线性代数习题六章

1、第六章线性空间与线性变换1验证:(1) 2 阶矩阵的全体 S1 ;(2) 主对角线上的元和等于 0 的 2 阶矩阵的全体 S2 ;(3)2 阶对称矩阵的全体 S3 .对于矩阵的加法和乘数运算线性空间，并写出各个空间的一个基解 （1）设 A, B 分别为二阶矩阵，则 A, B S1 显然( A + B) S1 , kA S1 ，从而对于矩阵的加法和乘数运算线性空间 10 01 00 00e 1 = 0 e= 0 e= 1 e= 0 是 S 的一个基.23410001 - a - db e (2)设 A = ， B = dA, B S2cafc + b - (a + d ) - kakb A +

2、B = S ， kA = S .22c + aa + dkcka 1 01 000e 1 = 0 e= e= 是一个基0123- 100(3)设 A, B S3 ，则 A = A, B = BTT( A+ B)T= AT + BT= A + B ，从而( A + B) S3(kA)T = k AT = kA ,故kA S ，所以对于加法和乘数运算3间.线性空 10 01 00e 1 = 0 e= 1 e= 0 是 S 的一个基.2330012验证：与向量(0,0,1)T 不平行的全体 3 维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不线性空间解 设V = 与向量(0,0,1)不平行的全体三维向量，

3、设r = (1,1,0) ,1r2 = (-1,0,1)，则r1 , r2 V 但r1 + r2 = (0,0,1) V 即V 不是线性空间.3设U 是线性空间V 的一个子空间，试证：若U 与V 的维数相等，则U = V .证明 设e1e 2 Le r 为U 的一组基，它可扩充为整个空间V 的一个基， 由1于dim(U ) = dim(V ) 从而e1e 2 Le r 也为V 的一个基，则：对于 x V 可以表示为 x = k1e1 + k2e 2 + L + kr e r 显然， x U ，故V U ，而由已知知U V ，有U = V 4设Vr 是n 维线性空间Vn 的一个子空间， a1 ,

4、Lar 是Vr 的一个基试证： Vn 中存在元素ar +1 ,Lan ，使a1 , a2 ,Lar , ar +1 , ,Lan 成为Vn 的一个基设r n ,则在Vn 中必存在一向量ar +1 Vr ，它不能被a1 , a2 ,Lar证明线性表示，将ar +1 添加进来，则a1 , a2 , a3 ,Lar +1 是线性无关的若r + 1 = n ，则命题得证，否则存在ar +2 L(a1 , a2 ,L, ar +1 ) 则a1 , a2 ,L, ar +2 线性无关，依此类推，可找到n 个线性无关的向量a1 , a2 ,L, an ，它们是Vn 的一个基5在 R3 中求向量a = (3,

5、7,1)T 在基a= (1,3,5)T ,a= (6,3,2)T ，12a= (3,1,0)T 下的坐标3解 e 1 = (1,0,0),e 2= (0,1,0),e 3 = 163231 0(,) =A = 3aaaTTTeeeTTT(,)A123123 5 x1 -x1=-1Ax2 坐标变换公式：2 x x -x3 - 33- x1 6故所求为 x =- 158- 15 - 928x3所求坐标为(33,-82,154)6在 R3 取两个基a1 = (1,2,1) ,a= (2,3,3) ,aTT23b1 = (3,1,4) , b= (5,2,1)TT2= (3,7,1)T试求坐标变换公式

6、设e = (1,0,0)T ,e解a，12) = (,)A ， (b , b , be1 eTTTa,) = (aeeeT(T1,T2TT1,T2T331232 11 32335211其中， A = 27 ， B = 11 11 4- 6 x1 x1 -1坐标变换公式 x=BA x2 ，2 x x 3 3 现求B-1 A3 151212332- 1- 71- 2- 102- 5- 77 0- 41 0- 61 121012125737107 018 99 - 400- 9402804 1- 71 1- 5- 720001319463 - 9- 1111299417101710 -1 AB -2

7、994710所以坐标变换公式为181 1913 x x x7在 R4 中取两个基3e = (1,0,0,0)T ,a= (2,1,-1,1)T ,11a= (0,3,1,0)T ,= (0,1,0,0)T ,= (0,0,1,0)T ,= (0,0,0,1)T ,e22a= (5,3,2,1)T ,e33ea= (6,6,1,3)T . 4 4(1)(2)(3)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵;1x,在( 后一个基下的坐标;求向量求在两个基下有相同坐标的向量.2 3 a 4 解(1)由题意知从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为1 T-1 121 2 051201= 1 - 13 661(2)设

8、向量a 在后一个基下的坐标为( y1 , y2 , y3 , y4 ) 则有x1e1 + x4e= y1a1 + L + y即，1-1 x y - 112113361 1 0 y2 = 0 x2 x 故 y 5 6-13 33 y4 x4 - 33279x12 1 -7 =-26937x-(3)由(2)知4- 27- 909- 3- 2- 12 129120- 3=，9 - 7 x1 1 解方程组得 x2 = k1( k 为常数) x 13 1 x4 x x 8说明 xOy 平面上变换T = 的几何意义，其中Ayy(2) A = 0 - 10 00(1) A = ; ;01 ;01 0110(

9、3) A = (4) A = . - 1 10 - 1 - x x 0 x (1) T = = 解 y 01 y y即与原向量关于 y 轴对称 x 00 x 0 (2) T = = 1 y y y 0即将原向量投影到 y 轴上 x 01 x y (3) T = = y 10 y x 即与原向量关于直线 y = x 对称 x 1 x y0(4) T = = - 1 - x y 0 y p即将原向量顺时针旋转 2一个 n(n + 1) 维线9 n 阶对称矩阵的全体V 对于矩阵的线性运算性2空间.给出n 阶矩阵 P ，以 A 表示V 中的任一元素，变换5T ( A) = PT AP称为合同变换.试证

10、合同变换T 是V 中的线性变换 证明设 A, B V ，则 AT = A, BT = BT ( A + B) = PT ( A + B)P = PT ( A+ B)T P= (A+ B)PT P = ( AP + BP )T P= (PT A + PT B)P = PT AP + PT BP =T ( A) + T (B)T (kA) = PT (kA)P = k PT AP = kT ( A)从而，合同变换T 是V 中的线性变换10函数集合V3 = a = (a2 x+ a1 x + a0 )e| a2 , a1 , a0 R2x3 维线性空间，在V3 中取一个基对于函数的线性运算a1 =

11、x e ，a= xe ，a= e2 xxx23求微分运算 D 在这个基下的矩阵. 解 设b1 = D(a1 ) = 2xe= 2a 2 + a1b 2 =a 2 )(= eD+= a+ a 23b = D(a ) = e x = a133易知： b1 , b2 , b3 线性无关，故为一个基. b1 a1 + 2a 2 a1 由 b = a+ a = PT a 2232 b a a3 33 102100111= 0知 PT 01 10 100110 .故 p = 20 .即 D 在基下的矩阵为 2 01 01112 阶对称矩阵的全体xx21= AV= xx321R3323 维线性空间.在V3 中取一个基对于矩阵的线性运算6 10 01 00A1 = 0 ， A = ， A = 10 .12300在V3 中定义合同变换10 11T ( A) = A1 0 ,11求T 在基 A1 , A2 , A3 下的矩阵.10 10 1111解 T ( A1 ) = 1 00 0 = 11 = A1