2020版高考数学一轮复习第4章三角函数、解三角形3第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式教案理

1、1 cos 2 a2(3)1 + sin 2 a = (sina + cos a)： 1 sin 2 a = (sin a cos a )2, sina ± cos a =第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式教材回顾夯实基础知识梳理1 .两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(a±3)=sinacos_3±cos_asin且；cos(a?3)=cos_acos_3±sin_asin3；tana±tan3，兀tan(-±3)=1?tanataTT/士口3均不为k兀十万，k2 .二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2a=2sinacosa

2、;cos2a=cos2asin2a=2cos2a1=12sin2a;2tana(、一、,兀,r、tan2a=1_tan2a,2a均不为k兀+工,kCZ提醒三角函数公式的变形tana±tan3=tan(a±3)(1?tanatan3);21+cos2a2(2)cosa=,sina/sina±T!-3 .三角函数公式关系令B = UGmc 令 R=a 两式相除八以-目代Br用利用鹏明(，土q利用er佼土口)J以r代e'两式相除I两式相除工叱以r代叫O判断正误(正确的打“，”，错误的打“X”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角a,3是任意角.()(2)两角和

3、与差的正切公式中的角a,3是任意角.()1(3)cos80cos20-sin80sin20=cos(8020)=cos60=2.()3 = tan( a + B )(1 八一tana+tan3-,、，、(4)公式tan(a+3)=1-tanatan3可以变形为tan"+tantanatan3),且对任意角a,3都成立.()存在实数a,使tan2&=2tana.(答案：(1)V(2)X(3)X(4)X（教材习题改编）已知cosa是第三象限角，则兀、,8$（丁+"）为（）A.哈B.二10D.解析：选A.因为cosa=-7,5是第三象限的角,所以sin45'“一兀

4、所以cos(-4-+a)=cos7t7t-cosa-sin-sin3242I2(5)=10.（2017高考江苏卷）若tana7t416，则tan解析：tana=tan答案：5sin15+sin75解析:sin156万.答案:考点兀)兀a-l+44的值是+sin75°=sin15tanX兀tan41tan典例剖析考点突破三角函数公式的直接应用L-兀&一atanT44+cos15°典例引领例巨I（1）（2017高考全国卷I）已知aC16+171=5.11672sin(15°+45°)=加sin60(兀X+-6,若sina则cos"2&quo

5、t;<a<Tt1,则f1a+12f=12(1)因为a(兀)-sina0,-i,且tana=2,所以sina=2cosa,又sin2a2+ cos (X2 5=1 ,所以 sin a = cos a 5(2)因为 sin a71所以cos a = 5,所以“a +.兀 兀=sin a +血+6sin【答案】(1)3 ,'1010(2)-w兀)兀.|cosacos-+sinasin二圆理4X比加452+5210.反思提升利用三角函数公式应注意的问题(1)使用公式求值，首先要注意公式的结构特点和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”.(2)使用公式求值，

6、应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.通关练习1 .已知 sin a =1, 51i兀i,tan(%-3)=2,则tan(a-3)的值为()2A,.-11CnC. 211D一万解析：选A.因为sin所以cos=-1sin45'所以tansinacos34.因为tan(7t1-3)=2=-tantan3则tan(atanatan31+tanatan311.2.(2018湖南省东部六校联考）已知角a为锐角，若COs的值为（12A.2524B.2524c25D.1225解析：选B.因为a为锐角,cos4=5>&

7、#176;,所以兀a+x为锐角,6sinCos21a+-z-所以657t7t6sin2a+|=2sin°°+-6,A'a+6；2425'故选B.考点三角函数公式的活用（高频考点）三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，研究三角函数的性质和解三角形常应用三角函数公式.高考对三角函数公式的考查主要有以下两个命题角度:（i）两角和与差公式的逆用及变形应用;（2）二倍角公式的活用.典例引领口角度一两角和与差公式的逆用及变形应用例”（1）已知sina+cosa=!，则sin2(今一34)=()1A.1817B.188C.9(2)在ABC,若t

8、anAtanB=tanA+tanB+1,则cosC的值为()B.1C.2D.(1)由sina+cosa=：两边平方得1+sin23解得sin2所以sin2(51cos(a)=22a)1sin2a81+917218,一口tanA+tanB.(2)由tanAtanB=tanA+tanB+1,可得-=1,即tan(A+B)=1,又1tanAtanBA+BC(0,兀)，所以A+B=f则C-4,cosC=半【答案】(1)B(2)B口角度二二倍角公式的活用cos 15cos 15sin 15+ sin 151tan15【解析】法：原式="高而tan 45tan 151 + tan 45tan 1

9、5=tan 30法二：原式=啦(sin 45小(sin 45cos 15cos 15一cos 45+ cos 45sin 15sin 15 ° )sin 30sin 60法三：因为cos 15cos 15一 sin 15+ sin 151 sin 301 + sin 3013.cos 15又cos 15sin 15+ sin 15>0,cos 15所以嬴而sin 15+ sin 15123扈3.2【答案】-3-规律司法三角函数公式的应用技巧运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形,如 tan a + tan 3 = tan( a +3)-(1

10、-tan“tan3)和二倍角的余弦公式的多种变形公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用.通关练习1.(1-tan215°)cos215°的值等于()B.11D.2解析：选 C.(1 - tan 215° )cos 215°=cos 215° sin215=cos 302. (2018 河北衡水中学三调考试7t2，兀i,且 3cos 2 a = sin4 a贝U sin2a的值为()A.1181B.18C.171817 D.18解析:选 C.由 3cos 2

11、a = sina sin a ),又a .彳导 3(cos 2 a sin 2 a )=2,兀何知 cos a sin是 3(cos a +sin a)=乎，所以 1 + 2sina - cos a =,故 sin 2 a =.故选 C.1818考点角的变换典例引领例3 (1)(2018 四川成都摸底)已知sin 2 a71二< 2 a V 兀1,tan( a 3 ) = 5，则tan(a+3)等于()B. 1A.-22C11(2)(2018 六盘水质检 )已知cos1,鼻，cos(3a + 3)=_-S- a、361。1cos(a-3)的值等于()1A.-2D.2327(1)因为 si

12、n 2所以cos 24a = 5,tan 2 a34,tan(a+3)=tan2a(a3)=tan 2 a tan ( a 3 )1 + tan 2a tan (a 3 )= -2.(2)因为e 3 2"J；所以 2“ e (0 ,兀).因为cos(X q)以 cos 2 (X 2cos 民1379,所以sin 2 a =5cos22 & =,9C兀''LBCf,2!；所以a+3C(0,兀)，所以所以2.2sin(a+3)=1_cos(a+3)=-3,cos(a3)=cos2a(a+3)=cos2acos(a+3)+sin2asin(a+3)-911%乎*乎=

13、23.【答案】(1)A(2)D互动探究若本例(2)条件不变，求cos23的值.解：因为cosa = , cos( a+3) = 鼻，且 a333 6匕，万，所以a + 3C(0,兀)，所以sin a2 A2 , sin( a + 3 )3cos 3 = cos( a + 3 ) a =cos( a + 3 )cos a + sin( a +3 )sin a1 1 2 .2 22 7-X -+X =-3 3339所以 cos 2 3 = 2cos2 3 1 = 2 xj -1 = 87.规律方法角的变换技巧(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式;(2)当“

14、已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.(3)常用拆分方法：2 a =( a+ 3) + (a - 3), a=(a+3) - 3, 3 = " j通关练习1.已知tan( a + 3 ) = 1, tan71-,则 tan 1 * 3 4 3 +"3")的值为(2 A. 31B.23C.44D.5解析：选 B.tan(3 + 右!：= tan | (+ 3 )tan ( a + 3 ) tan1 + tan ( a + 3 ) tan2. (2018 湖南郴州模拟)已知aS解析：因为a 7t

15、sinU+了厂 5,所以7t4,所以cos_2一sin5 i兀+ T 1=4所以tan所以tan a=tan4-1三L色41+4X1 7311-31-1答案：7课堂小结0运用三角函数公式时，不但要熟悉公式的直接应用，还要熟悉公式的逆用及变形，如tana+tan3=tan(a+3)(1tanatan3)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.感易错防范(1)在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错.2(2)在(0,兀)范围内，sin(a+3)=与所对应的角a+3不是唯一的.厂以缔保学强技提IF,分层演练直击高考基础达标，1.计算

16、一sin 133cos 197一cos 47cos 73 °的结果为()1A. 2D.解析：选 A.-sin 133cos 197一cos 47cos 73=sin 47(cos 17)cos 47sin 17= sin(4717° ) = sin 3012.解析：选A.因为sin 6ra f= cos , 1所以2cos a3 in a = cos1a 2sin1 cos2所以丹所以 sin a = cos a ,所以 tana = 1.B.D.7ttan+4 = 7,则 sin等于(3A.542.已知sine-aA.11C.2C.D.解析:A.因为 tan * 1 a

17、+ -4tan a + 11 tan17'所以tan3 sin_=4 cos4 .=sin a .3又因为 sin 2 a + cos2 a=1,所以2sin a925.又因为a l-2-,兀所以sin3a =二.54.已知 cos J-6- a |!=孚,5兀贝U sin_6 2 a1 A.-3B.clD.解析：选B.sin厚一2"尸1兀sin |y+32ap °、2=cos 2 a 1= 2cos7t6a i- 1 = 2XJ5.(2018 -兰州市实战考试)sin 2240c =25,c兀0< a <,则 2cos已一A.1B.- 5C.7-5 D

18、.解析：选 d.«2cos r+ £sin=sin a + cos a ,又因为(sin a+ cos a ) 2 = 1 + 2sin a cos a = 1 + sin 2 a4925'兀7凤0< a <,所以 sin a + cos a =-,故选D.4.6.（2018贵州省适应性考试）已知a是第二象限角，且cos（a+兀）=二，则tan2a解析：由 cos(兀 + a ) = cos2tan a 241 tan a 7524答案:247.已知 sin( a 3 )cos a cos( 3 a )sin a5，3是第三象限角，则 sin3 +5兀7

19、解析：依题意可将已知条件变形为sin( a 3) a = sin 3 =一，5sin 3 =又3是第三象限角，因此有 cos 345.sin 1 3 + -4-一sin( 3 + -4) = sin 3 cos714cos 3 sin '哑 4410答案:71028.(2018兰州市高考实战模拟)若sinasin3=1一g3，cosa-cos3=2,则cos(a3)解析：由sin一sin一 .3.23=1 2，得(sin a - sin 3 )=11 2j,即 sin 2 a +sin 2 32sinasin由 cos a cos1 3=2,得 cos2a+ cos 2 3 2cos

20、a cos 3=0 +得，2sins sin3 +2cosr3c cos 3 =乖,即 cos( a 3 ) = 2 .答案:-239.已知tana=2.求tan十亍J的值;(2),sin2a求sin2a+sinacos-cos2-1的值解:tan兀、tana+tan兀、42+1a+="T"-=-3.4J兀1-2X11tanatan-4(2)sin2asina+sinacosacos2a12sinacosa2tana2X2sin2a+sin_acos_a2cos2atan2a+tana24+2-21.10.已知函数f(x)=Asinjx+y；,xCR,且f。21=322.(

21、1)求A的值;(2)若£(0)-f(-0)=V3，-2-j,求cos0的值.解：f及产Asin%+-3亍Asin3兀4所以A=3.(2)f(0)-f(-0)=3sin10+_3-；3sinre=3|'sin0cos卜cos.八兀一sin0cos+cos0sin=6sin0兀cos=3sin6=小,所以sin所以cos0="sin2。=返2T.1.(2018山西太原五中模拟)已知角a为锐角，若sin2V6+1A."B32B.8C32C.8D.解析：选A.由于角a为锐角，且sinLcos民=cos兀,兀-I66=cos2L、6cos2.（2018河南百校联盟联

22、考）已知a为第二象限角，且tana,兀c,兀+tan12=2tanatan9-2,则sinA-510C.3,11010tana+tan解析:选C.tan，兀C，a+tan=2tan.兀CCatan122?1tanatan兀12=-2?tan兀122,因为a为第二象限角，所以sin%+工、27512厂5cos,55sin一sin=sincos兀sin4兀'+12兀cos43'1010.3.（2018安徽重点中学联考）若aC。，-2>cos7t4a)=22cos2解析：由已知得a+sina)=2«2(cosasina),(cosa所以cosa+sina=0或cosasin14.由cosa+sina=0得tana=-1,所以tana>0,所以cosa+sina=0不满足条件；由cosasina1，一，r=4两边平万得1-sin21"=16'15所以sin2"J.15答案：行4.（2018郑州第一次质量预测）ABC的三个内角为A、B、C,若3cosA+sinA3sinAcosAtantan解析:3cosA+sinA2sinA+-3-3sinAcosAcosA+i;=