菱形的判定及相关性质；把不规则图形的面积转化为较简单的规则图形的面积是解决本题的关键.16.(2011?)如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点，AE=BC , DF 丄 AE，垂足为 F,连接 DE .(1) 求证：AB=DF ;(2) 若 AD=10 , AB=6，求 tan/ EDF 的值.考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义.专题：几何综合题.分析：(1)根据矩形的对边平行且相等得到 AD=BC=AE , / DAF= / EAB 再结合一对直角相等即可证明ABEDFA ;然后根据全等三角形的对应边相等证明AB=DF ;(2)根据全等三角形的对应

28、边相等以及勾股定理，可以求得DF , EF 的长；再根据勾股定理求得DE 的长，运用三角函数定义求解.解答：(1)证明：在矩形 ABCD 中，BC=AD , AD / BC，/ B=90 , / DAF= / AEB ./ DF 丄 AE , AE=BC , / AFD=90 , AE=AD . ABEDFA ； AB=DF ；(2)解：由(1)知厶 ABEDFA . AB=DF=6 .在 Rt ADF 中，AF=, EF=AE - AF=AD - AF=2 . tan/ EDF=.点评：本题综合考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义.熟练运用矩形的性 质和判定，能够找到

29、证明全等三角形的有关条件；运用全等三角形的性质求得三角形中的边，再根 据锐角三角函数的概念求解.17.(2010?)已知：如图，正方形 ABCD 与矩形 DEFG 的边 AD、DE 在同一直线 l 上，点 G 在 CD 上.正方形 ABCD 的边长为 a,矩形 DEFG 的长 DE 为 b，宽 DG 为 3 (其中 ab3).若矩形 DEFG 沿直线 l 向左以每秒 1 个 单位的长度的速度运动(点 D、E 始终在直线 l 上).若矩形 DEFG 在运动过程中与正方形 ABCD 的重叠部分的面 积记作 S,运动时间记为 t 秒(OWtW)其中 S与 t 的函数图象如图所示.矩形 DEFG 的顶

30、点经运动后的对应点 分别记作 D、E、F、G.(1) 根据题目所提供的信息，可求得 b= 4, a= 5, m= 9；(2)连接 AG、CF ,设以 AG 和 CF 为边的两个正方形的面积之和为y,求当 OWtW时， y 与时间 t 之间的函数关 系式，并求出 y 的最小值以及 y 取最小值时 t 的值；(3) 如图，这是在矩形 DEFG 运动过程中，直线 AG 第一次与直线 CF垂直的情形，求此时 t 的值.并探究：在 矩形 DEFG继续运动的过程中，直线 AG 与直线 CF 是否存在平行或再次垂直的情形？如果存在，请画出图形，并 求出 t 的值；否则，请说明理由.所以 AG 与 CF 不可

31、能平行. 设 AG 与 FC勺延长线交于点 H ,当/G AD= PCF 时，直线 AG 丄 CF ;考占：P 八、专题：分矩形的性质；二次函数的最值；正方形的性质.代数几何综合题.(1) 由图的函数图象知：从第 4 -5 秒，S 的值恒为 12,即此时矩形全部落在正方形的部，由此可求得两个条件：矩形的面积为12，正方形的边长为 1+DE，根据这两个条件求解即可.(2) 当 OWtW时，矩形在直线 AB 的左侧，可用 t 表示出 AD、PF的长，易求得 DGCP 的长， 即可用勾股定理求得 AG2、CF2的值，即可得到 y、t 的函数关系式.(3) 此题要分五种情况讨论：1当OWV4 时，点

32、E在 D 点右侧；由于/ HG F、/ HF G 都是锐角，显然直线 AG 与 CF 不可能平 行；当两条直线垂直时， G HF 是直角三角形，易证得 AD GsCPF，根据相似三角形得到的 比例线段即可求得 t 的值；2当 t=4 时，D、E重合，此时直线 DC 与 E 重合，显然此时 AG 与 CF 既不平行也不垂直，因为 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行或垂直；3当 4VtV5 时，矩形在正方形的部，延长G F 交 BC 于 P，延长 AG 交 CD 于 Q，此时/ CF P 是锐角，所以/ CF G是钝角，显然 AG 与 CF 不可能垂直；当两直线平行时，可证得AD GsF

33、 PC 进而可根据相似三角形得到的比例线段求得t 的值；4当 t=5 时，此种情况与相同；5当 5VtV9 时，此时/ QG F 与/ CF G 都是钝角，显然 AG 与 CF不可能平行；当两直线垂直时， 可延长CF与 AG 相交于点 M，延长 G F 与 CD 相交于点 P，通过证AD GsCPF 来求得此时 t 的值.解答：解：(1)由图知：从第 4 到第 5 秒时，S 的值恒为 12，此时矩形全部落在正方形的部, 那么矩形的面积为 12，即可求得 DE=4 ;这个过程持续了 1 秒，说明正方形的边长为：DE+仁 5 ;由于矩形的速度恒定，所以5m 也应该用 4 秒的时间，故 m=5+4=

34、9 ;即：b=4, a=5, m=9.(2)如图，当 OWtw时，/ AD =5- t, D G=3 PF =4-1, CP=2,2 2 y=9+ ( 5 - t) +4+ (4 - t),2 y=2 (t-)2+,当 t=时，y 有最小值， y最小值=.(3)当 OWH4 时，分别延长 AG 和 FC如图，由于/ 1 和/2 都是锐角，所以/ 1 +Z2V180CGC 少D/E)AD GsCPF,解得 tl=2, t2=7 （不合题意，舍去）.2当 t=4 时，由于点 F在 CD 上，而点G不在直线 AD 上, 因为 AD 丄 CD，所以 AG 不可能也垂直于 CD（因为过直线外一点有且只有

35、一条直线与已知直线垂直）.同样，由于 AB / CD，而点 G 不在直线 AB 上， 所以 t=4 时，AG 也不可能平行于 CD （ CF ）（因为过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行）34vtv5 时，延长 G F 交 PC 于 P,延长 AG 交 CD 于 Q, 由于/ CF P 是锐角，所以/ CF G 是钝角，所以/ CF G+ZQGF 工 90；所以 AG 与 CF不可能垂直； 当/ G AD = CF P 时，AG / CF , 易得AD GsFPC解得 t=4.4 .4当 t=5 时，AG 与 CF 既不可能垂直也不可能平行，理由同.5当 5vtv9 时，因为/ QG

36、F 与/ CF G 都是钝角，所以/ QG F ZCF GS180所以 AG 与 CF 不可能平行.延长 CF 与 AG 相交于点 M，延长 G F 与 CD 相交于点 P;当ZMG F ZMF G =9（时，AG 丄 CF ;又/ AG DZAG F=90ZMF GZCFP,ZAG DZCFP又ZAD GZFPCAD GsCPF 即；解得：ti=2 （不合题意，舍去） t2=7;所以，综上所述，当 t=2 或 t=7 时，直线 AG 与直线 CF 垂直，当 t=4.4 时，直线 AG 与直线 CF平 行.点评：此题主要考查了矩形、正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质以及分段函数的应

37、用等 知识，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度较大.18.（2005?） 已知： 平行四边形 ABCD 的对角线交点为 O,点 E、 F 分别在边 AB、 CD 上， 分别沿 DE、 BF 折叠四 边形 ABCD A、C 两点恰好都落在 O 点处，且四边形 DEBF 为菱形（如图）.（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；（2）在四边形 ABCD 中，求的值.考点：矩形的判定.专题：计算题；证明题.分析：(1)根据矩形的判定定理，先证DE=BE，再证/ DOE=90，则可证.(2)根据已知条件和(1)的结论，先求得 AD : AB，易求解的值.解答：(1) 证明：连接 0E,四边形 ABCD

38、是平行四边形， DO=OB ,四边形 DEBF 是菱形， DE=BE , E0 丄 BD, / DOE=90 , 即/ DAE=90 ,又四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABCD 是矩形.(2) 解：四边形 DEBF 是菱形， / FDB= / EDB ,又由题意知/ EDB= / EDA , 由(1 )知四边形 ABCD 是矩形， / ADF=90，即/ FDB+ / EDB+ / ADE=90 , 则/ ADB=60 ,在 Rt ADB 中，有 AD : AB=1 :, 又 BC=AD ,则.说明：其他解法酌情给分点评： 本题考查矩形的判定定理及相关性质，直角三角形的性质等，难度偏

39、难.19 .如图，已知矩形 ABCD , AD=4 , CD=10 , P 是 AB 上一动点，M、N、E 分别是 PD、PC、CD 的中点.(1) 求证：四边形 PMEN 是平行四边形；(2) 请直接写出当 AP 为何值时，四边形 PMEN 是菱形；(3)四边形 PMEN 有可能是矩形吗？若有可能，求出AP 的长；若不可能，请说明理由.考点：矩形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的判定. 分析：(1)根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明.(2) 当 DP=CP 时，四边形 PMEN 是菱形，P 是 AB 的中点，所以可求出 AP 的值.(3) 四边形 PMEN 是矩形的话，

40、/ DPC 必需为 90判断一下 DPC 是不是直角三角形就行. 解答：解：(1 ) M、N、E 分别是 PD、PC、CD 的中点， ME / PC, EN / PD,四边形 PMEN 是平行四边形；(2 )当 AP=5 时，PA=PB=5 , AD=BC，/ A= / B=90 , PADPBC, PD=PC,/ M、N、E 分别是 PD、PC、CD 的中点， NE=PMPD , ME=PN=PC , PM=ME=EN=PN ,四边形 PMEN 是菱形；(3)假设DPC 为直角三角形.设 PA=x, PB=10 - x,DP=, CP=.2 2 2DP +CP =DC2 2 216+X2+1

41、6+(10 - x)2=102x2- 10 x+16=0 x=2 或 x=8.故当 AP=2 或 AP=8 时，能够构成直角三角形.点评：本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都 是直角，对边相等等性质.20.如图：矩形 ABCD 中，AB=2 , BC=5 , E、P 分别在 AD、BC 上，且 DE=BP=1 .(1) 判断 BEC 的形状，并说明理由？(2) 判断四边形 EFPH 是什么特殊四边形？并证明你的判断；(3) 求四边形 EFPH 的面积.考点：-矩形的判定与性质；三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质.专

42、题：分析：计算题；证明题.(1)根据矩形性质得出 CD=2，根据勾股定理求出 CE 和 BE,求出 CE2+BE2的值，求出 BC2，根据 勾股定理的逆定理求出即可；(2)根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形 DEBP和 AECP ,推出 EH / FP, EF / HP, 推出平行四边形 EFPH，根据矩形的判定推出即可；(2)根据三角形的面积公式求出CF,求出 EF,根据勾股定理求出 PF,根据面积公式求出即可.解答：(1) BEC 是直角三角形，理由是：矩形 ABCD ,/ ADC= / ABP=90 , AD=BC=5 , AB=CD=2 , 由勾股定理得：CE=,同理 B

43、E=2 ,2 2- CE +BE =5+20=25 , BC2=52=25,2 2 2 BE +CE =BC , / BEC=90 , BEC 是直角三角形.(2) 解：四边形 EFPH 为矩形， 证明：矩形 ABCD , AD=BC , AD / BC ,/DE=BP ,四边形 DEBP 是平行四边形， BE / DP ,/AD=BC , AD / BC , DE=BP , AE=CP,四边形 AECP 是平行四边形， AP / CE ,四边形 EFPH 是平行四边形，/ BEC=90 ,平行四边形 EFPH 是矩形.(3)解：在 RT PCD 中/ FC 丄 PD ,由三角形的面积公式得：

44、PD?CF=PC?CD, CF=, EF=CE - CF=-=,/ PF=,- S矩形EFPH=EF?PF=,答：四边形 EFPH 的面积是.点评：本题综合考查了勾股定理及逆定理，矩形、平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的运用,主要培养学生分析问题和解决问题的能力，此题综合性比较强，题型较好，难度也适中.21 . (2012?)在厶 ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC，若点 D 在线段 BC 上，以 AD 为边长作正方形 ADEF，如图 1, 易证：/ AFC=/ ACB+ / DAC ;(1) 若点 D 在 BC 延长线上，其他条件不变，写出/ AFC、/ ACB、/ D

45、AC 的关系，并结合图 2 给出证明;(2)若点 D 在 CB 延长线上，其他条件不变，直接写出/AFC、/ ACB、/ DAC 的关系式.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.专题：几何综合题.分析： (1)/ AFC、/ ACB、/ DAC 的关系为：/ AFC= / ACB -/ DAC，理由为：由四边形 ADEF 为正方 形，得到 AD=AF，且/ FAD 为直角，得到/ BAC= / FAD，等式左右两边都加上/ CAD 得到/ BAD= / CAF，再由 AB=AC , AD=AF，利用 SAS 可得出三角形 ABD 与三角形 ACF 全等，根据全等 三角形

46、的对应角相等可得出/ AFC= / ADB，又/ ACB 为三角形 ACD 的外角，利用外角的性质得到 / ACB= / ADB+ / DAC ,变形后等量代换即可得证；(2) / AFC、/ ACB、/ DAC 的关系式是/ AFC+ / ACB+ / DAC=180，可以根据/ DAF= / BAC=90 , 等号两边都减去/ BAF，可得出/ DAB= / FAC，再由 AD=AF , AB=AC，利用 SAS 证明三角形 ABD 与三角形 AFC 全等，由全等三角形的对应角相等可得出/AFC= / ADB，根据三角形 ADC 的角和为180 ，等量代换可得证.解答： 解：(1)关系：/

47、 AFC= / ACB -/ DAC ,(2 分)证明：四边形 ADEF 为正方形， AD=AF , / FAD=90 ,/ BAC=90 , / FAD=90 ,BAC+ / CAD= / FAD+ / CAD，即/ BAD= / CAF ,(3 分)在厶 ABD 和厶 ACF 中，b ABDACF (SAS ),(4 分)AFC= / ADB ,/ ACB 是厶 ACD 的一个外角，ACB= / ADB+ / DAC ,(5 分):丄ADB=/ACB-ZDAC,/ADB=ZAFC,ZAFC=ZACB-ZDAC ;(6 分)(2)ZAFC、ZACB、ZDAC 满足的关系式为：ZAFC+ZDA

48、C+ZACB=180 ,(8 分)证明：四边形 ADEF 为正方形，ZDAF=90，AD=AF,又ZBAC=90,ZDAF=ZBAC,ZDAF-ZBAF=ZBAC-ZBAF，即ZDAB=ZFAC, 在厶 ABD 和厶 ACF 中， ABDACF (SAS ),ZADB=ZAFC,在厶 ADC 中，ZADB+ZACB+ZDAC=180 , 则ZAFC+ZACB+ZDAC=180 .点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的角和定理，以及三角形的外角性质，熟练掌握判定及性质是解本题的关键.22.(2012?)已知四边形 ABCD 是正方形，O 为正方形对角线的交点，一动点 P

49、从 B 开始，沿射线 BC 运动，连接 DP,作 CN丄 DP 于点 M，且交直线 AB 于点 N，连接 OP, ON .(当 P 在线段 BC 上时，如图 1:当 P 在 BC 的延 长线上时，如图 2)(1) 请从图 1，图 2 中任选一图证明下面结论： BN=CP :OP=ON，且 OP 丄 ON;(2) 设 AB=4 , BP=x，试确定以 O、P、B、N 为顶点的四边形的面积 y 与 x 的函数关系.考点： 正方形的性质；分段函数；三角形的面积；全等三角形的判定与性质.专题： 代数几何综合题.分析：(1 )根据正方形的性质得出 DC=BC ,ZDCB=ZCBN=90，求出ZCPD=Z

50、DCN=ZCNB，证 DCPCBN，求出 CP=BN，证 OBNOCP，推出 ON=OP ,ZBON=ZCOP，求出ZPON=ZCOB 即可；(2)同法可证图 2 时，OP=ON , OP 丄 ON，图 1 中，S四边形OPBN=SOBN+SABOP，代入求出即可；图2 中，S四边形OBNP=SPOB+SAPBN,代入求出即可.解答：(1)证明：如图 1,正方形 ABCD ,OC=OB,DC=BC, ZDCB=ZCBA=90, ZOCB=ZOBA=45, ZDOC=90,DC/AB,/DP 丄 CN , ZCMD=ZDOC=90, ZBCN+ZCPD=90, ZPCN+ZDCN=90, ZCP

51、D=ZCNB,/DC/AB,/ DCN= / CNB= / CPD ,在 DCP 和厶 CBN 中 DCPCBN , CP=BN,在 OBN 和厶 OCP 中 OBNOCP, ON=OP，/ BON= / COP,/ BON+ / BOP= / COP+ / BOP ,即/ NOP= / BOC=90 , ON 丄 OP,即 ON=OP , ON 丄 OP.(2)解：TAB=4，四边形 ABCD 是正方形， O 到 BC 边的距离是 2,图 1 中，S四边形OPBN=SAOBN+SABOP,=X (4-x)疋+ $2,=4(0VxV4),图 2 中，S四边形OBNP=SAPOB+SAPBN=/

52、2+X (x-4)2=x - X (x 4),即以 O、P、B、N 为顶点的四边形的面积 y 与 x 的函数关系是：.点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，分段函数等知识点的应用，解(1)小题的关键是能运用性质进行推理，解(2)的关键是求出符合条件的所有情况，本题具有一定的代表性，是一 道比较好的题目，注意：证明过程类似.23.(2011?来宾)已知正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E、F 分别是 OB、OC 上的动点，(1) 如果动点 E、F 满足 BE=CF (如图 1):1写出所有以点 E 或 F 为顶点的全等三角形(不得添加辅助线)；2证明：AE

53、 丄 BF ;(2) 如果动点 E、F 满足 BE=OF (如图 2),问当 AE 丄 BF 时，点 E 在什么位置，并证明你的结论.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质.专题：几何综合题.分析：(1)根据正方形性质及BE=CF即可得出全等的三角形，根据全等三角形及正方形的性质即可 得出结论，(2)根据正方形性质及已知条件得出BEM AEO , BEMBOF，再根据三角形相似的性质即可得出答案.解答： 解：(门厶 ABEBCF , AOEBOF , ADEBAF ;证明：根据正方形的性质，在厶 BAE 和厶 CBF 中，,BAECBF (SAS),/BAE= /CBF,根据外角性质，/

54、AFB= / BCF+ / CBF=45 + / CBF ,又/FAM=45-ZBAE,/AMF=180-(ZFAM+ZAFM)=180-(45ZCBF+45-ZBAE)=90, AE 丄 BF;(2)当 AE 丄 BF 时，点 E 在 BO 中点.证明如下：延长 AE 交 BF 于点 M，如图所示：vZBME=ZAOE，ZBEM=ZAEO,BEM AEO,-=,即 AO=,vZMBE=ZOBF, ZBME=ZBOF,BEM BFO,-=,即 BO=,vAO=BO,BE=OF, BE=EO,故当 AE 丄 BF 时，点 E 在 BO 中点.点评：本题主要考查了全等三角形的性质、正方形的性质，相

55、似三角形的判定及性质，比较综合,难度较|_大._|24. (2011?)如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E , K 分别在 BC , AB 上,点 G 在 BA 的延长线上，且 CE=BK=AG(1) 求证： DE=DG ;DE 丄 DG(2)尺规作图：以线段 DE , DG 为边作出正方形 DEFG (要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明)；(3) 连接(2)中的 KF，猜想并写出四边形 CEFK 是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：(4) 当时，请直接写出的值.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；作图一复杂作图.分析：(1)由已知证明 DE、DG 所在的三角

56、形全等，再通过等量代换证明DE 丄 DG ；(2)根据正方形的性质分别以点 G、E 为圆心以 DG 为半径画弧交点 F，得到正方形 DEFG ；(3)由已知首先证四边形 CKGD 是平行四边形，然后证明四边形CEFK 为平行四边形；(4) 由已知表示出的值.解答：(1)证明：v四边形 ABCD 是正方形， DC=DA, ZDCE=ZDAG=90.又vCE=AG ,DCEDAG , DE=DG ,ZEDC=ZGDA,又vZADE+ZEDC=90,ZADE+ZGDA=90 DE 丄 DG.(2)解：如图.(3)解：四边形 CEFK 为平行四边形.证明：设 CK、DE 相交于 M 点四边形 ABCD

57、 和四边形 DEFG 都是正万形, AB / CD , AB=CD , EF=DG , EF / DG ,/ BK=AG , KG=AB=CD ,四边形 CKGD 是平行四边形， CK=DG=EF , CK / DG , / KME= / GDE= / DEF=90 , / KME+ / DEF=180 , CK / EF,四边形 CEFK 为平行四边形.(4 )解: T,设 CE=x , CB=nx , CD=nx ,2 2 2222,2、2-DE =CE +CD =n x +x = (n +1) x ,BC22 2BC = n x ,此题考查的知识点是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、

58、平行四边形的判定及作图，解题的 关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂.25.(2011?)如图，点 P 是正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点，点 E 在射线 BC 上，且 PB=PE，连接 PD, O 为 AC 中占I 八、(1) 如图 1,当点 P 在线段 AO 上时，试猜想 PE 与 PD 的数量关系和位置关系，不用说明理由；(2) 如图 2,当点 P 在线段 0C 上时，(1)中的猜想还成立吗？请说明理由；(3)如图 3,当点 P 在 AC 的延长线上时，请你在图 3 中画出相应的图形(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)，并判断(1)中的猜想是否成立？若成立，

59、请直接写出结论；若不成立，请说明理由.考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.分析：(1)根据点 P 在线段 A0 上时，利用三角形的全等判定可以得出PE 丄 PD, PE=PD ；(2)利用三角形全等得出， BP=PD，由 PB=PE，得出 PE=PD，要证 PE 丄 PD;从三方面分析，当点 E 在线段 BC 上(E 与 B、C 不重合)时，当点 E 与点 C 重合时，点 P 恰好在 AC 中点处，当点 E 在 BC 的延长线上时，分别分析即可得出；(3)利用 PE=PB 得出 P点在 BE 的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质只要以P 为圆心， PB 为半 径画弧

60、即可得出 E 点位置，利用(2)中证明思路即可得出答案.解答：解: (1)当点 P 在线段 A0 上时，在厶 ABP 和厶 ADP 中， ABPADP , BP=DP,/ PB=PE, PE=PD,过点 P 做 PM 丄 CD，于点 M，作 PN 丄 BC,于点 N,/ PB=PE, PN 丄 BE, BN=NE ,/ BN=DM , DM=NE ,在 Rt PNE 与 Rt PMD 中，/ PD=PE, NE=DM , Rt PNE 也 Rt PMD ,/ DPM= / EPN ,/ MPN=90 , / DPE=90 ,故 PE 丄 PD,PE 与 PD 的数量关系和位置关系分别为：PE=PD,