数值分析总复习提纲

1、数值分析总复习提纲数值分析课程学习的内容看上去比拟庞杂，不同的教程也给出了不同的概 括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、 根本计算与根本算法、数值计算与 数值分析三个根本内容。在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭 代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个根本方法。一、误差分析与算法分析误差分析与算法设计包括这样几个方面:(一) 误差计算1截断误差的计算截断误差根据泰勒余项进行计算根本的冋题是(n 1)( x) xn 1X(n 1)!(01)，&求n。解：令 f(x)=e x,而 fk)(x)=e x,fk)(0)=e 0=1。由麦克劳林公式，可知2x彳Xe 1 x2!L

2、nxeXxn 1 (01)n! (nX(01)!当x=1时，e11丄L2!1e(0 1)n! (n 1)!故 Rn(1)e(n31)!。(n 1)!例1. 1：计算e的近似值，使其误差不超过10一6O当n = 9时，期1)<10 一6,符合要求。此时,e 2.718 285。2、绝对误差、相对误差及误差限计算绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可根本的计算公式是：/_、 * e(x) = x - x = x = dx er(x)啤型鱼dlnxx x x e( f (x) f (x)dx f (x)e(x) er( f (x) d(ln f (x)e(f(«X2)(为风

3、宓 fx2 (为必川乂?fx1 (X1,X2)&xJfx (%,X2)e(x2)(f(X1,X2)( f (X1,X2)f (X1,X2)x注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据误差的关系 而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定义式e(x)或 ，xx这样计算简单。例1. 2:测得圆环的外径di=10±).05(cm),内径d2=5±).1(cm)。求其面积的 近似值和相应的绝对误差限、相对误差限。解：圆环的面积公式为：S(d1 dl)4所以，圆环面积的近似值为2 2 2S -(105 )58.905(cm )4由上述

4、讨论，面积近似值的绝对误差限为(S)4(2di (di) 2d2 (d2) -(di (di) d2 (d2)-(10 0.05 5 0.1)21.57(cm )相对误差为(S)(S)S1.5758.905100%2.7%相对误差要化成百分数3、绝对误差、相对误差、有效数字的关系计算绝对误差、相对误差、有效数字的关系依据如下结论讨论:如果一个数x0.a1 玄2玄3 L an 1 anan 1L (a0)其近似值0.a a?a3 Lan 1 an是对x*的第n+1位进行四舍五入后得到的，那么x有n位有效数字，且其绝 对误差不超过1 10 n ，即21x* x - 10 n 。 如果一个数*mx0

5、.a-ia2a3 L an 1anan 1L 10 (a10)的近似值0. ai a?a3 Lan 1 an10是对x*的第n+1位进行四舍五入后得到的，那么x有n位有效数字，且其绝 对误差不超过1 10m n2x* x设x对误差限为1120 a?a3 L an 1anm n10 。10m是x*的具有n位有效数字的近似值，那么其相101n反之，假设x的相对误差限2(a11) 101 n那么x至少具有n位有效数字。例1.3 :求,3的近似值，使其绝对误差不超过 1210 3。解：因为1、.3 2所以，化成1102由定理O.azasL a.何 10m的形式，有122，1 410 ，n=4，4位有效

6、数字。a11,m1。所以，所以近似值应保存贝U ,31.732。例1. 4:要使11的近似值的相对误差不超过10 4，应取几位有效数字?(5%)解：设取n个有效数字可使相对误差小于10 4，那么12a1而3101 n 10 4，.1?12a14，显然a13，此时，101 n 九 101 n 104，101 n104，即16也即6 10n 所以，n=5。例1. 5:近似数x的相对误差限为0.3 %，问x至少有几个有效数字? 解：设x有n位有效数字，其第一位有效数字按最不利情况取为9,那么0.3%1 101 n101 n - 10 n 10002(91)2 1022 10n由上可得6 10n 10

7、00 ,n2.2 ,所以取n=2。指出：也可以按首位为1 , 9分别计算，取较小者。4、计算方法的余项计算各种计算方法的余项的计算根据相应的余项定理进行。(二) 误差分析精度水平的分析主要依据两个结论：相对误差越小，近似数的精确度越高。一个近似数的有效数字越多，它的相对误差越小，也就越精确 反之亦然。例1.6 :测量一个长度a为400米，其绝对误差不超过0.5米，测量另一 长度b为20米，其绝对误差不超过0.05米。问，哪一个测量的更精确些？解：0.5a；70.125%a400b0.05bb0.25%20显然，sa <S b所以测值a更准确一些。答：测值a更准确一些。指出：衡量测量工作的

8、好坏用相对误差解决这样的题目就是三个步骤:第一，求出两个相对误差第二，比拟两个相对误差的大小第三，结论(三) 算法分析1稳定性分析算法的稳定性通过对计算的误差的扩缩情况进行分析。例1. 7:设近似值To=S0=35.7O具有四位有效数字，计算中无舍入误差，试 分析分别用递推式1Ti i 5Ti 142.8和 Si i -Si 142.85计算T20和S20所得结果是否可靠。解：设计算T的绝对误差为e(Ti)=Ti* Ti，其中计算To的误差为那么 计算T20的误差为e(T2o)=T20* T2o=( 5Ti9 142.8 ) ( 5Ti9 142.8 ) =5(T 19 Ti9) =5e(Ti

9、9)=52e(Ti8)=520e(T。)显然误差被放大，结果不可靠。20同理，e(S2o)1e(SO，误差缩小，结果可靠。5指出：注意理论分析，因此初始近似值本身是不必要的。2、收敛性分析算法的收敛性分析主要是迭代法解方程的收敛性分析和迭代法解方程组的收敛性分析，其他计算方法的收敛性分析一般在具体计算过程中表达。(1) 迭代法收敛性判定的根本结论是：定理(迭代法根本定理)：对于任意的 f职n，和任意的初始向量X(0)职n, 迭代法x(k+1)=Bx(k)+f(k=0,1,2,)收敛的充分必要条件是迭代矩阵 B的谱半径p(B) V 1。推论：假设|B 1，那么迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f

10、(k=0,1,2,)收敛。(2) 判定雅可比迭代法、高斯一赛德尔迭代法收敛的根本依据是：定理：设线性方程组Ax=b，其系数矩阵为a11a12La1naa21a22La2nA(aii0)MMMan1an2Lann那么雅可比迭代法迭代矩阵的特征值满足如下条件:a11a12Lai na21a22La2n0;MMOMan1an2Lann高斯-赛德尔迭代法迭代矩阵的特征值满足如下条件:an312La1na21a22L32n0。MMMan13n2Lann(3) 系数矩阵为严格对角占优矩阵的方程组的迭代法收敛性：定理：系数矩阵为严格对角占优的线性方程组，它的雅可比迭代和高斯- 赛德尔迭代都是收敛的。指出：迭

11、代法根本定理是一般结论，对任意迭代法的收敛性都能分析。限定雅可 比迭代法和高斯-赛德尔迭代法那么不必应用根本定理，以回避求迭代矩阵。例1. &线性方程组X! 2x2 2x3 1X! x2 x312x-i 2x2 x31求解这个方程组的雅可比迭代法和高斯一赛德尔迭代法是否收敛？解：122A111,221令1 12 2那么 301230 ,所以 p (Bj)=0<1所以雅可比迭代法收敛 而2 221 0(2)010,232,2 2所以 p (Bg-s)=2>1所以高斯一赛德尔迭代法发散。-、根本计算与根本算法(一)秦九韶算法秦九韶算法是一种求多项式的值的计算方法。对任意给定的x

12、，计算代数多项式 的值，可以利用下面的方法计算:Pn(X) anXnn 1 Ian 1X La1xa0Pn(x) (L (anX an1)x an 2)x Lajx a。这种算法就是著名的秦九韶算法。是我国宋朝伟大的数学家秦九韶的伟大发现。 秦九韶算法可以写成递推的形式：sn anSk xSk 1 ak (k n 1,L 2,1,0)Pn(x) S0具体计算式，递推格式是采用如下表格形式进行计算:akXSk ianan i an 2an 3 LQia。xsn xsn 12 Lx& xs， x$SkakxSk1Sn( an)Sn1sn2Sn3 LESS。根据递推规那么，计算的过程是要把横

13、线上面每一竖列的两个数相加得横线下 的数。其中ak由多项式给出，而每一个xsk+i那么由前一列中的Sk+i与数x相 乘得出。所以可以由最前一列逐步递推计算出最后结果。例2. 1 :用秦九韶算法计算多项式76432px x 2x 3x 4x x 6x 1 在x=2处的值p2。解：将所给多项式的系数按降幕排列，缺项系数为012 03416122006410810032549计算过程如下： S7 = a7= 1 o x. S7= 2o ss=a6+xs7=-2+2=0 竖向相加 重复以上过程。S0= 一 1 一 8 一 9 o所以，p2 9o二有效的根本算法所谓有效的根本算法是指，根据算法设计的原那

14、么，设计出的一些求值计算的根本算法，这些算法防止了两个相近的数相减、较小的数作除数等使得计算误差增大的问题，减少了计算次数，通过调整计算顺序防止了大数吃小数例2. 2:指出以下各题的合理计算途径对给出具体数据的，请算出结果1 1 cos1 ° 三角函数值取四位有效数字2 ln30302 1对数函数值取六位有效数字3 1 cosx 其中x的绝对值很小sin x45127x100 /1n 1 n(n 1)x解：1 1 cosx 2sin 2,sin0.5°0.0087330, 302 11 0.01667,30302 1ln(30,302 1)1 cosx sin x4.094

15、14sin x 1 cosx12724816x = x X X X X由小到大依次相加。100鼻100/亠(丄n 1 n(n 1) n 1 ntan23264X X丄)1 100n 1101101注意：能求出值来的求值。三数值分析的根底计算1、矩阵分解主要包括LU分解和乔累斯基分解。矩阵的手算分解就是应用矩阵乘法。注意1 注意分解式的格式2 分解计算要认真。3注意分解的顺序。先求U的第一行，再求L的第一列矩阵的LU分解中，L是单位下三角阵，U为上三角阵，即ln1 ln2 L 11 U12Lu1nU22LU2nOMUnn注意L的对角线元素都是1乔累斯基分解的结构是A=PTP注意:1 矩阵A是对称

16、正定矩阵，那么分解前必须声明“矩阵A是对称正定矩 阵，可以进行乔累斯基分解。2 P是上三角矩阵。例2. 3:设有矩阵作矩阵A的LU分解设4 310 UnU22解：对矩阵2 1 l2110先计算U的第一行，由矩阵乘法，有Q a114 1 u11+0 0u114Q a123=1 u12+° u22U123再计算L的第一列，由矩阵乘法，有Q a?12l21U1110/ 1a?1 / u12然后计算U的第2行Q a 221l21u121 u221c1u22a22l21u121-322所以1 043L1,U1-10222、求范数和条件数1常用的向量范数有n I x|1Xii 1n 2 1 |x

17、2 ( X )2i 1 | X max Xji2 常用的矩阵范数有n 矩阵的1范数(列范数)：| Ah max aj ;j i 11 矩阵的2 范数(谱范数)：| A|2(AtA)2;其中(B) max j(B)称为矩阵B的谱半径。入(B)是矩阵B的特征值。in 矩阵的x 范数(行范数)：| Amax aiji j imax为i3 矩阵A的条件数为con d(A)例2. 4:计算向量x (1, 2,4)t的各种范数解：X1 1 2 4 7,X2 一厂(2厂42 .21 ,x maxZA 4。例2. 5:给定矩阵求 A1,A2,A。解：因为 a11 a214, a12 a?26,所以Ai 6 ;

18、因为 aii3123, a2ia227,所以A 7 ；因为A A10 1010 20所以AtA的特征多项式为：10 10 22 30100 ,10 20解 2 301000 得115 5 5, 2 15 5 5。所以 A 215 5.5。3、求差分和差商求差商和差分应用差商表和差分表进行差商表如下:Xkf(Xk )一阶差商二阶差商三阶差商X0f(xo )fX 0 ,X1 X1f(X1 )fX 0 ,X1 ,X2 fX 1 ,X2 fX 0 ,X1 ,X2 ,X 3 X2f(X2 )fX 1 ,X2 ,X 3 fX 2 ,X 3 X3f(X 3)差分表如下:Xkyk一阶差分二阶差分三阶差分X0y

19、o y0X1y1 2 y0 y1 3y0X2y2 2y1 y2X3y3三、数值计算与数值分析一插值与拟合方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、等距节点插值、分段插值、保形插值埃尔 米特插值、样条插值等插值方法和最小二乘法。1插值方法1拉格朗日插值多项式有两种求法，第一种是待定系数法，第二种是直接 利用拉格朗日插值多项式的基函数法。建议应用待定系数法。例3.1:函数fx在节点一1,0,1处的值分别是0.3679,1.000,2.7182,用待定系数法和插值基函数法两种方法求出拉格朗日插值。解1:设所求的多项式为P2Xa。a1X a?x2，把条件代入得a 4(1) a2(1)20.3679a(0)a22

20、(0) 1.000a 4(1) a2(1)22.7182解之得a0 1,a1 1.751, a20.5431所以p2(x)1 1.1751x 0.5431X2解2:由插值基函数公式n(x Xk)k 0li (x) ¥(x xk)k 0k i(X0)( x1)(10)( 11)X(1)(x1)0(1)(01)x(1)(x0)1(1)(10)I°(x)h(x)12(X)x(x 1)2(x 1)(x 1)x(x 1)2代入插值公式得p2(x)O.3679l0(x) 1.000l1(x)2.7182l2(x)2P2(x)1 1.1751x 0.5431x 。(2) 牛顿插值和等距节

21、点插值在求出差商或差分后直接套插值公式。(3) 构造埃尔米特插值仍然采用待定系数法和基函数法。例3. 2:f(0)0, f(1) 1,f (0)3, f (1) 9，求三次的埃尔米特插值多2ax a2Xc23asX ,a3x3，那么项式H(x)。解：设 H(x) a。H (x) a1 2a2x由插值条件得3 H (0)a11 H(1) a。 a1a?a39 H (1) a 2a2 3a3解之得 a° 0,a 3,a212, a3 10 ,所以 H(x) 10x3 12x2 3x。例3. 3:设f(x)在-4,4有连续的4阶导数，且f(0)2, f (0)0, f (3)1,f (3)

22、1试用两种方法构造三次埃尔米特插值多项式 H(x)，使其满足p(0)f(0)2, p (0) f (0)解一(待定系数法)： 解：设 H (x) a0H (x) a1 2a2x由插值条件得22a1x a2x3a3X2，0, p(3)f(3)1,p(3) f (3)1。a3X3 ，那么H(0)H (0)H(1)H (1)a°a解之得a0所以H (x)a° a1a1 2a2 3a322,a1 0,a2-,a335322x x 2。273a2a3527，解二(基函数法)：解：设 H3(x) f(Xo) 0(x) f(Xi) i(x) f (Xo) 0(x) f (xj !(x),

23、因为线性拉格朗日插值基函数为l0(x)xx-1Xo xXXoh(X)Xi Xoo(x)i2(xi2(xXo)Xoi2(xo)oi279x22x327同理2(xi(x)iXo由得o(x)(xXo)i(x)(xXi)-那么532H(x)X273由得指出:XiXoXo)lo(x)XoXiX xi - i XiXoXi3Xi)Xo9x2 2x3XiXiXo272XX-IXoXiXXox22x33x2待定系数法是求插值多项式的根本方法，而埃尔米特插值的基函数法构造方 法及其余项分析方法是非标准插值构造及余项讨论的一般方法。(4) 样条插值根据边界条件不同求解不同的方程组解决。(5) 各种标准插值都有分段

24、插值，分段插值的精度仅受局部数据影响。 非标准插值是重要的插值问题。非标准插值在一些论著中归为埃尔米特插值。例3. 4:设f(x)在-4,4有连续的4阶导数，且f( i) ig 2, f(o)o, f (3) i,f (3) i(i)试构造一个次数最低的插值多项式p(x)，使其满足p( 1) f( 1)1,P(0)f(0)2,p(0) f (0)0,p(3)f(3)1,p(3)f(3)1给出并证明余项f(x)-p(x) 解：(1)由例3. 3可以求出满足 p(0)f(0)2, p (0) f (0)的三次埃尔米特插值多项式H (x) x3 2x2 2 0273的表达式。0, P(3)f(3)1

25、,p(3) f (3)1设 p(x) H (x) a(x3)2x2p(0) 由f( 27(所以f(0)2, p (0)1) 1得3 (1)23f (0)53x270, p(3)f(3)a(x 3)2x2，那么 p(x)满足1,p(3) f (3)1,p(x)1)3a(1 3)2( 1)21108，H(x) a(x3)2x25 3x273)2x20413 3x x10854(2)余项具有如下结构 r(x) f(x) p(x) k(x)(x 作辅助函数2 2(t) f (t) p(t) k(x)(t 1)t (t 3) 那么显然在点x,(x) 0,( 不妨假设x 由罗尔定理， 使得(1)1)x2(

26、x 3)21) 0,(1,0)存在0,(1,0,3处有6个零点0, (3) 0,(3) 0，(其中0,3是二重零点)，即(0)1(2)0,0, (0)1,x),(0 ,再注意到 (0)0, (3)再次由罗尔定理得，存在1 使得(1)0,( 2)0,(第三次应用罗尔定理得，存在23)即(3 )使得(1)0,( 2) 0,(第四次应用罗尔定理得，存在 使得(4)( 1)0, (4)( 2) 0，第五次应用罗尔定理得，存在 使得(5)( ) 0 注意到(5) (t)13)(x,0), 3(0,3)，0，(t)有5个互异的零点(4)2),1, 1), 20,(1,0，(1,1,(5)r(5)(t)5!

27、k(x) f(5)(t)5!k(x)2),2)2,0),02(2,2,1(0, 3),3),3(r(t) f (t) p(t)中p(t)是4次函数，其5次导数为0)033(3,3)，4)所以()f(5)( ) 5!k(x)=0k(x)=丄5!，代入余项表达式，有f(5)( )22r(x) f (x) p(x)(x 1)x (x 3) o5!指出：此题是非标准插值问题，所谓非标准插值是指不同于拉格朗日插值等条件规 范、插值多项式已有现成结论的插值。比拟简单的求解方法有： 求插值问题的根本方法是待定系数法。以此题来说，有 5个条件，可以确 定一个4次的插值多项式，设为y ao aix a?x2 a

28、sx3 asx3，将条件代入，建 立一个5元的线性方程组，求出各参数，就可以求出插值多项式。 求插值问题的第二种方法是基函数法，即根据给定条件设定插值多项式的 结构和各基函数的结构，根据条件确定基函数即可。具体方法与拉格朗日插值基 函数构造和埃尔米特插值基函数构造相似。 以标准插值为根底的方法是一种更简单的方法，此题中，首先利用 4个条 件构造一个埃尔米特插值，在此根底上设定所求插值多项式的一般形式， 保证其 满足埃尔米特插值条件，代入未利用条件解方程(组)，求出其中的未知参数，即可求出插值多项式。在构造新的插值多项式中，要求新的插值多项式仍然以H(x)的插值节点为节 点，那么可以写成p(x)

29、 H (x) g(x)的形式，因为p(0) H (0)2, p (0) H (0)0, p(3)H(3)1,p (3) H (3)1，所以必有 g(0) g (0)g(3) g (3)0因此0, 3是g(x)的两个2次零点，贝U g(x)包含(x 3)2x2因子。又因为多项式p(x)是4次的，g(x)也应该是4次的，所以可以设g(x)为2 2g(x) a(x 3) x o此题也可以先利用 p( 1) f( 1) 1,p(0) f(0) 2, p(3) f(3) 1构造一 个2次插值多项式P2(x)，以此为根底构造4次插值多项式P4(x)， p4(x)的结构 是P4(x)P2(x) (ax b)

30、(x 1)x(x 3)，满足P( 1) f( 1)1, P(0)f(0) 2, p(3) f(3) 1再根据P (0) f (0) 0, P f (3)1列出两个线性方程组成的方程组，求出a、b两个参数，即可求出所求的插值多项式。求插值函数余项r(x)的常用方法是：r(x) f(x) p(x)应具有如下形式(以此题为例)2 2r(x) f (x) p(x) k(x)(x 1)x (x 3)作辅助函数(t) f (t) p(t) k(x)(t 1)t2(t3)2那么t在点x, 1,0,3处有6个零点其中0, 3是二重零点。反复应用罗f ()5!k(x)=0k(x)=(5)()5!0。此时即有尔定

31、理，直到至少有一个 4,4，使得5代入余项表达式即可求出这里，作辅助函数的方法和中值定理讨论中作辅助函数方法一样。指出：插值公式的构造方法主要就是待定系数法和基函数法，埃尔米特插值这两种方法的构造与余项讨论都非常充分，是重要内容。不仅应该能构造典型的插值公式，还要能构造一般的具有特定条件的插值公用待定系数法构造埃尔米特插值等各种插值的方法也是必须掌握的。7推广的牛顿插值法埃尔米特插值广泛意义上的也可以用构造差商表的方法求出，尤其是 插值条件中出现了高阶导数的情况，利用构造差商表的方法按牛顿插值多项式求 埃尔米特插值很方便。具体做法如下：1把具有一阶导数的节点看成2重节点即2个数据节点，具有2阶

32、 导数的节点看作3重节点，以此类推。2用公式1f1*2L43xi nZxn 1计算n+1个相同节点的差商。3求出相同节点处的差商后按正常的差商表计算方法求差商表。4按牛顿插值多项式写法求出埃尔米特插值。这种方法称为推广的牛顿插值法。例3.5 :函数y=fx的函数值、导数值如下表：Xiyiyiyi-100-4061-25利用所给条件构造fx的埃尔米特插值多项式解：由公式f伯2L40i 9%)n 1得1f0,0 - f (0) 0 1!f0,0,01 f (0)-32! 21f1,1 -f (1) 51!得差商表为Xif (Xi)一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商五阶差商-10-40-440-10-

33、4300-110-422211-2351-2所以，5次埃尔米特插值多项式为2 2H5(x)4(x 1) 4(x 1)x (x 1)x (x 1)x (x 1)。2、拟合方法最小二乘法是重要的数据拟合方法。其求解过程为：1 分析数据，将数据描画在坐标纸上，得到一个散点图，从图上可 以直观地看出数据的变化趋势。2 建立数学模型。根据上述分析，确定拟合函数的类型。3 应用最小二乘法，确定拟合函数中的未知参数。4 写出拟合函数。例3. 6:给定一组实验数据如下表X2468y1.12.84.97.2求x、y的函数关系。解：先做出草图，从图上可以看出，这些点的分布接近于一条直线设 y=a+bx，贝U42L

34、 (a bxi) yii 1对a、Lb分别求偏导，并令偏导数等于0,得42(a bxi) yi0i 1(ai 1bxi)yi o4Xii 142(ai 14a b4yi 0i 1bxj yJXj0(ai 14aXii 1bxi)yix2Xixi yi0i 1将数据代入得4a ba (2化简得a 5b(246 8)8) (1.1 2.8 4.9 7.2) 0b (22 42 62 82) (2 1.1 4 2.8 6 4.9 8 7.2) 020a 120b 100.4 0解之得a 1.1b 1.02那么x与y的函数关系是y=-1.1+1.02x。例3.7 :给定数据表x-21012y0. 10

35、.10.40.91.6用两种方法求其二次拟合曲线。解一：设所求的拟合函数为y a bx cx2，5那么 L (a bxi cx2) yi2。对a、L2bXi cx ) y 0b、c分别求偏导，并令偏导数等于0,得52(a(a b<i 155a bXii 152(ai 12、CXi )bxiyj2Xi2、cx )yi 0yXi(ai 15Xi152(ai 1yXi2XibXi2、 cx )Yi Xi2X%0(ai 152a Xii 1CX23XiYiX24 Xi2Xi Yi0将各数据点的数值代入,5a 10c 2.9i 1得方程组为i 110b4.210a 34c7解之得 a=0.4086

36、, b=0.42，c=0.0857，所以数据点所反映的函数的近似关系为2y 0.40860.42x 0.0857x解二：设所求的拟合函数为y a bx cx2， 将数据代入方程得a 2b 4c 0.1a b c 0.1a 0.4a b c 0.9a 2b 4c 1.6方程组的系数矩阵和右端向量为1240.11110.1A 100,B0.41110.91241.6因为1 241111 11 115010ata2101 21 0001004101 41 11100341 240.11111 10.12.9atb2101 20.44.24101 40.971.6所以5010a2.90 1C1 0b4

37、.210 034c7解之得a=0.4086,b=0。42, c=0.0857,所以数据点所反映的函数的近似关系为2例3. &试验数据x1925313844y19. 032. 349. 073. 397. 8y 0.40860.42x 0.0857x指出：解二依据的结论是：定理：x*是超定方程组Ax=b的最小二乘解的充分必要条件是 x*是方程组 A Ax ATb 的解。即 x (AtA) 1 ATb。用最小二乘法求形如y a bx2的经验公式，并计算均方误差。 解：设y a bx2那么5L (a bx2) yi2对a、b分别求偏导，并令偏导数等于0，得L 52(a b#)a i i5(a

38、i 1yi05a bbx2)yj52Xii 152(a bx2)yk205yii 1Lb i 15(ai 152axii 1将数据代入得2 25a b (1925a (192252 312312 49.0 382 73.3bx2)yjx24 Xi2Xii 1312382yi02 23844 ) (19.0 32.3 49.0 73.3 97.8) 0442) b (194 254 314 384 444) (192 19.0 252 32.3442 97.8) 0化简得5a 5327b 271.4 05327a 7277699b 369321.5 0第二个方程减去第一个方程乘以1065进一步化

39、简得5a 5327b 271.4 02a 1604444b 80279.5 0解之得a 1.01b 0.05那么x与y的函数关系是丫=1.01+0.05/。此时，平方逼近误差为52 2L (a bxj yi0.017i 1所以,均方误差为0.0170.13。指出：均方误差实际上就是按最小二乘法那么确定的残差。例3. 9:用最小二乘法求方程组2x4y113x5y3x2y6x2y14的近似解。分析：这是方程个数多于未知数个数的超定方程组，是矛盾方程组，用最小乘法求解。aiX by Ci，那么0,得解：设方程组中各个方程的一般形式为42L (ax biy) Cii 1y分别求偏导，并令偏导数等于42

40、(aiX by) Gkii 1gxi 142x aii 1L 4by) caj 04yaibii 14aiCii 12gx by)y i 14gxi 14x aibii 1将数据代入得15x 3y 51 03x 49y 69 0解之得x 3.727by)cb 0b24biCi 1y 1.636指出：最小二乘法需要记住的是根本原理。n第一，残差表达式L (xj y2i 1第二，对残差求偏导数，使每一个偏导数都等于0,列方程组第三，解方程组，求出a,b,第四，写出拟合函数。(二) 解非线性方程的方法非线性方程的数值求解问题包括如下根本问题： 判断方程根的个数，求隔根区间判断方程f(x)二0有几个根

41、并求隔根区间的方法过程是：(a) 求函数y=f(x)的导函数y/ =f/(x)。(b) 令f/(x) = 0，用零点将函数定义域分成几个不同的区间，确定函数在各区间上的单调性。(c) 求出函数在区间端点上的值，判断函数值是否发生变号，排除不存在根的 区间。(d) 确定根的个数和隔根区间。例3. 10:判断方程2x3-3x2-12x+25=0有几个实根，并求出其隔根区间。 解：令 y=2x3-3x2-12x+25,y/=6x2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x+1)(x-2)当=0时，有x=-1，x=2，而且函数没有不可导点。显然，当 x v-1 时，x+1v 0，x-2 v 0,所以，y

42、/=6(x+1)(x-2) >0，同理可以 判断出在其他几个区间上导数的符号。 进一步可以得导函数在每一个区间上的单 调性。列表如下：x(4 ,-1)-1(-1,2)2(2,+ m )/y+0一0+y5 - y(-1)=32 >0，y(2)=5>0，在区间(-1,2)上方程无根。又 y(2)=5>0,函数在(2,+ 上又是单调增的，函数值不可能再变号, 在区间(2,+上方程也没有根。函数在(一一1) 上单调， 方程在该区间上最多有一个根。而 y( 2) = 21>0, y(-3)=-20v0,方程在区间(一3, 2)内有一个根，区间(一3, 2)是方程的隔根区间。

43、所以方程2x3-3x2-12x+25=0有一个根，隔根区间为(3， 2)。 用二分法求根的初始近似值 用二分法求根的初始近似值要注意两个问题，第一是要进行确定二分的次数。在二分法中，Xn乩卫1,2,3丄。2如果bn务 b an 22n这里&为预定的精确度，知道了&就可以求出n来。而第二个问题就是每一步都要进行函数值符号的判定例3. 11:用二分法求方程f(x)=x3-x-仁0在区间(1，1.5)内的实根，要求 误差不超过0.005。解：因为f(1) V0, f(1.5) >0,所以，方程在区间(1，1.5) 上有根0.005bn an b a 1.5 10.51x* x

44、八八n小jj 12 2 2 2 2 有，2n+1 > 200, 2n > 100。又因为 27= 128> 100所以n = 7,即只需要二分7次即可列表讨论如下:nanbnXnf(Xn)的符号11.01.51.25一21.251.51.375+31.251.3751.31341.3131.3751.344+51.3131.3441.329+61.3131.3291.321一71.3211.3291.325+x* 艮=1.325。 用切线法(Newton法)解方程求解方程f(x)=O的切线法迭代格式为f (Xk)IXk 1 Xk-(k 0,1,2,L )f (Xk)例3. 1

45、2:用切线法求方程x=e-X在x=0.5附近的根。解：首先将方程X=e-X改写为xeX 1= 0,于是有f(x)=xeX 1,相应的迭代公式为兀 eXkXk 1 Xk 1 Xk取xo=O.5为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下：k0123Xk0.50.571020.567160.56714所以，方程的近似根为x* X30.56714。指出：一般地，当满足预定精度的有效数字全都相同时，就可以终止计算过程，输 出结果。 用切线法求算术根 对于给定的正数C,应用切线法解二次方程x2-c = 0可以导出求开方值.C的计算程序Xk 1Xk可以证明，这种迭代公式对于任意的初值都是收敛的 例3. 13:计

46、算115的算术平方根。解：取初值X0=10,对于c=115利用迭代3次，得k01234Xk1010.75000010.72383710.72380510.723805所以 115的算术平方根的近似值为115 x4=10.723805 用割线法解方程割线法的迭代公式为:Xk 1Xkf (Xk)f (Xk) f (Xk 1)(XkXk I)(k1,2,L )例3. 14 :用割线法求方程X3 3x 1 0在初始值Xo 2邻近的实根(取 Xi 1.9，要求精确到10 3 )。解：因为x3 3x 10所以有f (x) x3 3x 1，相应的迭代公式为f(Xk)/、Xk 1 Xk(Xk Xk 1)f (Xk) f (Xk 1)取X0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下:kXkXk-