2020版高考数学新设计大一轮复习第三章导数及其表示第3节定积分与微积分基本定理习题理VIP

1、第3节定积分与微积分基本定理最新考纲1,了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义;2。了解微积分基本定理的含义。知识衍化体验I5政教材，夯实丛4知识梳理1o定积分的概念与几何意义（1）定积分的定义如果函数f在区间d6上连续，用分点将区间3幻等分成个小区间，在每个小区间上任取一点4,（/=1,2.，），作和式错误!F（J,）、x=匚错误!H）,当18时,上述和式无限接近于某个常数，这/=1个常数叫做函数f3在区间匕，b上的定积分，记作错误！Hx）dx,即nAfV（x）dx=lim1-L8i=在错误!五（x）dx中，至殳分别叫做积分下限与积分上限，区间a,6叫做积分区

2、间，函数Hx）叫做被积函数,心叫做积分变量，根分dx叫做被积式。（2）定积分的几何意义f(x)错误!尸（x）dx的几何意义Hx)NO表示由直线x=a,x=b、y=0及曲线y=尸（x）所围成的曲边梯形的面积f(x)0表示由直线x=a,x=b、y=0及曲线v=尸（x）所围成的曲边梯形的面积的相反数Hx）在0,6上有正有负表示位于X轴上方的曲边梯形的面积减去位于X轴下方的曲边梯形的面积2.定积分的性质（1）错误!尸（x）dx=错误！Hx）dx（为常数）。（2）错误！力（x）f2（x）dx=错误!石（x）dx错误!玄（x）dx.（3）错误！尸（x）dx=错误！尸（x）dx+错误!dx（其中ac6）o3

3、o微积分基本定理一般地，如果f（%）是在区间O,6上的连续函数，且尸（x）=F（x）,那么错误！Hx）dx=Ab）/（a）这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式.可以把尸（6）一尸（切记为尸（x）错误!，即错误!Hx）dx=尸（*）错误!）=F（b）一尸3）。微点提醒函数fM在闭区间一名a上连续，则有（1）若尸（x）为偶函数，则错误!Hx）dx=2错误!Hx）dxo（2）若尸（x）为奇函数,则错误!Hx）dx=0.基础自测疑误辨析1o判断下列结论正误（在括号内打或“X”）（1）设函数y=x）在区间a,6上连续，贝IJ错误！Hx）dx=错误！5（t）dt。（）（2）曲线产=/与y=”

4、所围成的面积是错误！（fx）d*。（）（3）若错误!Hx）dKO,那么由y=（x）,x=ax=6以及x轴所围成的图形一定在*轴下方。（）（4）定积分错误!尸（x）dx一定等于由x=a,x=6,y=0及曲线y=f（x）所围成的曲边梯形的面积。（）（5）加速度对时间的积分是路程。（）解析（2）y=f与y=x所围成的面积是错误！（X/）dx.（3）若错误!F（x）dKO,那么由y=Hx）,x=a,x=b以及x轴所围成的图形在x轴下方的面积比在“轴上方的面积大。（4）定积分错误!尸（x）dx等于由x=a,x=b,y=0及曲线卜=尸（x）所围成图形的面积的代数和.加速度对时间的积分是速度，速度对时间的积

5、分才是路程。答案（1）V（2）X（3）X（4）X（5）X教材桁化2。（选修2-2P50A5改编）定积分错误！Ix|dx=（）Ao1B.2C.3Do4解析错误！Ix|dx=错误！（一x）dx+错误!xdx=2错误!xdx=x?错误!=1。答案A3. （选修22P60A6改编）已知质点的速度v=10t,则从亡=0到2=之。质点所经过的路程是（）A.10t错误！B.5%错误！C。错误！亡错误！D.错误！七错误！解析S=错误！内亡=错误!错误!=5嘴误!。答案B考题体验4. （2018青岛月考）直线v=4x与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积S,正确的是（）A.S=错误！（4xf）dxBoS=错误！

6、（/一4x）dxCoS=错误!dyD.S=错误!错误!dyJ0解析两函数图象的交点坐标是（0,0）,（2,8）,故对X积分时，积分上限是2、下限是0,由于在0,2上，故直线y=4x与曲线所围成的封闭图形的面积5=错误！（4“一/）dx错误!。答案A5. （2019安阳模拟）若a=错误!fdx,6=错误!Mdx,错误!sinxdx,则a,b,。的大小关系是（）AoKcbB.a伏cCocbaDocab解析由微积分基本定理a=错误!fdx=错误!错误!=错误!，6=错误!*%*=错误!错误！=4,。=错误!sinxdx=（cosx）错误!=1cos22,则“水6。答案D60（2019昆明诊断）若错误

7、!Fdx=9,则常数a的值为.解析错误!Vdx=错误!错误!=一错误!才=9,Aa3=-27,a=-3.答案一3I考点聚焦突破:分类讲练，以例求法；考点一定积分的计算【例1】（1）错误！（cosx+1）dx=o（2）错误！IV2x|dx=o解析（1）错误！（cosx+1）dx=（sinx+x）错误!=n.（2）错误！|2xIdx=错误！（/-2x）dx+错误！（2xf）dx=错误!错误!+错误!错误!=错误！+4+4一错误!=8。答案（1）n（2）8规律方法运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：（1）对被积函数要先化简，再求积分；若被积函数为分段函数的定积分，依据定积分”对区间的可加性”

8、，先分段积分再求和；（3）对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值符号再求积分.【训练1】（1）设式（*）=错误!则错误!F（*）dx等于（）A.错误！B。错误！C.错误！D.不存在（2）定积分错误！（f+sinx）dx=。解析（1）如图，错误！Hx）dx=错误!fdx+错误！（2*=错误!父错误!+错误!错误！=错误!+错误!=错误!.错误！（F+sinx）dx=错误！Fdx+错误!sin*dx=2错误！Mdx=2错误!错误!=错误!.答案（1）C（2）错误！考点二定积分的几何意义-多维探究角度1利用定积分的几何意义计算定积分【例21（1）计算：错误！（2x+错误!）dx=（2）若错误!

9、错误！0)所围成的曲边梯形的面积为错误！(4xf)dx=错误!错误！=错误！一错误！=错误！，则”=8,=2.答案(1)n(2)2考点三定积分在物理中的应用【例3】物体4以v=3+l(m/s)的速度在一直线/上运动，物体8在直线/上,且在物体A的正前方5m处，同时以r=10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体力追上物体8所用的时间t(s)为()A.3B.4C.5Do6(2)设变力F(x)作用在质点上，使附沿*轴正向从x=1运动到x=10,已知尸(x)=f+1且方向和x轴正向相同，则变力尸(X)对质点所做的功为J(”的单位：m,力的单位:N)。解析(1)因为物体力在1秒内行驶的路程为错误

10、！(3f+1)dt,物体8在土秒内行驶的路程为错误!10加九所以错误！(3F+110t)dt=(t3+t-5t2)错误！=F+-5#=5。整理得(七一5)(F+1)=0,解得t=5。(2)变力F(x)=V+1使质点附沿x轴正向从x=1运动到x=10所做的功为人错误!尸(*)dx=错误！(V+1)dx=错误!错误！=342(J).答案(1)C(2)342规律方法定积分在物理中的两个应用（1）变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为/=/（亡），那么从时刻亡=3到亡=6所经过的位移s=错误！。dt（2）变力做功：一物体在变力尸（*）的作用下，沿着与F3相同方向从x=a移动到时，力尸（X）所

11、做的功是=错误!尸（x）dx.【训练3一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度“七）=731+错误！（1的单位：s,v的单位：m/s）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位：巾）是（）11Aol+25ln5Bo8+25lnC.4+25ln5D.4+50ln2解析令v（t）=0,得t=4或t=?（舍去），汽车行驶距离s=错误!错误!dt=错误!错误！=28-24+25ln5=4+25ln5（m）。答案C反思与感悟思维升华1 .定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关。2 .错误!A（x）dx、错误！|Hx）IdX与

12、I错误!。（x）dx|在几何意义上有不同的含义，由于被积函数fM在闭区间a,切上可正可负，也就是它的图象可以在x轴上方、也可以在x轴下方、还可以在x轴的上下两侧，所以错误!5（x）dx表示由“轴、函数Hx）的曲线及直线x=dx=6（a芋6）之间各部分面积的代数和；而I,（*）|是非负的，所以错误！I尸（x）|dx表示在区间凡切上所有以|Hx）|为曲边的正曲边梯形的面积；而I错误!尸（力dx|则是错误!A（x）dx的绝对值，三者的值一般情况下是不相同的.易错防范1o若定积分的被积函数是分段函数，应分段积分然后求和。2o若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量.3o定积分的几何意义是

13、曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.分层限时训练I分层训练,提升能力基础巩固题组（建议用时：35分钟）一、选择题1o（2019西安调研）定积分错误！（2x+e*）dx的值为（）A.e+2Boe+1C.eDoe1解析错误！（2x+e）dx=（V+e?错误!）=1+8-1=e.答案02o已知错误!错误!dx=错误!，则加的值为（）A。错误！B.错误！C。一错误！Do-1解析由微积分基本定理得错误!错误!dx=（In一侬）错误!）=加+1冰，结合题意得底=错误!，解得勿=错误!。答案B3 .（2019-郑州模拟）汽车以/=（39+2）m/s做变速运动时，在第1s至第2s之间的

14、1s内经过的路程是（）Ao错误！mB.6mC,错误！mDo7m解析s=错误！（3t+2）dt=错误!错误！=错误！X4+4一错误！=10一错误！=y（m）.答案AX4 .sin?错误!dx等于（）Ao 0Co错误! 一错误!Bo错误!一错误!D.错误! 一1解析错误!d*=ji错误!dx=错误!E=错误!一错误!。答案B5o定积分错误!|x1|dx等于（）Ao1Bo1Co0Do2解析错误！I*一1Idx=错误！Ix-1|dx+错误！Ix-1Idx=错误！（1-x）dx+错误！（x1）dx=错误!错误!+错误!错误！=错误!+错误!一错误!=1。答案A6o如图，指数函数的图象过点E（2,9）,则

15、图中阴影部分的面积等于（）-2-101123I567i-IfAo错误！B.8Co错误！D.9解析设指数函数为y=a（a0且因为其过点EQ,9）,所以占=9,解得a=3,所以图中阴影部分的面积S=错误!3、dx=错误!错误!=错误!.答案A7o若尸（）=错误!尸尸（1）=1,则a的值为（）A.1B.2C.-1Do-2解析因为H1）=lg1=0,f（0）=错误!3-dt=t错误!=累，所以由ff（1）=1,得3=1,a=1o答案A8 .由y=Zy=,y=1所围成的图形的面积为（）43Ao-B.-Co2D.134解析如图所示，阴影部分的面积为S=2错误！=2错误！=2错误!=错误!.O12答案A二、

16、填空题9 .已知尸（x）为偶函数且错误！Hx）dx=8,则错误!Hx）dx=.解析原式=错误！Hx）dx+错误!（x）dx,因为原函数为偶函数，所以在y轴两侧的图象对称，所以对应面积相等，即8X2=16.答案1610o如图所示，函数y=-x2+2x+1与y=1相交形成一个闭合图形（图中的阴影部分），则该闭合图形的面积是.解析由错误！解得拓=0,X2=2oS=错误！（-f+2x+1-1）dx=错误！（-W+2x）dx=错误!错误!=一错误!+4=错误!.答案错误！11o（2019济南模拟）设力0,若曲线y=错误!与直线x=dy=0所围成封闭图形的面积为才，则3=O解析封闭图形如图所示，则错误!错

17、误!dx=错误!x错误!错误!=错误!a错误!一0=a,解得己=错误!。答案错误！12o（2019广州调研）设f（x）=错误!则错误！Hx）dx的值为解析错误！Hx）dx=错误!错误!d*+错误！（*21）dx=错误！nX+错误!错误!=错误!+错误!.答案错误!+错误！能力提升题组（建议用时：15分钟）13o（一题多解）若S=错误！fdx,S=错误!错误!dx,=错误!e*dx,则&,曷,&的大小关系为（）A.5SC.S5解析法一S=错误）错误!=错误!一错误!=错误!，S=ln燔误!=ln2lne=1,S=e错误！=e?e2.722。7=4。59,所以SS&法二S-&,金分别表示曲线卜=错

18、误!，y=e与直线x=1,x=2及x轴围成的图形的面积,通过作图易知SSW。答案B14 .若尸（x）=W+2错误！x）dx,贝I错误！f（x）dx=（）Ao 1B. 一错误!Co错误!Do 1解析由题意知r(x)=f+2错误!r(x)dx,设用=错误！f(x)dx,则A(x)=F+2m,错误！Hx)dx=错误！(V+2加dx=错误!错误！=错误!+2/77=m，解得勿=一错误!。答案B15 .一物体在力尸(x)=错误！(单位：N)的作用下沿与力尸相同的方向，从x=0处运动到X=4(单位:m)处,则力尸(x)做的功为J.解析由题意知，力尸(x)所做的功为W=pF(x)dx=错误!5dx+错误！(3x+4)dxJ0=5X2+错误!错误!=10+错误！=36(J).答案36160(2019长春模拟)在平面直角坐标系xOy中，将直线y=x与直线x=1nVdx=错误!V错误!=错误!.据此类比：将曲线y=2Inx与直线y=1及x及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥,锥的体积/施=错误!轴、y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积/=O解析类比已知结论，将曲线y=2ln