平面向量知识点总结精华资料全

1、必修4平面向量知识点小结一、向量的基本概念1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移.举例1已知A(1,2),B(4,2),则把向量器按向量a(1,3)平移后得到的向量是.结果：(3，。)2 .零向量：长度为。的向量叫零向量，记作：。，规定：零向量的方向是任意的；3 .单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线uuu的单位向量是舞)；|ab|4 .相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5 .平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做

2、平行向量，记作：a/b,规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！(因为有。)；三点a、b、c共线AB战共线.6 .相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量记作a.举例2如下列命题:(1)若由面,则abr.(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.(3)若AB粕，则ABCD是平行四边形.(4)若ABCD是平行四边形，则匿DC.(5)若ab,bC,则aC.(6)若a/b,b/C则a/C.其中正确的是.结

3、果：(4)(5)二、向量的表示方法1 .几何表示：用带箭头的有向线段表示，如器，注意起点在前，终点在后；2 .符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a,b,c等；3 .坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与X轴、y轴方向相同的两个单位向量r，r为基底，则平面内的任一向量a可表示为arX；y；(x,y),称(x,y)为向量1的坐标，a(x,y)叫做向量1的坐标表下.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.三、平面向量的基本定理定理设eg同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对(i,2),使az2鼠(1)定理核心：a4世；(2)从左向右看，是对向量

4、a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.(3)向量的正交分解：当n时，就说a启卷为对向量士的正交分解.举例3(1)若a(1,1),b0,1),c(1,2),则c结果:1b.(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.3(0,0),8(1,2)B.11(1,2),e(5,7)C.g(3,5),e(6,10)D.&(2,3)021,324(3)已知Ad,BE分别是AABC的边BC,AC可用向量a,b表示为.结果：§.3(4)已知AABC中，点D在BC边上，且上的中线，且器a能b,贝UBur值是.结果:四、实数与向量的积0.4；b.3unrCDuuiruuruuru

5、ur2DB)CDrABsAC)灿sRJ实数与向量a的积是一个向量，记作九下：它的长度和方向规定如(i)模：a11启；(2)方向：当o时，a的方向与a的方向相同，当o时，a的方向与a的方向相反，当0时，a0,r住息：a0.五、平面向量的数量积1 .两个向量的夹角：对于非零向量a,b,作戕a,潴b,则把AOB(0)称为向量a,b的夹角.当0时，a,b同向；当时，a,b反向；当；时，a,b垂直.2 .平面向量的数量积：如果两个非零向量a,b,它们的夹角为，我们把数量|J|b|cos叫做a与b的数量积(或内积或点积)，记作：al,rr即ab|a|b|cos.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量

6、积是一个实数，不再是一个向量.举例4(1)MBC中，滞|3,炭|4,|BC|5,则ABBC.结果：9.(2)已知a1,2,b0,2,cakb,；a；,c与；的夹角为则k.结果：1.(3)已知山2,而5,ab3,则an.结果：岳.(4)已知a,b是两个非零向量，且向小由b|,则a与a。的夹角为.结果：30。.rr3.向量b在向量上的投影：|b|cos,它是一个实数，但不一定大于0.举例5已知由3,|b|5,且ab12,则向量a在向量：上的投影为.结果：152.4 .ab的几何意义：数量积ab等于a的模向与b在a上的投影的积.5 .向量数量积的性质：设两个非零向量a,b,其夹角为，则：(1)bab

7、0；rrr(2)当a、b同向日寸，ab|a|b|,特力U地，aaa|a|a|;ab|b|是a、b同向的充要分条件；当a、br反向时，ab|a|b|,ab|:|b|是a、b反向的充要分条件；当为锐角时，ab0,且a、4不同向，ab0是为锐角的必要不充分条件；当为钝角时，ab0,且a、4不反向；ab0是为钝角的必要不充分条件.rrr(3)非零向量a,b夹角的计算公式：cos冲；ab山也.|a|b|举例6(1)已知a(,2),b(3,2),如果a与1r的夹角为锐角，则的取值范围是.结果：4或0且；(2)已知AOFQ的面积为S,且器品1,若1S,则器，品夹角的取值范围是.结果：*；43(3)已知(co

8、sx,sinx)b(cosy,siny)且满足|kab1731akb|(其中k0).用k表示abr；求N的最小值，并求此时a与b的夹角的大小.结果：Nk_2(k0)；最小值为鼠60o.六、向量的运算1 .几何运算(1)向量加法运算法则：平行四边形法则；三角形法则.运算形式：若ABa,BCb,则向量AC叫做a与b的和，即rruumuurimrabABBCAC；作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.(2)向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若ABa,ACb,则abABACCA,即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同.举例7(1)化简：AB能对

9、；ABad鸵；(UlB品(AC品).结果：AS；Ci；0；(2)若正方形abcd的边长为1,UUBa,BCb,ACc,则|abC|.结果：2乏；(3)若0是。所在平面内一点，且满足蹲能潴鸵2OA，则MBC的形状为.结果：直角三角形；(4)若D为"BC的边BC的中点，"BC所在平面内有一点P,满足uuu战器CP0,设霜，则的值为:结果：2;(5)若点o是ABC的外心，且0A能CO0,则ABC的内角C为:结果：120。.r2 .坐标运算：设a(x,yi),b区.)，则(1)向量的加减法运算：ab(xiX2,yiy2),0rb(xiX2,yiy2).举例8(1)已知点A(2,3)

10、,B(5,4),C(7,10),若器器Ac(R),则当时，点P在第一、三象限的角平分线上.结果：3(2)已知A(2,3),B(1,4),且.(sinx,cosy),x,y(，),贝Uxy.结果：否或万；(3)已知作用在点A(1,1)的三个力£(3,4),Fr2(2,5),F3(3,1),则合力ffFrF：的终点坐标是.结果：(9,D.(2)实数与向量的积：0(xj)(x,y).(3)若A-B3yz),则AB%),即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标举例9设A(2,3)B(1,5)且AC【ABAD31AB则C,D的坐标分别是3.结果：(1,131),(7,9

11、).r(4)平面向重数重积：abx1x2ym.举例10已知向量0(sinx,cosx)b(sinx,sinx)C(1,0).(1)若x1求向量。、C的夹角；3(2)若x3r4,函数f3ab的最大值为，求的值.结果：(1)150。；(2)1或壶1.(5)向量的模：a2|a|2x2y2|a|&F.举例11已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60。，那么ia3bi=.结果：病.(6)两点间的距离：若AJ,%),B(x2,y2),则|AB|gx)2(y2yj2.举例12如图，在平面斜坐标系xOy中，xOy60。，号向上任一i点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若器4捻，其中疑分别为与x轴、y

12、轴同方向的单位向量，则p点斜坐标为(内).(1)若点P的斜坐标为(2,2),求p到o的距离1Poi；(2)求以o为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xoy中的方程.结果：(1)2；(2)x2y2xy10.七、向量的运算律3 .交换律：abba,(a)()si,<abb<a;4 .结合律：abc(ab)C,&bCar(bC),(a)b(3b)<a(b)；5 .分配律：()aaa,mb)ab,(ab)CacLc.举例13给出下列命题：a/C)abac；a(bC)gb)c；rorb-或r2brorbrar.Mu2贝ra2>r若""则ac；命a2；器？；其

13、中正确的是.结果：.说明：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a(bC)(ab)c,为什么？八、向量平行(共线)的充要条件rrrrrr2rr2a/bab(ab)(|a|b|)x1y2y1x20.举例14(1)若向量a(x,1),b(4,x),当x时，与b共线且方向相同.结果：2.(2)已知aa)，b(4,x),ua2：,r2ab,且u/r,则x.结果：4.(3)设PA(k,12),

14、PB(4,5),PC(10,k),则k曰寸，A,B,C共线.结果：2或11.九、向量垂直的充要条件rrrrrrrabab0|ab|ab|xx?yy20.ujinuuiruuuuuirABACABAC付力1地-uu-uuiruuuuuir.|AB|AC|AB|AC|举例15(1)已知OA(1,2),OB(3,m),若戕器，则m.结果：m:；(2)以原点。和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,B90,则点b的坐标是.结果：(1,3)或(3,1);(3)已知n(a,b)向量4m,且而由，则m的坐标是.结果：(b,a)或(b,a).十、线段的定比分点1 .定义：设点P是直线PR上异于P、F2

15、的任意一点，若存在一个实数，使ppr靛，则实数叫做点p分有向线段器；所成的比，p点叫做有向线段FUFU的以定比为的定比分点.2 .的符号与分点p的位置之间的关系(Dp内分线段puFr,即点p在线段PR上o；(2) p外分线段P片时，点p在线段PP2的延长线上1,点P在线段P1P2的反向延长线上1o.注：若点P分有向线段PP：所成的比为，则点P分有向线段P2a所成的比为L举例16若点p分AB所成的比为3则a分BP所成的比为.结果：7.33 .线段的定比分点坐标公式：设Pa,%),PzGm),点P(x,y)分有向线段片由所成的比为，则定比分X点坐标公式为X1X2,1(V1V2.11).特别地，当1

16、时，就得到线段PP2的中点坐标公式X1X22ViV22y说明：(1)在使用定比分点的坐标公式时，应明确(X,y),(3)、(”2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.(2)在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比.举例17(1)若M(3,2),N(6,1),且晶1湍，则点P的坐标为.3结果：(6,73)；(2)已知A(a,0),B(3,2a),直线y；ax与线段AB交于M,且1AMr2MB，则a.结果：2或4.十一i、平移公式如果点P(x,y)按向量a(h,k)平移至P(x,y),则xxh,;曲线f(x,y)0按yyk.向量(h,k)平移得曲线f(

17、xh,yk)0.说明：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？(2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！举例18(1)按向量a把(2,3)平移到(1,2),则按向量a把点(7,2)平移到点.结果：(8,3)；(2)函数ysin2x的图象按向量3平移后，所得函数的解析式是ycos2x1,贝Ja.名吉果:：(-,1).十二、向量中一些常用的结论1 .一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2 .模的性质:自|b|ab|向|b|.(1)右边等号成立条件：a、g同向或a、b中有01a。臼自；(2)左边等号成立条件：a、k反向或a、b中有0|aId|<a|b|；(3)当a、b不共线a|bab11abi.3.三角形重心公式在AABC中,若A(x1,y),B(x2,y2),雎芈)，则其重心的坐标为G(Xix22Viy2y3举例19若"BC的三边的中点分别为A(2,1)、B(3,4)、C(1,1),则ZABC的重心的坐标为.结果：|4.335.三角形“三心”的向量表示/、uL01aliuunujuiurninnunrr(1)PG(PAPBPC)G为ABC的重心，特别地PAPBPC0G3为乙ABC的重心.uuiuuruuriunu(2)PAPBPBPCnurPCuuiPAP为ABC的垂心./u、uuuirUULTuujurLUTUUL