2019年数学(理)二轮名师公开课精品教案专题二第二讲三角恒等变换与解三角形含解析

1、第二讲三角恒等变换与解三角形考情分析明确方向V年份卷别考查角度及命题位置命题分析及学科素养2018I卷利用正、余弦定理解三角形T17命题分析三角变换及解三角形是高考考查的热点，然而单独考查二角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角变换进行化简，综合性比较强，但难度不大.学科素养三角变换及解三角形在学生能力考查中主要考查逻辑推理及数学运算两大素养，通过三角恒等变换及正、余弦定理来求解相关问题.n卷二倍角公式应用及余弦定理解三角形T6出卷三角变换求值于4解三角形T92017I卷三角变换与正弦定理解三角形T17n卷三角变换与余弦定理解三角形T17出卷利

2、用余弦定理解三角形及面积问题T172016n卷三角恒等变换求值问题T9出卷三角恒等变换求值问题于5解三角形(正、余弦定理)T8洪练结合11考点一三角恒等变换授课提示：对应学生用书第22页悟通方法结论三角函数恒等变换“四大策略”常值代换：特别是“1的代换，1=sin2升cos29=tan45等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin22cos2a=(sin2cos2o)+cos2a,a=(a3+3等;(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦.全练一一快速解答1. (2018 合肥模拟)sin 18sin78-cos162cos78=()A.B.7 C.

3、2D.2解析：sin 18 sin 78 cos 162cos78=sin18sin78;cos18°cos78=cos(7818)=cos60=2,故选D.答案：D2. (2018高考全国卷出)若sina=1,则cos2a=()387八78A.9B.9C-9D-9解析：sina=(,3.cos2a=12sin2a=12X”_Z2注厂9.故选B.答案：Bsincosflo3. （2018沈阳模拟）已知tan0=2,则一一十sin2。的值为（）1 16B.717D.10sin。+ cos 0解析：原式+.2 一sin 0=sin 0+ cos 0.2Asin 0. 一 .2 一tan

4、0+ 1 tan 0sin 0+ sin2 0+ cos2 0tan 0 + tan2 0+ 123tan仁2代入，得原式=23,故选C.答案：C4. （2017高考全国卷I ）已知2), tanf r兀a= 2,贝U cos( a 4)=一,一_TT斛析：a (0, 2), tan a= 2sin2,5(X=匚)55cos a= 5 , . cos( a 4) = cos ocos 4+ sin,兀叁，迪,也3痂°sin4=2*(5+5)=10.4类题通法工三角函数式的化简方法及基本思路（1）化简方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降哥或升哥，1”的代换，辅助角公式等.（2）化简

5、基本思路“一角二名三结构”，即：一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式；二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦关于sinacosa的齐次分式化切等；三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”“遇根式化被开方式为完全平方式讲练结合解三角形的基本问题及应用授课提示：对应学生用书第22页悟通一一方法结论正、余弦定理、三角形面积公式a+ b+c(1) - 7= = - 3T= ； T"sin A sin B sin C sin A+ sin B+ sin C= 2R(R为

6、 ABC外接圆的半径).变形：a=2Rsin A, b=2Rsin B, c= 2Rsin C;sin A=2, sin B =三,sin C = ?;sn 2R'2R'2R'a ： b ： c= sin A ： sin B ： sin C.(2)a2 = b2 + c2-2bccos A, b2= a2 + c2-2accos B,c2= a2+ b2 2abcos C.堆八 b2+c2a2a2+c2b2推论：cos A =, cos B =,2bc2accos C=a2+b2c22ab变形：b2+c2a2= 2bccos A, a2+c2b2= 2accos B,a

7、2+ b2 c2= 2abcos C.(3)字 ABC = absin C = acsin B=Qbcsin A.赐例(1)(2017高考全国卷I)AABC的内角A,B,C的对边分别为a, b, c.已知sinu考点二B+sinA(sinCcosC)=0,a=2,兀BW兀A.12入兀C.4r兀D.3解析：因为 sin B+ sin A(sinC-cos C)=0,所以sin(A+C) + sin AsinC sin Acos C=0,所以sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC=0,整理得sinC(sinA+cosA)=0,因为sinCw0,所以sinA+cosA=

8、0,所以tanA=-1,因为AC(0,力，所以A=3jt,由4,也x乎正弦定理得sinC=UnA=-2=1,又0<C<：，所以C=M答案：B(2)(2018高考全国卷H)在4ABC中，cosf=¥，BC=1，AC=5,则AB=()A.44B./30C.牺D.2小解析：,COSC=噜,cos C= 2cos22 - 1 = 2x在 ABC 中，由余弦定理，得 AB2= AC2+ BC2 2AC BC cos C= 52+12-2X5X1X= 32,AB=32=4/2.故选A.答案：A(3)(2018福州*II拟)如图，小明同学在山顶 A处观测到一辆汽车在 一条水平的公路上沿

9、直线匀速行驶，小明在A处测得公路上 B, C两点的俯角分别为 30°, 45°,且/ BAC=135°.若山高AD=100 m,汽车从B点到C点历时14 s,则这辆汽车的速度约为 m/s(精确到0.1).参考数据： 啦1.414,45= 2.236.解析：因为小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为 30。，45。，所以/ BAD =60°,/ CAD = 45°.设这辆汽车的速度为v m/s,贝U BC=14v,在 RtAADB 中，AB =ADcos/ BAD由余弦定理,ADc亍200.在RtAADC中，AC=-AD一=100亍10072

10、.在ABC中,cos60cos/CADcos45v得BC2=AC2+AB2-2ACABcos/BAC,所以(14v)2=(10072)2+2002-2X100J2X200Xcos135°,所以v=吗五=22.6,所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.答案：22.6T类题通法/11 .解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2 .关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“

11、三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.练通一一即学即用1. （2018南昌模拟）在 ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cos2A=sinA,bc=2,则ABC的面积为（）C. 1D. 21a，2解析：由cos2A=sinA,得12sin2A=sinA,解得sinA=：(负值舍去),由bc=2,可1111得ABC的面积S=bcsinA=胃2乂亡答案：A.12.(2018广州模拟)在ABC中，/ACB=60,BC>1,AC=AB+,当ABC的周长最短时，BC的长是解析：设AC=b,AB=c,BC=a,ABC的周长为l,.11由b=c+2，得l=a+b+c=a+2c+.a2

12、+b2-c21ccc又c0s60=2,即ab=a+bc，a c+2 i= a2+A,211a2a+4c=；a- 12a2-a+1121l=a+2c+2=a+a1+2U考点三解三角形的综合问题授课提示：对应学生用书第23页悟通方法结论三角形中的常用结论A+BA+B=兀一C, -2-=口 _C2 2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.(4)在ABC中，tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC(A,B,Cw).典例(2017高考全国卷n)(12分)4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已r.qTisin(AC)=8si

13、n（1）求COSB；若a+c=6,ABC的面积为2,求b.?学审题条件信息想到方法注意什么信息？：两角和与半角的三角等式关系三角形内角和定理及倍角公式(1)三角形中的三角恒等关系式化简时，三角形内角和定理及倍角公式的正确使用(2)转化与化归思想、整体代入思想在解题过程中的应用信息？：求cosB化已知条件为cosB的关系式信息？：a+c=6信息？：三角形面积为2寻找平方后与余弦定理中a2+c2的关系式利用囿枳公式来求ac的值规范解答由题设及A+B+C=兀得sinB=8sin22,.（2分）即sinB=4（1一cosB）,i*（3分）故17cos2B32cosB+15=0,（4分）解得cosB=1

14、7,cosB=1（舍去）（6分）158八(2)由 cos B = , 4# sin B =, W(7 分)14八故 S*bc = acsln B=iyac.卜(8分)又 SAABC = 2 ,则17 ac=2 .(9分)由余弦定理及a+ c=6得b2= a2+ c2- 2accos B= (a+c)2-2ac(1 + cos B) (10分)= 36 2x£x j + %=4 (11分)所以 b=2.i (12 分)1.与三角形面积有关的问题的解题模型:根据条件.利用三角变摸公式化尚已知条件等式（再利用正.余弦定理化边电化角；先转化0冉选；根据条件选择前积公式,多用三角四的面积S=面

15、积公式| ； abiin C- actin H-后求值：若求诞值，注意根据条件利用基本不等式求最值若求值可根据条件直接或出2.学科素养：通过三角恒等变换与利用正、余弦定理着重考查逻辑推理与数学运算两L；练通一一即学即用(2018长郡中学模拟)在锐角ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且4sinAcos2A73cos(B+C)=sin3A+73.(1)求A的大小；(2)若b=2,求ABC面积的取值范围.解析：(1)A+B+C=兀，.cos(B+C)=cosA，,-3A=2A+A,sin3A=sin(2A+A)=sin2AcosA+cos2AsinA，又sin2A=2sinAcosA，c

16、os2A=2cos2A1，将代入已知，得2sin2AcosA+V3cosA=sin2AcosA+cos2AsinA+313,整理得sinA+q3cosA=3,即sina+7.!=乎,32又AC0,2)2 .a+3=等即a=3(2)由(1)得B+C=§,，C=§B,33.ABC为锐角三角形， -V-B623Bb2)解得B&2)在ABC中，由正弦定理得2=-sinBsinC2sinB c=辽=-3-="+1,sinBsinBtanB又醒92).福C(0,V3)，.cC(1,4)，o2tanbSABcJcsinA=冬,空ABCC,吟，2V3)课后训练提升能力：解

17、方法授课提示：对应学生用书第124页、选择题1. (2018合肥调研)已知xC(0,7),且cosgx2i=sin2x,则tanx-兀等于(A1B-C.3D.333解析：由cos(2x/三sin2x得sin2x=sin2x,.1x(0,力，tanx=2,tanjr""tan x 1 _ 141 + tan x 3.答案：A(2升6；的值为()2. (2018成都模拟)已知sina=-0,P,4出+3B.43,3C.103小一4D.io-J叫310衣？，2?''C0sa=1o，sin2'=2sin0cos-2X噜x噜=%亳cos2a=1-2sin2a=

18、12xlO0|2=1-5=5,.2_4X31_413-3c0s«+65X2-5*210答案：A3.(2018昆明三中、五溪一中联考)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tanC等于()34A.4叼C.D.解析：因为2S=(a+b)2c2=a2+b2c2+2ab,由面积公式与余弦定理，得absinC=2abcosC+2ab,即sinC2cosC=2,所以(sinC2cosC)2=4,sin2C-4sinCcosC+4cos2C_4sin2C+cos2C'所以tan2C4tanC+4tan2C+1解得tanC=-4或

19、tanC=0(舍去).3答案：Cc一.4.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b<cosA,则ABC为(A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形解析：根据正弦定理得b=snC<cosA,即sinC<sinBcosA.A+B+C=Tt,sinC=sin(A+B)<sinBcosA,整理得sinAcosB<0.又三角形中 sin A>0, cos B<0,2<B< 5.ABC为钝角三角形.答案：A5.如图，在 ABC中，/兀C=3'BC=4,点D在边AC上，AD =DB, DE± AB, E为垂

20、足.若DE = 2yf2,则 cos A 等于()B-解析：依题意得，BD=AD=sDEA=sn|，/BDC=/ABD+/A=2/A.在ABS中,BCBDsin/BDC sin Csin 2A餐卢即 sin A _3.3sin A2sin Acos AJ"2 ,由此解得cos A = .3sin A答案：C6. （2018高考全国卷I）已知角a的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点 A(1, a), B(2,b),且 cos 2 a= 2,则 |ab|=()31 A.5B.15C. 5D.解析：由 cos 2 a= 2,彳导 cos2 a- sin2 a= 233c

21、os2 a sin2 acos a+ sin a22,即21 tan a 21 + tan2 a 3'tan a|a-b|=g故选B.答案：B7.（2018武汉调研）如图，据气象部门预报,在距离某码头南偏东 45 °方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（）B. 15 hA.14hC.16hD.17h解析：记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达B点位置（图略），在4OAB中，OA=600,AB=20t,ZOAB=45°,根据余弦定理得6002

22、+400t2-2X20tX600X?22<4502,即4t2-1202t+1575<0,解得3叱15<t<301+15,所以小3072+1530啦15"心花"口=-=15（h）,故选B.答案：B8. （2018武汉调研）在锐角ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2bsinC,则tanA+tanB+tanC的最小值是（）A.4B.373C.8D.6V3解析：由a=2bsinC得sinA=2sinBsinC,sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,即tanB+tanC=2tanBtanC.又三角形中的三角

23、恒等式tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,tanAtanBtanC=,tan Atan A 2tanA2'1. tanAtanBtanC=tanA4-= t+-+4>8,令tanA2=t,得tanAtanBtanC=,一.4当且仅当t=；,即t=2,tanA=4时，取等号.答案：C二、填空题9. （2018广西三市一联）在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinB=sinC,cosC=1,ABC的面积为4,则c=.3解析：由asinB=42sinC,得ab=42c,由cosC=1,得sinC=2p,33贝US*BC=：absinC=：c=4,解得

24、c=6.23答案：610. （2018皖南八校联考）若代以之cosja；=272cos2a,则sin2a=.2,斛析：由已知得勺(cosa+sino)=2-2(cosasina)(cosa+sina),所以cosa+sina=0或cosa-sina=4,由 cos a+ sin a= 0 得 tan a=一1,因为a,2所以cosa+sina=0不满足条件;,.11由cosasina=4,两边平方得1sin2a=,11. 已知ABC中，AB+*AC=6,BC=4,D为BC的中点，则当AD最小时，ABC的面积为.解析：AC一 .ABC 的面积 S=AC BC sin/ACB = V7.答案：71

25、2. (2018成都模拟)已知 ABC中，AC = W, BC=J6, ABC的面积为33.若线段BA的延长线上存在点 D,使/ BDC = ：，则CD =1解析：因为 Saabc=gAC BC sin/ BCA,即字=；x 也X"76xsin/ BCA,=AD2+CD22ADCDcos/ADC,且AB2=AD2+BD2-2ADBDcos/ADB,即AC2=AD2+224ADcos/ADC,且(6/2AC)2=AD2+22-4ADcos/ADB,/ADB=兀一/ADC,.AC2+(6-2AC)2=2AD2+8,2=3AC2T20AC+28=3(AC-2v2f+4一=2=2，当AC=2

26、也时，AD取最小值也此时cosZACB=8+V2=平，828.sin/ACB=4,8._, 一TT因为/ BAC>/ BDC = j,所以/ BCA=6c,所以 cos/ BCA =3.在 ABC中，AB2 = AC2+ BC2 2AC BC cos/ BCA= 2+6-2X2X6X3= 2,所以AB= 2,所以/ ABC = ',在 BCD中,BCCDsinZ BDC sin/DBC'即涔器解得CDf.22答案：3三、解答题13. (2018武汉调研)在锐角 ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足cos71一一一一 一 i 兀 C i i 兀，2A-cos

27、 2B+ 2cost B jcos3十0.(1)求角A的值；(2)若b=43且bwa,求a的取值范围.解析：（1）由 cos 2A cos 2B + 2cosB ；= 0，得 2sin2B 2sin2A + 2 3cos2B 4sin2B U 0,化简得sin A=呼,又匕ABC为锐角三角形，故A 兀A=-3.（2）/b=V3<a兀兀 兀兀 cna, . 3WC<a，6<B<3,131- 2<sin B< 2 .由正弦定理,sin A sin B3.a一一sin B' sin B'aC 弧 3）.由 sin B C f1QAD是BC边上的中线

28、，记/ CAD= %14.（2018唐山模拟）在ABC中，AB=2AC=2,/BAD=3(1)求sina:sin3；(2)若tana=sinZBAC,求BC.解析：(1)AD为BC边上的中线，- S*ACD=S*ABD，,11- 2ACADsina=2ABADsin3,- .sina：sin3=AB：AC=2：1.(2)tana=sin/BAC=sin(a+3),sina=sin(a+3cosa,2sin3=sin(a+耻osa,1.2sin(a+3)a=sin(a+9cosa,sin(a+9cosa=2cos(就sina,sin(a+9=2cos(a+j)tana,又tana=sin/BAC

29、=sin(a十份w0,1cos(a+3)=cos/BAC=2，在ABC中,BC2=AB2+AC2-2ABACcos/BAC=3,bc=/3.15.(2018广州模拟)已知a,b,c是ABC中角A,B,C的对边，且3cosBcosC+22=3sinBsinC+2cosA.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S=573,b=5,求sinBsinC的值.解析：(1)由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A,得3cos(B+C)+2=2cos2A,即2cos2A+3cosA-2=0,即(2cosA-1)(cosA+2)=0,1解得cosA=2或cosA=-2(舍去).因为0VA兀，所以A=3，(2)由S=2bcsinA=3bc=5,得bc=20,因为b=5,所以c=4.由余弦定理a2=b2+c22bccosA,得a2=25+162x20X；=21,根