全国各地高考模拟函数综合性大题2

1、函数综合性大题21. 函数1求在区间上的最大值2是否存在实数使得的图象与的图象有且只有三个不同的交点？假设存在，求出的取值范围；假设不存在，说明理由。解：1当即时，在上单调递增，当即时，当时，在上单调递减，综上，2函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点。当时，是增函数；当时，是减函数；当时，是增函数；当或时，当充分接近0时，当充分大时，要使的图象与轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须即所以存在实数，使得函数与的图象有且只有三个不同的交点，的取值范围为1. 设函数，其图象在点处的切线的斜率分别为1求证：；2假设函数的递增区间为，求的取值范围；3假

2、设当时k是与无关的常数，恒有，试求k的最小值解：1，由题意及导数的几何意义得， 1， 2 又，可得，即，故 由1得，代入，再由，得， 3 将代入2得，即方程有实根故其判别式得，或， 4 由3，4得； 2由的判别式，知方程有两个不等实根，设为，又由知，为方程的一个实根，那么有根与系数的关系得， 当或时，当时，故函数的递增区间为，由题设知，因此，由知得的取值范围为； 3由，即，即，因为，那么，整理得，设，可以看作是关于的一次函数，由题意对于恒成立， 故 即得或，由题意，故，因此的最小值为2. 函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、 设，试求函数的表达式； 是否存在，使得、与三点共线假设存在

3、，求出的值；假设不存在，请说明理由在的条件下，假设对任意的正整数，在区间内总存在个实数，使得不等式成立，求的最大值 .解：设、两点的横坐标分别为、， ， 切线的方程为：，又切线过点， 有，即， 1 同理，由切线也过点，得2由1、2，可得是方程的两根， * ，把 * 式代入,得,因此，函数的表达式为 当点、与共线时，即，化简，得， 3 把*式代入3，解得存在，使得点、与三点共线，且 易知在区间上为增函数，那么依题意，不等式对一切的正整数恒成立， ，即对一切的正整数恒成立， ，由于为正整数， 又当时，存在，对所有的满足条件因此，的最大值为 3. 二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a0

4、)满足条件:f(x1)=f(3x)且方程f(x)=2x有等根 1求f(x)的解析式；2是否存在实数m，n(mn，使f(x)定义域和值域分别为m,n和4m,4n，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由、解 1方程ax2+bx=2x有等根，=(b2)2=0,得b=2 由f(x1)=f(3x)知此函数图象的对称轴方程为x=1得a=1，故f(x)=x2+2x 6分2f(x)=(x1)2+11，4n1，即n而抛物线y=x2+2x的对称轴为x=1n时，f(x)在m,n上为增函数 假设满足题设条件的m,n存在，那么12分又mn,m=2,n=0，这时定义域为2,0，值域为8,0 由以上知满足条件的m、

5、n存在，m=2,n=0 16分4. 函数，的最小值恰好是方程的三个根，其中1求证：；2设，是函数的两个极值点假设，求函数的解析式.解：1三个函数的最小值依次为，2分由，得 ，故方程的两根是，故，5分，即 7分2依题意是方程的根，故有，且，得由10分 ；得，由1知，故， ， 14分5. 函数(1)假设在上单调递增，求的取值范围； (2)假设定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，那么称函数为区间D上的“凹函数.试证当时，为“凹函数解： (1)由，得 假设函数为上单调增函数，那么在上恒成立 即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立令，上述问题等价于，而为在上的减函数，那么，于是

6、为所求 (2)证明：由 得 而 又， ， 由、得即，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数6. 函数满足对任意，且，都有 1求实数的取值范围；2试讨论函数在区间 上的零点的个数；3对于给定的实数，有一个最小的负数，使得时，都成立，那么当为何值时，最小，并求出的最小值解：1， 4分 又，必有，实数的取值范围是 2分2，由1知： ，所以。 由 ， 当时，总有，0 ， 故时，在上有一个零点； 2分当时， ，即时，在上有两个零点；2分当时，有，0)I当0a1；II是否存在实数a，bab，使得函数y=f(x)的定义域、值域都是a，b，假设存在，那么求出a，b的值，假设不存在，请说明理由III假设存在实数a，

7、ba0，f(x)在0，1上为减函数，在上是增函数由0ab，且f(a)=f(b)，可得 0a13分故，即ab14分 II不存在满足条件的实数a，b假设存在满足条件的实数a，b，使得函数y=的定义域、值域都是a，b，那么a0 而当时，在0，1上为减函数故 即 解得 a=b故此时不存在适合条件的实数a，b6分当时，在上是增函数故 即 此时a，b是方程的根，此方程无实根故此时不存在适合条件的实数a，b8分当，时，由于，而，故此时不存在适合条件的实数a，b 综上可知，不存在适合条件的实数a，b10分III假设存在实数a，ba0，m0 当时，由于f(x)在0，1上是减函数，故此时刻得a,b异号，不符合题意

8、，所以a，b不存在 12分 当，时，由II知0在值域内，值域不可能是ma，mb，所以a，b不存在 故只有14分在上是增函数， 即 所以b是方程的两个根即关于x的方程有两个大于1的实根16分设这两个根为，那么+=，= 即 解得 故m的取值范围是18分11函数（I） 求的值域； II设函数，假设对于任意总存在，使得成立，求实数的取值范围.解：I当时， 在上是增函数，此时 当时， 当时， 在上是增函数，此时 的值域为6 分 II1假设，对于任意，不存在 使得 成立9分2假设当 时， 在-2，2是增函数， 任给， 假设存在，使得成立， 那么12分 14分 3假设，在-2，2是减函数， 16分 综上，实

9、数的取值范围是18分12设函数时，取得极值. 1求的值，并判断是函数的极大值还是极小值； 2当时，函数与的图象有两个公共点，求的取值范围.解：1由题意 2分当时，取得极值，所以 即 5分此时当时，当时，是函数的最小值.8分 2设，那么 ，10分设，令解得或列表如下： _0+函数在和上是增函数，在上是减函数.当时，有极大值；当时，有极小值函数与的图象有两个公共点，函数与的图象有两个公共点 或 13在实数集R上定义运算：xy=x(ay)(aR，a为常数)。假设f(x)=ex，g(x)=e-x+2x2，F(x)=f(x)g(x)。 求F(x)的解析式； 假设F(x)在R上是减函数，求实数a的取值范围

10、； 假设a=3，在F(x)的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？假设存在，求出切线方程；假设不存在，说明理由.解：I由题意，F(x)=f(x) (ag(x)2分=ex(aex2x2)=aex12x2ex.4分 IIF(x)=aex2x2ex4xex=ex(2x2+4xa)，6分 当xR时，F(x)在减函数， F(x)0对于xR恒成立，即 ex(2x2+4xa)0恒成立，8分 ex0，2x2+4xa0恒成立，=168(a) 0，a2.10分 III当a=3时，F(x)= 3ex12x2ex， 设P(x1，y1)，Qx2，y2是F(x)曲线上的任意两点，F(x)= ex(2x2+4x+

11、3) =ex2(x+1)2+10，F(x1)F(x2)= 1 不成立.13分F(x)的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直.14分1,3,514函数 当时有最大值1，假设时,函数的值域为证明：； 假设时，对于给定正实数，有一个最小负数，使得时，恒成立，问为何值时，最小，并求出这个最小值(1)证明:由条件得,即 2分. 5分. 6分(2)解: ,显然,对称轴.8分当即时,且.令,解得.取., 12分当,即时,.且.令,解得,取.,.当且仅当时,取等号.综上:当时,取最小值.16分15设，为常数当时，且为上的奇函数假设，且的最小值为，求的表达式；在的条件下，在上是单调函数，求的取值范围解

12、:由得, 1分假设那么无最小值. 2分欲使取最小值为0,只能使,昨,. 4分得那么,又, 7分又 8分9分(2).得.那么,.12分当,或或时,为单调函数.综上,或. 16分15. 函数在区间，内各有一个极值点I求的最大值；II当时，设函数在点处的切线为，假设在点处穿过函数的图象即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧，求函数的表达式解：I，因为，成等比数列，所以，解得或当时，不符合题意舍去，故II当时，由于，所以又，故当时，上式也成立，所以22解：I因为函数在区间，内分别有一个极值点，所以在，内分别有一个实根，设两实根为，那么，且于是，且当，即，时等号成立故的最大值是16II解

13、法一：由知在点处的切线的方程是，即，因为切线在点处空过的图象，所以在两边附近的函数值异号，那么不是的极值点而，且假设，那么和都是的极值点17设函数是定义在R上的奇函数，且函数的图象在处的切线方程为求的值；假设对任意都有成立，求实数的取值范围；假设对任意都有成立，求实数的取值范围解： 函数是定义在R上的奇函数， 又在处的切线方程为，由 ，且， 得 依题意对任意恒成立， 对任意恒成立， 即 对任意恒成立， 解一：，即 即对任意恒成立，记，其中那么 当时，在上单调递增，当时，在上单调递减， 在上的最大值是，那么； 记，其中那么 所以 在上单调递减， 即在上的最小值是，那么；综合上可得所求实数的取值范

14、围是 解二：设，那么，当时，当时，在上，在单调递减，故，即，没有适合条件的；当时，在上，在单调递增，故，即，没有适合条件的；当时，舍去那么在上单调递增，在上单调递减，故，即，所以；综合上可得所求实数的取值范围是 1 是定义在R上的奇函数，当时，。1求时，的解析式；2问是否存在这样的正数，当时，且的值域为假设存在，求出所有的值，假设不存在，请说明理由.解：1设，那么于是，又为奇函数，所以，即，2分下述三种情况：那么，而当的最大值为1，故此时不可能使， 假设，此时假设，那么的最大值为，得，这与矛盾； 假设，因为时，是减函数，那么于是有考虑到解得综上所述2 集合是满足以下性质的函数的全体：在定义域内

15、存在，使得成立1函数是否属于集合？说明理由；2设函数，求的取值范围；3证明：函数解：1假设，那么在定义域内存在，使得， 方程无解，4分 ， 当时，；当时，由，得。 ，记， ， 函数在上有零点，即存在实数，使，令，那么， ，即 20函数，其中I假设，求的单调区间；II在I的条件下，当时，函数的图象上任意一点的切线斜率恒大于3，求的取值范围；设, 问是否存在实数，使得的图象与的图象有且只有两个不同的交点？假设存在，求出的值；假设不存在，说明理由。解：(I)= 2分当时，有，当变化时，与的变化如下表：100单调递减极小值单调递增极大值单调递减 4分故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递

16、减. 5分由得，即又，所以 6分设，其函数开口向上，由题意知式恒成立， 8分解之得 注：函数开口向上，最大值在端点处取得！又 所以的取值范围为 10分令，那么因为，要使函数与函数有且仅有2个不同的交点，那么函数的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点当时，是增函数；当时，是减函数当时，是增函数有极大值有极小值12分又因为当充分接近0时，；当充分大时，所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须即，或当或时，函数fx与gx的图象有且只有两个不同交点。15分设函数求证： 1； 2函数在区间0，2内至少有一个零点； 3设是函数的两个零点，那么证明：1 又 又2c=3a2b 由3a2c2b 3a3a2

17、b2ba0 2f0=c，f2=4a+2b+c=ac 当c0时，a0，f0=c0且函数fx在区间0，1内至少有一个零点 当c0时，a0 函数fx在区间1，2内至少有一个零点.综合得fx在0，2内至少有一个零点 3x1，x2是函数fx的两个零点那么的两根 22.是定义在上的单调递增函数，对于任意的、 满足，且、满足。1求；2假设=1，解不等式2；3求证：。解：1令m=n=1，由，得-2， -又在上单调递增0x4 2的解集为0，4-3，在上单调递增时，时， 又 -0abab=10a11， = -，考虑到0a1-13.设，对任意实数，记I求函数的单调区间；II求证：当时，对任意正实数成立；有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立