固体物理第二章习题

1、1第二章第二章 习题习题21. 有一晶体，平衡时体积为V0，原子间总的相互作用势为U0。如果相距为r的两原子互作用势为（2）求出体心立方结构惰性气体分子晶体的 体积弹性模量。（1）证明体积弹性模量为( )mnu rrr 00 9mnKUV分析分析先要写出总的互作用能U、平衡条件R0利用体积弹性模量公式022020()9RRUKVR31( ) ( )2ijU ru ij ( )2jNUu ijijjra R设晶体共有N个原子，则总能量为 证明证明由于晶体表面层的原子数目与晶体内原子数目相比少得多，因此可忽略它们之间的差异，于是上式简化为设最邻近原子间的距离为R则有( )mnu rrr 411,m

2、nmnjjjjAAaa()2mnmnAANURR再令得到平衡时，R=R0，则由已知条件U(R0)=U0，得000()2mnmnAANURR0( )0RdU RdR由平衡条件1100()02mnmnm An ANRR得（1）（2）5由（1），（2）两式可解得002()mmUAnRN mn002()nnUAmRN mn利用体积弹性模量公式022020()9RRUKVR000(1)(1)1()92mnmnm mAn nANKVRR000000000221(1)(1)92()()9mnmnU nRU mRNm mn nmnUVRN mnRN mnV 由于U00，因此00UU 009mnKUV于是()2

3、mnmnAANURR6（2）一对惰性气体分子的相互作用势能为612( )u rrr 0( )0RdU RdR由平衡条件若令则N个惰性气体分子的互作用势能可表示为24AB16()BA126126( )2()() U RNAARR1 612062()ARA可得009mnKUV7进一步得026012()N AUU RA 009mnKUV代入并取m=6，n=12， 得30043 3NVR5 261231223 3()2AKAA对体心立方晶体有61212.25,9.11AA370.1K1 612062()ARA82. 一维原子链，正负离子间距为a，试证：马德隆常数为 = 2ln2。1()jja+、-号分

4、别对应于与参考离子相异和相同离子离子晶体的马德隆常数分析分析对于三维的问题，用埃夫琴晶胞，近似求解920( )4ijnijijqbu rrr相距rij的两个离子间的互作用势能可表示成证明设最邻近原子间的距离为R，则有则总的离子间的互作用势能其中1()jja+、-号分别对应于与参考离子相异和相同离子为离子晶体的马德隆常数Rarjji1)1(42)(202jnjnjjjijabRaRqNruNU10任选一正离子作为参考离子，在求和中对负离子取正号，对正离子取负号，考虑到对一维离子链，参考离子两边的离子正负对称分布。则有11111()21234jja234ln(1)234xxxxx利用展开式并令x=

5、1得1111ln(1 1)ln2234于是一维离子链的马德隆常数为 = 2ln2n-2n-1nn+1n+2一维单原子链a113. 计算面心立方简单格子的A6和A12（1）只计最近邻；（2）计算到次近邻；（3）计算到次次近邻。A6、A12是惰性分子晶体总互作用能表达式中两参数分析分析1261262()() UNAARR与结构有关661()jjAa12121()jjAa12面心立方简单格子一个晶胞，角顶O原子周围有8个这样的晶胞。1为原子O的最近邻，有12个；2为原子O的次近邻，6个；3为原子O的次次近邻，24个。以最近距离度量，其距离分别为解解1,2,3jjjaaa13661()jjAa1212

6、1()jjAa由（1）只计最近邻时661(1)12 ( )121A12121(1)12 ( )121A（2）计算到次近邻时66611(2)12 ( )6 ()12.75012A 12121211(2)12 ( )6 ()12.09412A （3）计算到次次近邻时6666111(3)12 ( )6 ()24 ()12312.7500.88913.639A 12121212111(3)12 ( )6 ()24 ()12312.0940.03312.127A A6=14.45A12=12.1314由以上可看出，由于A12中的幂指数较大，收敛得很快，而A6中的幂指数较小，收敛得较慢。通常所采用的面心立

7、方简单格子的A6和A12的数值分别是14.45与12.13。157. 设离子晶体中，离子间的互作用势为22( )mebRRu rer110()()mmU RZ最近邻最近邻以外（1）求晶体平衡时，离子间总相互作用势能U(R0)（2）证明 ：其中是马德隆常数，Z是晶体配位数16设离子数目为2N，以rij=ajR表示第j个离子到参考离子的距离，忽略表面效应，则总的相互作用能表示为分析分析2()mjjebUNa RR 最近邻2mebNZRR其中 为马德隆常数，+号对应于异号离子，-号 对应于同号离子；Z为任一离子的最近邻数目。1()jja ( )2jNUu ij17设平衡时R=R0，由平衡条件0221

8、00( )0mRdU ReZmbNdrRR210mZmbeR1102()mZmbRe得于是，晶体平衡时离子间总的相互作用势能（1）解）解) 1(0000mRNZbRbZRZmbNUmmm18（2）证明）证明 晶体平衡时离子间总的相互作用势能可进一步化为110()()mmU RZ由上式知1102()mZmbRe11111212110)() 1() 1(mmmmmmmmmmmbZeNbmeZmbZNbmU) 1(00mRNZbUm19当两原子构成一稳定分子时，核间距为3，解离能为4eV，求和。10. 两原子间互作用势为28( )U rrr 20当两原子构成一稳定分子即平衡时，其相互作用势能取极小值

9、，于是有解答解答03900( )280r rdU rdrrr1604r由此得平衡时两原子间的距离为21而平衡时的势能为根据定义，解离能为物体全部离解成单个原子时所需要的能量，其值等于u(r0)02820003( )4u rrrr 2727227.96 10,1.40 10erg cmerg cm20344eVr已知解离能为4eV，因此得再将r0=3，1eV=1.60210-12erg代入得1604r22证明：（1）r=1.12时，势能最小，且u(r)=-；（2）当r=时，u(r)=0；（3）说明和的物理意义12. 雷纳德琼斯势为126( )4,u rrr23（1）当rr0时，u(r)取最小值u(r0)，由极值条件解答解答得00r rdudr1261370041260rr于是有16021.12r再代入u的表达式得12600011( )4442u rrr 24（2）当r=时，则有126( )40u（3）由于u(r0)是两分子间的结合能，所以即是两分子处于平衡时的结合能具有长度的量纲它的物理意义是，是互作用势能为0时两分子的间距126( )4,u rrr0( )u r 25 13如果离子晶体中离子总的相互作用势能为求晶体的压缩系数，其中，为常数，为配位数20( )4RqU rNZ eR 0220209RRUKVRk=1/K分析分析26压缩系数k等