非线性泛函分析试题与答案

1、.名词解释弱收敛，弱*收敛，W0k,PCO，强制，Gateaux可微，Frechet可微，紧映射，正则点，临界点，正则值，临界值,C2映射的Brouwer度，全连续场，全连续场的Leray-Schauder度二.举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。三.求下列函数在(0,0)处沿着(hnh2)方向的G-微分f (x) = C()，(K )(xH k(x,y, (y)dy是全连续算子。六.设X是Banach空间，f :0, ：) X； X连续，对固定的0, ：)， f(t,x)关于x是局部Lipschitz的，并且Lipschitz常数对t在有界区间0,上一致有界，证明：存在 1 0 ,使得下

2、列初值问题在区间0,打上有唯一解dxx(0) = X0七.证明Gronwall不等式：设u,v,w是a,b上的实函数，其中u非负且在a,b上Lebesgue可积，v在a,b上绝对 连续，w在a, b上连续，若它们满足tw(t)乞 v(t)亠 I u(s)w(s)ds, a 岂 t 乞 batt tdvw(t)二v(a)exp( u(s)ds)亠 i exp( u( )d ) dsads八.证明Brouwer度的切除性、Kronecker存在性定理、连通区性质、边界值性质、Poincare-Bohl定理、锐角原理、缺方向性质。九.设f : R Rn Rn连续，关于x是局部Lipschitz的，关

3、于t是T周期的，若存在球Br (0)Rn使得nT周期解x ；：耳(0), t 0,T 时，:f(t,x),xU“ fj(t,x)Xj ：0，证明下列初值问题存在iHfdxdTf(t,x)x(0) = X0十设门Rn是有界闭集，k(x,y,u)是门2 R上的连续函数，并且满足下面的不等式2 |k(x, y,u)|_a b|u|, -(x,y,u) R其中a,b . 0,b mes(j) ：1，证明下列积分方程有连续解(x) = . k(x, y, (y)dy十一.设f : R2 R2定义为f (x,y) =(x3 _3xy2,3x2y _y3)证明 deg(f,B2(0), p) =3，其中 p

4、=(1,0).名词解释弱收敛:定义N2 设X是线性赋范空间.X是它的共牠空间“斗ux口取e x,如果对每个于e x J有hm/tx,） = /Cxa） w则称,弱收敛于弘，记为（弱）Hmz.=尤”或孔-7卜弱*收敛:设C/J UX ,/0 e XJ如果对每个文W X.有 ltm/（x） = /0（x） flhOGF则称冗弱收敛于几，记为（弱 liniA =人或仁二入Wok,P(“)：设心 X我们用（6表示经典的Banach空间*它是由G上所有p次無可积函数的全体所组成，其范数定义为II lb = (是Banach空间，其范数定义为inf sup |w(x) |* 沁甩mo爲定义31 设we是门

5、上的Lebesgue可积函数沱（眄，為Q是乘指数.如果对任何护盘評人有VfAl 口（一 1）2JgJo则称彳是徉的第。次弱导数汽2 =兀如果对所有的重指数叭1时 y j * 孑定理3.2 1）是自反的Banach空间争并且c（n）n wnn）在 附（0）中稠密，其中c（n）表示。中无穷 次可微函数的全体.强制:定义1-4 称泛函仁XfR是强制的是指 lirn /（z） = + oo.H Jf | 8Gateaux 可微:定义2.1 称映射几u丫在heu处沿着h e x方向是 Gateaux可微的，简称沿力方向是G 可微的或弱可微的，如果极 限D/（j:0；A） = lim 心 + 咒沁r0t存

6、在此时，称D/a为/在叭处沿人方向的Gateaux微分，简 称为沿力方向的G 微分或弱微分若/在比处沿任何方向都是 Gateaux可微的，则称f在比处Gateaux可微，简称G可微或弱 可微.Frechet 可微:定义2. 3 称映射/Q - F在 处是Frechet可微的. 简称为F 可微的，或可微的，如果存在有界线性算子A E(X, 丫人使得当人e x.x. + hu时，有/(工。+ ft) /(x0) Ah +,其中 w(j;otA) = 0( | A | 儿即1；m II 3(工0上)II _ n上匕一ith =0-这时，称月为/在6处的Frechet导算子，简称为F 导算子或F 导数

7、，记为*/(x0), V/(x0)或者八孔).紧映射：设X、y为线性赋范空间.定义3.1 设D U X,称映射F：D f V为紧映射，如果F将 D中的任何有界集S映成y中的相对紧集F(s),即丽是Y的 紧集.进一步，如果映射F还是连续的，则称F为紧连续映射，或全 连续映射.正则点：临界点，正则值，临界值：定义11称hWC为/的正则点，如果线性算子f Cr)；Xf y满值;反之，称工为/的临界点.称 y为/的临界值,如果存 在f的临界点xe n使得Ax)=屮反之，称y为f的正则值.C2映射的Brouwer度定义K 2 设0为卍中的有界开集($卅)e RJP住f(曲人定义映射/在C中关于P点的Br

8、ouwer度degSQ p)如下t当P是/的正则值时，让deg (f.Q.p) = 丫 sgnJy(x)；当P是/的临界值时，取九是/的正则值满足,/(aQ)?并让degC/,n,p) = degC/.npy).)艺 sgnJz(x)#疋厂全连续场定义4. 1设工为实线性赋范空间,DUX,如果F：)f X全 连续则称映射/ = id - F为D上的全连续场，或紧连续场.全连续场的Leray-Schauder度定义4. 3设X.是X的有限畢子空间,/WX.,F”：ZJfX.连 续，并且满足*sup | F(z) Fn(x) j| */(af2)则定义全连续场/在0上关于P点的Leray - Sc

9、hauder度hgCf, 。心为deg(/,.O,p) = degt/Q),引理4. 1表明，它与的选择无关.举例说明无穷维空间中的有界闭集不是紧集。(5页)理表明，如果X是无限维线性赋范空间，则X的闭单位球更市 =2 W X丨II工II M 不是相对紧的这一点可以说是无穷维空 间上的分析学所特有的困难.三.求下列函数在（0,0）处沿着（d,h2）方向的G-微分f(xr X； xj (A。0)0,(Xi,X2)=(0,0)例么1 考虑应上的函数H =（K，工 工（0.0）.ox = （OtO）,则/在XO = （0,0）处沿着h = （Aj ,尿）方向的G 微分为h-hDD =犠它关于人是齐次

10、的，但不是线性的.四.证明Poincare不等式：存在常数 C 0使得对任意W =u|u,u Lp（0,T, Rn），有U :： - C U W1，p五.设:：=Rn是有界闭集，k(x,y,u)是门2 R上的连续函数，证明积分算子K:C()C()，(K ：)(x)k(x,y(y)dy是全连续算子。(44页)证明 设”是C(G)中的有界集，则存在常数60,使得对 任何g &有| 创| max|?x) | enxn出韓文):=| | k(xyy)dy 冬 M mtM, V 0 5J a因此,K(B)中的元彖在O上一致有界.为了证明K(B)在C(G) 中相对紧，利用Arzela - Ascoli定理

11、，只要证明K 中的诸函数 具有等度连续性.对任意o由于机工山)在o x n x一“心上一致连续,故存在60,使得当4，帀W C,列一召| V5时，恒有 |i(Xi ,)(工2皿)|V r+ mean * J W S - g于是，当B - x2| vd时,对任何卩 ，有|K侃召一 KpOJI,=I 忑(工1就刀)一J D z:k mes/2 o,使得当x 6 n时，有|%Cr)笆“* n 0 J ,2,对任意0,由从工“川)在OX d X一 6心上的一致连续性知存在$ 0 ,使得当% ,吟W一且I W1 u2 I 时1恒有 kx9yfu2) I E1 + mesf2,(工7)0X2由于珞在C(G

12、)中收敛于,故存在自然数N,使当时片恒有U % % II cn)沢于是|K%(jr) K%a)|W *(% 3) v,(y) dyJ 01 + mes/2 mesjQ &从而，II心0,存在厂0,K（Ho,厂）=K 0,使得当工G B（xOtr） tz CO,a）时，有 II 必口）II | .因此在0,0 X B（x0,r）上一致有界，记M = sup | 曲 口）| II农即花卩取B 0,使得B M aJK V 1,并且PAf “下面证明积分方程 （5.4）在/ C0,”上有唯一的解.让D = C（0,P（/）,则D是Banach 空间C（0Q,X）中以常值映射兀为中心，以厂为半径的用球，

13、其中文W C（0/.X）的范数定义为 |x| =max | x（/） | 再让T：C（0QX）fC（0，e，X）定义为（7 X）（Z）= Xo +9x(5) 一tl dsK | x y | 这就验证了，映D到自身并且在D上压缩，唯一性以及解对初值的连续依赖性都可以从不等式（5-3）推得因此，为了结束定理的证明我们只要证明（53）.设是方程苗=曲山)分别对应于初始值 * 旳的解、则II 比)一 y(t) |M II Jo II +| 9($山(s)久$*(s)|dsJ Qo；AH(z) g u(s)=总一J：皿 * v(t) + T/(d) +因此结合(5)具有如下重要性质： 代切除性)设K是C

14、中的闭集，且卫& fg则ckg(人0) = deg(/QK“h2fl(Kronecker存在性定理)当小 /(H)时皿(人= 0因此.若deg(/,n,/)工0,则方程/(x)=厂在内存在解.37连通区性质)当/在R%f(3Q)的一个连通区域内变动时， deg(/.n)不变特别当p属于无界连通区域时.deg(A,/) = 0*4(边界值性质)血g(/卫)只与/在曲上的值有关.更 明确地说，若g w c(n(/?)且卫=门亦则deg(/= deg(g.a/)：5(Poincare - Bohl定理) 设几g C(0用)*且当文G血 时“不在/(刃 与&(工)所连接的线段上，则degtAap) =6(锐角原理)设o e o,并且当乂 w边时口与八乂)不反 向$特别当xeao时山与/(文)成锐角，即内积0.则 degCAaO) = L7(缺方向性质若存在固定的用0,使得当才加 且人 0时JQ)工如。则deg(/,n.O) = 0特别，若/映入圧 的某个低维子空间，则对任何P 都有deg(/,n,/ -0.九设f:R Rn Rn连续，关于x是局部Lipschitz的，关于t是T周期的，若存在球Br(0) Rn使得nx：=R(0), t 0,T时，叮f(t,x),x i匸為fi(t,x)Xj 0时，A(