03分类讨论的思想

1、分类讨论的思想北京四中 吕宝珠一、高考真题感悟已知函数f(x)3ax42(3a1)x24x.(1)当a时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(1,1)上是增函数，求a的取值范围解(1)f(x)4(x1)(3ax23ax1)当a时，f(x)2(x2)(x1)2，f(x)在(，2)内单调递减，在(2，)内单调递增，当x2时，f(x)有极小值，f(x)的极小值是f(2)12.(2) 在(1,1)上，f(x)是增函数当且仅当f(x)4(x1)(3ax23ax1)0，即3ax23ax10. a当a0时，恒成立b当a0时，若要成立， 则需3a123a110，解得a.c当a0时，若要成立，则需3a210，

2、即10，解得a.综上，a的取值范围是.考题分析本题考查了函数导数的求法、函数极值的求法，考查了由函数单调性求参数范围的方法，考查了分类讨论的数学思想方法本题的核心是考查考生利用分类讨论的思想解决问题的能力易错提醒(1)f(x)0的根x1并不是函数f(x)的极值点考生易忽视对极值点的判断(2)不能将f(x)在(1,1)上单调递增转化为不等式进行研究(3)忽视分类讨论或讨论不到位是本题出错的关键二、思想方法概述1分类讨论的思想是一种重要的数学思想方法其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略对问题实行分类与整合，分类标准等于

3、增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度2分类讨论的常见类型(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、

4、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用3分类讨论的原则(1)不重不漏(2)标准要统一，层次要分明(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论4解分类问题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论(2)对所讨论的对象进行合理的分类(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决(4)归纳总结：将各类情况总

5、结归纳三、热点分类突破题型一根据数学概念分类讨论例1.已知二次函数yg(x)的导函数的图象与直线y2x平行,且yg(x)在x1处取得极小值m1 (m0)设f(x).(1)若曲线yf(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为，求m的值；(2)k (k R)如何取值时，方程f(x)kx0有解，并求出该方程的解解(1)依题可设g(x)a(x1)2m1 (a0)，则g(x)2a(x1)2ax2a，又g(x)的图象与直线y2x平行，2a2，a1，g(x)(x1)2m1x22xm，f(x)x2.设P(x0，y0)，则PQ2x(y02)2x22x2m22m2|m|2m，当且仅当2x时，PQ2取最小值，即

6、PQ取得最小值.当m0时，解得m1；当m0，当m0，k1或者m0，k1 (m0)，或k1 (m0 (n1，2，3)(1)求q的取值范围；(2)设bnan2an1，记bn的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小思维启迪 (1)根据条件列出关于q的不等式，注意分类讨论(2)能否判断bn为特殊数列进而求和作差、作商比较大小解(1)an是等比数列，Sn0，可得a1S10，q0，当q1时，Snna10；当q1时，Sn0，即0 (n1,2,3，)，上式等价于(n1,2,3，)或(n1,2,3，)，解式得q1；解式，由于n可为奇数、可为偶数，故1q0且1q0，所以当1q2时，TnSn0，即TnSn；当q2且

7、q0时，TnSn0，即Tn0.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若在区间，上，f(x)0恒成立，求a的取值范围解(1) 当a1时，f(x)x3x21，f(2)(x)3x23x，f(2)6，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y36(x2)，即y6x9.(2) f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x.若00等价于即解不等式组得5a5.因此02，则00等价于即解不等式组得a5或a.因此2a5.综合，可知a的取值范围为0a5.题型四根据图形位置或形状变化分类讨论例4.有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是解根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱锥形的铁架，有以下两种情况：(1)底面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图(1