导数的实际应用

1、由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）于是底面正六边形的面积为（单位:2.1实际问题中的导数的意义【学习目标】掌握在实际生活中问题的求解方法会利用导数求解最值【重点难点】函数建模过程【自主检测】1:（面积容积最大问题）请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示），试问当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为多少时，帐篷的体积最大？思路点拨：设出项点O到底面中心O1的距离x后，求出底面边长，表示帐篷的体积解：设OO1为xm,贝U1<x<433一(82+2x-x2）,帐篷的体积为（单位:3226(82x-x)43-321.33V(x)

2、=(82x-x)(x-1)1(1612x-x)232.3。求导数，得V'(x)=(12-3x2)2令V'（x）=0,解得x=-2（不合题意，舍去），x=2当1<x<2时，V'(x)>0,V(x)为增函数;当2cx<4时，V'(x)<0,V(x)为减函数.所以，当x=2时，V（x）最大答：当OO1为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为16，Gm3方法技巧：设出一个变量后，其他变量都用这个变量表示，然后列出所求变量的函数式，再求最值，这是这类题目的常规解决。2:（用料最省问题）统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）1.

3、3关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表本为y=x3-3x+812800080(0<x£120),已知甲、乙两地相距100千米。当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？思路点拨：设出汽车的速度为x千米/小时，然后表示出从甲地到乙地的耗油量解：当x=40千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了幽=2.5小时，要耗油40133一(父40-一父40+8)父2.5=17.5(升)12800080当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了100小时，设耗油量为h(x)升，依题意得1h(x)=

4、(1280003801008)211280800+x154x800-803小)二就一下二(0三x<120)令h'(x)当xW(0,80)时，h'(x)<0,h(x)是减函数当xW(80,120)时，h'(x)>0,h(x)是增函数当x=80时，h(x)取得极小值45=11.25(升)一.1Q3止匕时h(x)=(80一一808)12800080答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量少，最少为11.25方法技巧：正确表示出函数解析式，然后利用导数求最值，其中把实际问题转化为数学问题,正确列出解析式是解题的关键【经典体验】例1:(费用

5、量省问题)要设计一容积为V的有盖圆柱形储油罐盖，已知侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径r和高h之比为何值时造价最省？思路点拨：把圆柱的高用底面半径r表示出来，然后把造价表示为r的函数解：由V=炉、，得h=V2,设盖的单位面积造价为a,则储油罐的造价为二r2224aVS(r)=a:r-2a2二rh，4a二r=5a二r-r由S'(r)=10a-：r4aV二0由问题的实际意义，上述S的唯一可能极值点就是S的最小值点5时，储油罐的造价最省2方法技巧：本题用半径r把高h表示出来，把实际问题转化为关于半径r的函数问题是关键例2:（利

6、润最大问题）某商品每件成本9元，销售价30元，每星期卖出432件。如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元0<x<30）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大思路点拨：由x2时，多卖出的商品件数为24件，可求得正比例函数，进而表示出利润与x的关系解：设商品降低x元，多卖出的商品数为kx2,若记商品在一个星期的获利为f（x）,则由题意f(x)=(30-x-9)(432kx2)=(21-x)(432kx2)又由已知条件24=k,22得k=632.

7、f(x)-6x126x-4321x9072x0,30由知f'(x)=18x2125x-432-18(x-2)(x-12)当x变化时，f'(x),f(x)变化情况如下表：x(0,2)2(2,12)12(12,30)f'(x)一0+0一f(x)极小值/极大值故x=12时，f(x)有极大值，又f(0)=9072f(12)=11664所以定价为3012=18元，能使一个星期的商品销售利润最大例3:要设计一种圆柱形，容积为方法技巧：利润（收益）=销售额一成本，在有前利润（收益）的问题中，注意应用此公式列函数式500ml的一体化易拉罐金属包装，如何设计才使表面积最省？解：设r,h2

8、500二rh=500h=2二x法2:250021000y-:r2二r2-1r二rr500500.33,rr21000y二1rr1000y'=2二rt-r【自主探究】1、有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸边（0:二r）令y=0A处，乙与甲在同侧,乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸垂足D与A相距50km,两厂要在岸边合建一个传水站C,从传水站到甲厂和乙厂水管费用分别是3a元和5a元，问传水站C建在岸边何处才能使费用最省?解：法1:设CD=x,AC=50x,BC=Vx2+402y=3a(50-x)5a.x2402(0:二x:二50)5ax人y'=_3a+j令y'=0x

9、=30.x2402法2:设/BCD=日，BC=-40-(0<0<-)AC=5040co6sin125-3cossinr40f=3a(50-40cot1)5a=150a40asin1f'(1)=40a315cos-二0sin二AC=50-40cot1-202.2最大值、最小值问题【学习目标】1 .了解函数的最值与导数的关系；2 .会求函数的最值；3 .能根据函数的单调性、极值、最值刻画函数的图像【重点难点】函数最值的求解【自主检测】1 .求下列函数的最值：-、11(1) f(x)=x+,xWL,3；xII3(2) f(x)=3x-xxWL2,2；(3) f(x)=x,xW1-

10、2,2；x，1(4) f(x)J(ex-L),xW0,212【知识点拨】我们知道，如果在函数f(x)定义域I内存在x0,使得对任意的xWI,总有f(x)E(2)f(x0),那么f(x。)为函数在定义域上的最大(小)值。函数的极值是相对函数定义域内某一局部而言的，而且极值可能不唯一，而函数的最值是相对函数的定义域整体而言的，而且最值是唯一的。阅读课本。并完成下列问题：(1)求可导函数的最值的基本步骤是什么?1.1(2)你能大致地回出函数f(x)=x+sinx,xb,2n的图像吗?2【经典体验】1例1.已知函数f(x)=x+sinx。2(1)求函数f(x)的极值；(2)确定函数f(x)在区间0,2

11、冗上的单调区间；(3)求函数f(x)在区间b,2n上的最大值和最小值；其值域是什么?例2:设f(x)=x3-x2-2x+5,当xW£-1,2】时，f(x)<m恒成立，求实数m的取值范2围。例3.设函数f(x)是定义在1-1,0(0,1上的偶函数，当xw_1,0/寸,3f(x)=x-ax,a-R(1)当xW(0,1时，求f(x)的解析式；(2)若函数在x(0,1上单调，求a的取值范围；(3)是否存在a,使得当xw(0,1团，f(x)有最大值1?变式训练：已知f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3,对一切x>0,都有2f(x)之g(x)恒成立，求实数a的取值范围。【自主探究】2x问题1:求函数y=xe的最小值，并刻回其函数图像。(y=-y呢？)e问题2:求函数f(x)=3x_x3,xWL2,2的最值。【课堂反馈