人教版高中数学选修（2-1）-3.2《立体几何中的向量方法（第3课时）》教学课件1

1、3.2 3.2 利用向量解决利用向量解决空间角问题空间角问题 空间向量的引入为代数方法处理立体几何空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决空间角问题。间角问题。123( ,)aa a a1.若，123(

2、 ,),bb b b则：数量积：数量积： a b 1 1223 3aba ba b夹角公式：夹角公式： cosa b 111222( ,), (,)A x y zB xyz2.若，则：212121(,)xx yy zzAB | |a bab 1 12 23 3222222123123aba ba baaabbb| | cos,aba b异面直线所成角的范围：异面直线所成角的范围： 0,2ABCD1D,CD AB 与 的关系？思考：思考：,DC AB 与 的关系？结论：结论：coscos,CD AB |题型一：线线角题型一：线线角例一：例一：090 ,Rt ABCBCAABC中，现将沿着111A

3、BCABC平面的法向量平移到位置，已知1BCCACC，111111ABACDF取、的中点、 ，11BDAF求与所成的角的余弦值.A1AB1BC1C1D1F题型一：线线角题型一：线线角解：以点解：以点C C为坐标原点建立空间直角坐标系为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设如图所示，设 则：则： CxyzA1AB1BC1C1D1Fxyz11CC (1,0,0), (0,1,0),AB1111 1( ,0, ),( ,1)22 2Fa D所以：所以：11(,0,1),2AF 111( ,1)22BD 11cos,AF BD 1111|AF BDAFBD 11304105342题型一：线线角题型一

4、：线线角练习：练习：题型一：线线角题型一：线线角在长方体在长方体 中，中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(5,2,4),AM 1(0,8, 4),AD 10AM AD 1.ADAM1(0,0,4),A(0,8,0),D(5,2,4)M直线与平面所成角的范围：直线与平面所成角的范围： 0,2ABO, n BA 与 的关系？思考：思考：n结论：结论：sincos, n AB |题型二：线面角题型二：线面角直线直线ABAB与

5、平面与平面所成的角所成的角可可看成是向量与平面看成是向量与平面的法向量所成的锐角的法向量所成的锐角的余角，所以有的余角，所以有 nABnABnAB,cossin题型二：线面角题型二：线面角ABCD1A1B1C1DMNxyz(0,0,0),A(0,8,0),AD 1(0,8, 4),AD ADANM（2）求与平面所成的角.1(0,0,4),A(0,8,0),D1cos,AD AD 2 55例二：例二： 在长方体在长方体 中，中，1111ABCDABC D58,ABAD = ，14,AA 1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，1.ADAN1.ADAM(1)求证：练习：练习：1

6、111ABCDABC D的棱长为的棱长为1.111.B CAB C求与 面所 成 的 角题型二：线面角题型二：线面角正方体正方体ABCD1A1B1C1D题型三：二面角题型三：二面角二面角的范围：二面角的范围：0, 1n2n 2n 1ncos12|cos,|n n cos12|cos,|n n ABO关键：观察二面角的范围关键：观察二面角的范围,1,1,2.AABCD SAABBCADSCDSBA0例三如所示， ABC D 是一直角梯形， ABC =90S平面求面与面所成二面角的余弦值ABCDSxyz解： 建立空直角坐系A-xyz如所示,A( 0, 0, 0) ,11(1,0),(0,1)22CDSD C ( -1, 1, 0) ,1,0),2D ( 0,(0,0,1)S11(0,0)2SBAnAD易知面的法向量设平面2( , , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD 由得：0202yxyz22yxyz2(1,2,1)n 任取1212126cos,3|n nn nnn 63即所求二面角得余弦值是1.1.异面直线所成角：异面直线所成角： coscos,CD AB |2.2.直线与平面所