静电场4的解镜像法场图

1、工程电磁场基础第 3 章 静电场（4）静电场的解(二)：镜像法主讲人：陈德智dzhchen华技大学电气与电子2010年3月镜像法（3.6节）(1)点电荷对平面导体的镜像边值问题：（除 q 所在点外的区域）（导板及无穷远处）（S 为包围 q 的小闭合面2j = 0j = 0vsD dS = q点电荷对平面导体上半场域边值问题：（除 q所在点外的区域2j = 0q4pe0 r= 0 （对称面及无穷远处）（S 为包围q 的闭合面）j =4pe0 rvs D dS = q两等量异号电荷点电荷对平面导体的镜像上半空间任一点的电位：q4pe0r2j =+4pe0r1q( 1 - 1 )=( y 0)4pe

2、0r1r2电场强度：qr 0E =+ 24peq4pe4per 2r20 10 2讨论：写出下半空间任一点的电位和电场。r 0r 0=-( 12 )( y 0)r 2r2012镜像法在不改变求解区域电荷分布、介质分布和边界条件的前提下，用虚设的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地代替导体表面的感应电荷或介质分界面上极化电荷对求解区域电场的贡献，使场的解答满足唯一性定理，从而大大简化问题的求解。2j = - r求解区域三个不变：e微分方程不变电荷分布介质分布不变解唯一边界条件 不变镜像法镜像法特点虚设的电荷 镜像电荷求解区域 有效区域非求解区域 无效区域用镜像电荷取代无效区域的媒质不均匀性，把求

3、解空间变为无限大均匀介质；用真实电荷与镜像电荷在有效区域产生的场的叠加给出原问题的解。镜像电荷只能设置于无效区域；得到的解只适用于有效区域。例10 求空气中一个点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布情况。解: 设点电荷 q 离地面高度为h，则Ep = E+ + E-（方向指向地面）qqhcosqE= 2=4pep2pe (h2r2+ x2 )3/ 200qhs p = -e0 Ep = -2p(h2 + x2 )3 / 2整个地面上感应电荷的总量为-qhS0s 2p xdxdS =p2p (h21+ x2 )3/ 2= -q点电荷 q 在地面引起的感应电荷的分布= qh 21 / 2 2 (h+

4、 x)0镜像法例11导板（接地）上下方各有一点电荷，求空间任一点电场强度及电位分布。Pr- q21q1r1e 0e 0e 0e 0r2 Qr2下半空间q2- q1上半空间解：由镜像法：- q1q1q1q1j0=+=-r 0ErP14pe r 21P4pe r4pe r 4per 20 10 10 10 1- q2q2q2q2j0=+E=-r 0rQ4pe r24pe r 2Q4pe r4pe r 0 20 20 20 2导体板(无效区域)的厚薄对有效区的场没有影响；唯有边界重要。镜像法平面镜像的推广e0e0e0-e0e0e0-镜像法（2）点电荷对无限大介质交界面镜像qe1Pse2边值问题： 2

5、j1 2j2= 0= 0（S 上方1 中除 q 所在点）（S 下方e 2 中）j1= j 2E= Ess1t2tj1j 2e= e= DD12nn1n2nss镜像法的思路：假定不均匀的介质能够用一个点电荷等效，我们设法确定它的位置和大小。确定的依据是“三不变”。e 1e 2区的镜像区的镜像点电荷对无限大介质交界面的镜像e 1e 2区的镜像区的镜像E1t ，D1n ，E2t ， D2n计算交界面上任一点P 点qqqcosqE=cosq +cosqE=2t4peq1tpe rpe rr 22244211q 4p r 2sinq-Dsinq=D1n4p r 22n4pr 2由：q + E= ED=

6、Dee1n2n1t2t12q - 解出：讨论：写出空间任一点的电位和电场。1212（3）点电荷对导体球的镜像a.设一点电荷位于一接地导体球附近，求它所产生的电位及电场分布。边值问题：（除 q 所在点外的球外区域）（导体球表面）（S 为包围 q 的小闭合面）2j = 0j = 0vs D dS = q镜像法的思路：假定导体球能够用一个点电荷等效，设法依据“三不变”原则确定它的位置和大小。点电荷对球面导体的镜像设镜像电荷 q ，则球表面上任一 P点的电位为：q j=+= 04pe4peprr0 10 2由余弦定理：= d 2 + R2 - 2Rd cosq= b2 + R2 - 2Rb cosqr

7、 21r 22代入整理得到：q2 (b2 + R2 ) - q 2 (d 2 + R2 ) + 2R(q 2 d - q2b) cosq = 0q2(b2 + R2) - q 2(d 2 + R2)+ 2R(q 2 d - q2b) cosq = 0上式与q 无关，故：q 2 d - q2b = 0q2 (b2 + R2 ) - q 2 (d 2+ R2 ) = 0得：讨论：（1）写出空间任一点(球内与球外)的电位和电场。（2）导体球是空心的还是实心的对场有何影响？（3）计算导体球上的感应电荷。bd = R2 ,点电荷对球面导体的镜像b.在问题a中，如果导体球不接地，求电位与电场分布。边值问题

8、2j = 0vs D dS = qj = constvSc D dS = 0（除 q 所点外的球区域）（S 为包围 q 的小闭合面）（导体球表面）（Sc为导体球表面）如何在问题a的基础上加以修订得到本题的？点电荷对球面导体的镜像问题b的。讨论：（1）如果体球本身还带有电荷 Q ，结果如何？（2）导体球表面的电位是多少？（3）设球是空心的，内部电位与电场怎样分布？点电导体的镜像c.设一点电荷位于接地导体球壳内部，求它在球壳内外所产生的电位及电场分布。用的叠加；球外电位与电场都为0。bd = R 2 ,电荷与镜像关于球面反演。球内是两个电荷作点电荷对球面导体的镜像d.在问题c中，球壳不接地，求球壳

9、内外的电位及电场分布。球内电场分布不变，但电位被抬高；球外的场相当于电荷位于球心的作用。镜像法4) 导电圆柱之间的镜像电轴法边值问题： 2j = 0（导线以外空间）j= const1SAvD dS = t lSAj= const2SBvSBD dS = -t l两导电圆柱形传输线圆柱的镜像电轴法镜像法的思路：假定导体圆柱能够用线电荷等效，设法依据“三不变”原则确定它的位置和大小。预问题1：单根电的电场与电位。t eE =2pe 0rj = - E dl = - tln r + C2pe0双电轴的电位。预问题2j = tln r22pe0r1电轴法设镜像电荷（电轴）如图， 导体外任一点P的电位为

10、： tln r2j2pe0r1P 位于A 表面时，当柱r- 2a (h - b) cosq= a2+ (h- b)2211111r- 2a (h + b) cosq= a2+ (h+ b)2221111j= tln r2 =const r= k r2222P2pr101电轴法+ (h + b)2 - 2a (h + b) cosqa21111= k 2a2 + (h - b)2 - 2a (h - b) cosq 1111a + (h + b)2 = 2a (h + b)2k=2 11 11+ (h - b)22a (h - b)a21111 h2 = a2 + b211类似，当 P 位于圆柱

11、B 表面时可得到 d = h1 + h2又三个方程联立可确定参数 h1, h2 和 b，从而原来的问题有解且唯一，镜像法成立。h2 = a2 + b222电轴法讨论：（1）两圆柱半径相同情况。（2）两个导体中有一个可看作电轴。离d 远大于半径a时，可认为电轴位于圆心，表面电位为（3）j= tln aB2ped0j=tln dA2pea0（4）一个圆柱导电缆）问题。：于另一个圆柱导体内部（偏心 d = h2 - h1进一步讨论：a.b.电位表达式(参考点)；电场强度与耐压问题。（参看p64-p66之例3.11和3.12）h2 = a2 + b222h2 = a2 + b211镜像法不算题外的话：

12、深刻地理解唯一性定理，它表明，两个场形态上可以千差万别，但只要满足相同的微分方程和边界条件，就有相同的解答。镜像法是求解边值问题的法（构造式的，说白一点，就是“凑出来”的方法），“凑”的依据是唯一性定理。和电位函数 j电场强度 E是对同一个场的描述，除了j 可能有一个常数的差别外，二者是等价的。常数取决于参考点的选择。镜像法关于受力问题的一个简单说明：带电体受的力只与带电状态及它所处的场有关；对于导体材料，带电状态也取决于所处的场。因此，使用镜像法时，带电体受力可以用镜像电荷对它的作用力等效。镜像法只能解决一些特殊的边值问题。更一般的边值问题的求解方法，包括法和数值法，下节讨论。作业：3.18,3.24,3.27选做有奖题：能否用镜像法分析两个带电导体球之间的电场？给出详细分析论证。（满分2分）一些典型的场图方芯圆壳偏心电缆电位分布与电力线分布静电场场图导体表面是等位面；两导体之间，等位面形状光滑过渡；电力线处处垂直于等位面。带盖的金属槽电场分布静电场场图在两电极夹角处，电力线呈弧形，等 位面成辐射状分布。成夹角的导体板之间的电场边界条件也称定解条件。合适的边界可以降低求解难度，减小求解规模；不恰当的边界会带来不恰当的结果。静电场场图点电荷对无限大