影院座位设计

1、影院座位设计摘要 本文研究了电影院座位设计问题， 由于座位的满意程度主要取决 于视角 和仰角 ，我们建立了满意程度的数学模型，并进行最优求 解。问题一，首先利用了加权平均数建立满意度随座位与屏幕距离的 变化而变化的模型，并利用 matlab 软件对该函数进行分析，结果当 座位在最后一排时，观众的满意度最大。问题二，在问题一的模型的根底上，将 角也定为变量，建立满 意程度随座位与屏幕距离和 角的变化而变化的模型，再对变量 x 求 相应区间的定积分，从而可以得到平均满意度随 角变化的模型，再 用 matlab 软件分析模型，求得当 =20 时，平均满意度最大。关键词：加权平均数 满意度函数 定积分

2、一、 问题重述影院座位的满意程度主要取决于视角 和仰角 。视角 是观众眼 睛到屏幕上、下边缘视线的夹角， 越大越好；仰角 是观众眼睛到 屏幕上边缘视线与水平线的夹角， 太大是人的头部过分上仰，引起 不舒适感，一般要求 不超过 30 .记影院屏幕高h,上边缘距地面高H，地板线倾角，第一排和最 后一排座位与屏幕水平距离分别为 d和D，观众平均坐高为c指眼 睛到地面的距离。参数， H=5m， D=19m ， 。1) 地板线倾角 =10 ，问最正确作为在什么地方？2) 求地板线倾角 一般不超过 20 ，使所有观众平均满意 度最大。二、 问题的分析 根据观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角 和仰角

3、 越大越好， 越小越好，最正确位置 就是在这两者之间找一个平衡 点，使观众的综合满意度最大。既然 >30 不可防止，那么在建立模 型时，必须将 与 同时考虑。于是本文通过对 与 分别设立权重， 建立适当的坐标系，从而形成一个线性的满意度函数。对于问题一，地板线倾角，求最正确座位所在，即将问题转 化为求综合满意度函数的最大值，用 matlab 软件做出综合满意度图 像，在进行求解。对于第二问，将所有的座位想像为一个个连续的点，此时，综合 满意度为关于 x 与 的二元函数，先对 x 求所在区间的积分，从而求图 1 所示：出其在所有位置上的平均满意度，再利用 matlab 做出平均满意度关于

4、的函数的图形，从而可进行直观求解三、模型假设1.忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；2.观众对座位的仰角的正切值的满意程度呈线性；3.观众对座位的水平视角的正切值呈线性；4.所有的观众的座位等高，且为平均坐高。四、符号说明视角仰角地板线与水平线的倾角D最后一排离屏幕的水平距离d第一排离屏幕的水平距离h屏幕的高度H屏幕上边缘离地面的高度P主观给定 的权重P主观给定 的权重五、模型的建立1、问题一以第一排观众的眼睛为原点，建立直角坐标系如其中，AB为屏幕，MS为地板线，0E为所有的观众的眼睛所在 的直线。那么由图可设视觉线 0E上任意一点P的坐标为x,xtan， 屏幕上下点的坐标分别为 A-

5、d,H-c，B(-d,H-h-c), PA的斜率记为 kPA, PB的斜率记为kPB。那么直线PA与PB的斜率分别为?=?+? + ? ?+ ?尸?+ ? ?+ ?ta n? ?1 + ?(?+ ?)(?+ ?) +(?-?+ ?)(?-?+? ? + ?) / / /?- ? ?tan萨-?=?+ ?30?°?tan(30 ° -9=1+ ?30 ° ?由我们假设的模型可知，满意度 S的表达式为:S = ?tan (30 - B)这里主观设定P =P，再对S关于x的函数分析可得到其在其定义域 上的最大值，即所求。2、问题二 如上文建立坐标系，将 角设为变量，可得

6、此时满意度?= ?tan(30 ° ®再对S1求其x 0,D-d上的定积分得到总的观众满意度，再除以D-d得到平均满意度S2,即：?-?r ?=.J0 1?-?那么得到的S2是关于 的函数，再对该函数进行分析，得到最大值及满足条件的六、模型求解1、 问题一 运用matlab软件对上面的S函数作图见附录二，如图2所示:图2由上图知，当时，观众的满意度最大，即对于我们所建立的模型，最后一排的满意度最大。2、 问题二运用matlab软件求出上述 L函数，在对L作图见附录三，如图3所示：图3由图可知，观众的平均满意度 S2随增大而增大，故当=20时，观 众的平均满意度最大。七、 附

7、录附录一 参考资料1、 郑阿奇 曹弋 ? MATLAB 实用教程?第三版2、 王正林 刘明 ?精通 MATLAB ?升级版3、 吴礼斌 闫云侠 ?经济数学与建模? 附录二 问题一的 matlab 语言x=0:0.05:14.5;y1=(1.8*(x+4.5)./(x+4.5).A2-(x*ta n(pi/18)-5+1.1).*(x*ta n(pi/18)-5+1 .8+1.1);y2=(5-1.1-x*tan(pi/18)./(x+4.5);y3=(tan(pi/6)-(5-1.1-x*tan(pi/18)./(x+4.5)./(1+tan(pi/6)*(5-1.1-x*t an(pi/18)./(x+4.5);y=0.5*y1+0.5*y3;plot(x,y)附录三 问题二的 matlab 语言x=linspace(0,14.5,300);t=linspace(0,pi/9,300);y1=(1.8*(x+4.5)./(x+4.5).A2-(x.*ta n( t)-5+1.1).*(x.*ta n( t)-5+1.8+1.1 );y2=(5-1.1-x.*tan(t)./(x+4.5);y3=(tan(pi/6)-y2)./(1-tan(pi/6)*y2);y=0.5*y1+0.5*y