因式分解的常用方法

1、因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法.： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法 .在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例

2、如：（ 1） (a+b)(a-b) = a22-a22-b-b =(a+b)(a -b) ；(2) (a± b) 2 = a2± 2ab+b2 a 2± 2ab+b2=(a ±b) 2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a 3 +b3-a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) ；(4)(a-b)(a2233-a3322+ab+b ) = a-b-b =(a -b)(a+ab+b ) 下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6)a333222+b +c-3abc=(a+b+c)(a+b +

3、c-ab-bc-ca) ；三、分组分解法 .（一）分组后能直接提公因式练习：分解因式1、 a2abacbc2、 xy xy1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式：x 2y 2axay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。解：原式 = ( x2y 2 )(axay)= ( xy)( xy)a( xy)= ( xy)( xya)例 4、分解因式： a 22abb 2c2解：原式 = (a 22abb2 )c 2= (ab) 2c 2= (abc)(abc)综合练习： 1. a 26ab12b9b 24a2. a 42a3a

4、 293.4a 2 x 4a 2 y b 2 x b2 y4. x 22xy xz yz y 25. a22ab22b2ab16. y( y 2)(m1)(m 1)四、十字相乘法 .（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式x2( pq) xpq(x p)( xq) 进行分解。特点：（ 1）二次项系数是1；（ 2）常数项是两个数的乘积；（ 3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例 . 已知 0 a 5，且 a 为整数，若2x23xa 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项式 ax2+bx+c ，都要求b24ac >0 而且是

5、一个完全平方数。于是9 8a 为完全平方数， a1（二）二次项系数不为1 的二次三项式ax 2bxc条件：（ 1） aa1 a2a1c1（ 2） c c1c2a2c2（ 3） b a1c2a2c1b a1 c2a2 c1分解结果： ax 2bxc = (a1 x c1 )( a2 x c2 )例 7、分解因式： 3x 2 11x 10分析：1-23 -5（ -6） +（ -5） = -11解： 3x 211x 10 = (x2)(3x5)练习 7、分解因式：（1） 5x27x6（ 2） 3x27 x 2（3） 10x 217 x3（ 4） 6y 211y 10（三）二次项系数为1 的齐次多项式

6、例 8、分解因式： a 2 8ab 128b 2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)= -8b2解： a8ab22128b = a8b( 16b) a8b( 16b)= ( a 8b)( a 16b)练习 8、分解因式 (1) x23xy2y 2(2)m26mn8n2(3)a 2ab6b 2（四）二次项系数不为1的齐次多项式例 9、 2x27xy6y 2例 10、 x2 y 23xy21-2y把xy 看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2

7、 y)( 2x3y)解：原式 = (xy1)( xy2)练习 9、分解因式：（1） 15x 27 xy4 y2（ 2） a 2 x 26ax8综合练习 10、（ 1） 8x 67 x31（ 2） 12x211xy15 y 2（ 3） ( x y)23(x y) 10（ 4） (a b)24a 4b 3（ 5） x 2 y 25x 2 y 6x 2（ 6） m 24mn 4n23m 6n 2（ 7） x 24xy4 y 22x4 y3（ 8） 5( ab) 223( a2b 2 )10(ab) 2（ 9） 4 x24xy6 x3yy 210（ 10） 12( xy) 211( x2y 2 ) 2

8、( xy)2(11.) abcx2(a2 b 2c 2 )xabc五、换元法。例 13、分解因式（1） 2005 x2(2005 21)x2005（ 2） ( x1)( x2)( x3)( x6)x 2解：（ 1）设 2005= a ，则原式 = ax 2( a21)xa= (ax1)( xa)= (2005x 1)( x 2005)（ 2）型如 abcd e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式 = ( x 27x6)( x25x6)x2设 x25x6 A ，则 x 27x 6 A 2x原式 = (A2x) Ax 2 = A22Axx2= ( A x)2 = (x 26 x 6

9、) 2练习 13、分解因式（1） ( x2xyy 2 )24xy(x 2y 2 )（ 2） (x 23x2)(4x28x3) 90（ 3） (a21) 2( a25) 24(a 23)2六、添项、拆项、配方法,试根法，短除法。例 15、分解因式（1） x 33x24解法 1拆项。解法 2添项。原式 = x31 3x23原式 = x33x24x 4x 4= (x 1)( x2x 1) 3( x 1)( x 1)= x(x 23x 4) ( 4x 4)= (x 1)( x2x 1 3x 3)= x( x 1)( x 4) 4( x 1) = (x 1)( x24x 4)= (x1)( x24x4)

10、= (x 1)( x 2) 2= ( x 1)( x 2)2（ 2） x 9x 6x3解：原式 = (x93= ( x= ( x31) ( x6 1) ( x3 1)1)( x6x31)(x 31)( x31) ( x31)1)( x6x 31 x31 1)1)( x 2x1)( x62x33)练习 15、分解因式（ 1） x 39x8（ 2） ( x 1) 4( x21)2( x 1) 4（ 3） x 47 x21（ 4） x 4x 22ax1a 2（ 5） x 4y 4( x y)4（ 6） 2a 2b 22a 2 c22b 2c 2a4b4c4七、待定系数法或双十字相乘法。例 16、分解

11、因式 x2xy6y 2x 13 y 6分析：原式的前3 项 x2xy6y 2 可以分为 ( x3y)( x 2 y) ，则原多项式必定可分为(x 3y m)( x2 yn)解：设 x 2xy 6 y 2x 13 y6 = ( x3y (x 3ym)( x2yn) = x2xy6y 2 x2xy6 y2x13y6 = x 2xy 6 ymn1对比左右两边相同项的系数可得3n2m 13mn6原式 = ( x3y2)( x2 y3)m)( x2 yn)(m n) x(3n 2m) y mn2( mn) x (3n 2m) y mnm2，解得3n练习 17、（ 1）分解因式 x23xy10 y2x9 y2（ 2）分解因式 x23xy2 y25x7 y61 在ABC 中，三边 a,b,c满足 a 216b 2c26ab10bc 0求证： ac2b2已知： x12，则 x 31_xx 33.已知： xy 6 ，xy1，求： x 3y 3 的值。4.求证： n 35n 是 6 的倍数。（其中n 为整数）5.已知：