大一上学期高数复习要点

1、大一上学期高数复习要点同志们,马上就要测试了,考虑到这是你们上大学后的第一个春节,为了不影响阖家团圆的气氛,营造以人文本,积极向上,相互理解的师生关系,减轻大家学习负担,以下帮大家梳理本学期知识脉络,抓住复习重点；1 .主要以教材为主,看教材时,先把教材看完一节就做一节的练习,看完一章后,通过看小结对整一章的内容进行总复习.2 .掌握重点的知识,对于没有要求的局部可以少花时间或放弃,重点掌握要求的内容,大胆放弃老师不做要求的内容.3 .复习自然离不开大量的练习,熟悉公式然后才能熟练任用.结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式.没有用到公式的要死抓定义定理！1 .函数与极限二.导数与微分三.微分

2、中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习.一函数与极限熟悉差集对偶律(最好掌握证实过程)邻域(去心邻域)函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准那么(重新推导证实过程)熟练运用两个重要极限第二准那么会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理本章公式：两个重要极限：两个重要极限：常用的8个等价无穷4公式：当X一09寸,sinxxtanxxarcsinxxarctanxxl-cosxl/2(xA2)(eAx)-lxln(l+x)x(l+xjl/nj-l(1/n)*x_ii.iaiuii2 .导数与微分

3、熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数(密y=(ctgx)=-csc"*(5-ec=secxrgx(C5CX)R=-CCXCtgX(*F=/加日rlua(arcminx)'=.VI-V(arecasxV=-./vi(曲-ugxj一=l+.r*=j空热尸-InkomH+.ja然去=E局x|-i-C|sccxa5c=ki|ste*j网+C卜5U犬去=hi|cscH-e*一CI=I量代加rg肝CJCOJVrdK*:,sinvea>tg就x=s比m+C|csffctgxx-cscv+DJ,堂SQX-+.JIm|e=二

4、nji+±#)+U;*:_/一|siifc口gxdx=1.-:nj+,+Intr42十或十C三.微分中值定理与导致的应用:拉格朗H中值定理；AA-共向=F；b-占柯西中值定理:Kb-As)Kb-As)土)777)当FG=时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理.洛必达法那么：利用洛必达法那么求未定式的极限是微分学中的重点之一,在解题中应注意：在着手求极限以前,首先要检查是否满足或型,否那么滥用洛必达法那么会出错.当不存在时不包括8情形,就不能用洛必达法那么,这时称洛必达法那么失效,应从另外途径求极限.洛必达法那么可连续屡次使用,直到求出极限为止洛必达法那么是求未定式极限的有效工具,但是如

5、果仅用洛必达法那么,往往计算会十分繁琐,因此一定要与其他方法相结合,比方及时将非零极限的乘积因子别离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.曲线的凹凸性与拐点：注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间求极值和最值利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断注意二阶导数的符号四.不定积分：要求：将例题重新做一遍对原函数的理解原函数与不定积分1根本积分表根本积分表共24个根本积分公式不定积分的性质f工士营区=I/去±1£工出I=上|力公kH02第一类换元法揍截分法2第二类换元法三角代换无理代换倒代换3分部枳分法LT+-L'TfUVfdx=dx-fUVdy：

6、f=二丁一U'WUf切中含有可考虑用代换产二.sinf-x=atanrx=asecr极限和中值定理的证实,最后到达的效果是会三算两证求极限,求导数,求积分定会取得满意的成绩！高数高频易错点1 .求极限请注意自变量趋向什么.我们知道：lim(x趋向0)sinx/x=1,但是当x趋向无穷limsinx/x=0,原因：无穷小量x有界函数=无穷小量.这里：|sinx|<=1,1/x是无穷小量.再次重申：请注意x趋向什么.2 .关于极限的保号性.假设limf(x)=A,A>0或(A<0),那么存在8>0,当x取x0的6去心x->x0邻域时,f(x)>0(或f(

7、x)<0).这是最原始结论：如果结论中不取去心邻域,那么结论是错的.比方举例分段函数：当x=0时,f(x)=-1,当x不为0时,f(x)=xA2+1,显然lim(x趋向0)f(x)=1>0,然而并不满足f(x)>0(在x=0处).介绍这个定理的作用：解一类题.请看：f(x)可导,且当x趋向0,limf(x)/|x|=1,判断f(x)是否存在极值点.由于f(x)可导,那么f(x)必连续,由于lim(x趋向0)f(x)/|x|=1这个极限存在且为1,那么我们得到结论：lim(x趋向0)f(x)=0,否那么不会存在极限的,又由于f(x)连续,那么f(0)=0,令f(x)/|x|=g

8、(x),根据保号性,由于limg(x)=1>0,那么：g(x)>0,那么由于|x|在x趋向0时>0,所以f(x)>0,而0=f(0),所以f(x)>f(0),根据极小值的定义,x=0为f(x)的极小值点.综上：limg(x)=a,a的正负,可以使用保号性.3 .请注意当题目说：x趋向无穷时,那么题目包含两个意思：x趋向正无穷和x趋向负无穷.在含有eAx,arctanx,等等类的题目时,请看清楚x趋向无穷还是趋向正无穷或者是负无穷.补充：在含有绝对值的题目时,这点尤其重要,如果说x趋向无穷,那么在去|时,必须考虑|x|中x是趋向正无穷还是负无穷,当然题目不一定非要以

9、绝对值出现,有些题会以V(xA2)出现.4 .关于和差化积积化和差公式的记忆.8字口诀：同c异s,s异c同.前者用来记住积化和差,后者用来记住和差化积.举例：sinacosb=?由于它们的三角函数名异名,那么使用s,sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b),说明：1,纯粹个人记忆方法,接受不了也正常；2,这个口诀的使用基于你知道=右边的根底轮廓,比方所有的积化和差,右边是1/2()+(或者-)();3,实在不会,死记硬背吧,或者请教别的大神.5 .关于极值点的3种判别法：法一：定义法；法二：假设f(x)可导,f(xo)=0,且f''(x)不为0,那么f(

10、x)在xo处取得极值,假设二阶导<0,取得极大；>0,极小.法三：(n阶判别法):假设f(xo)=二阶导(xo)=勺-1阶导(xo)=0,且n阶导不为0,假设n为偶数,且n阶导>0,极小,反之,极大；假设n为奇数,n阶导不等于0,那么(xo,f(xo)为拐点,xo不是极值点.证明：略6 .参数方程二阶导问题(无数不懂事的孩子搞不清楚),我们说一般地,y表示对x的二阶导数,不是对参数t的二阶导数.y''=dA2y/dxA2=d(dy/dx)/dx,对于求dy/dx,我们采用求关于t的y'(t),和关于t的x'(t),由于dy/dx=(dy/dt)

11、x(dt/dx)=y'(t)/x'(t).举例：y=cost,x=tA2,那么求dy/dx,dA2y/dxA2.标准解答：1:y'(t)=-sint,x'(t)=2t,所以dy/dx=-sint/2t;2:dA2y/dxA2=d(dy/dx)/dx=d(-sint)/2t/dt*(dt/dx)=(-tcost+sint)/(4tA3)综上：二阶导是一个整体记号,不是简单的除法.7 .等价无穷小只能使用于乘除(题外：其实它可以使用于加减的,这里不说,以防混淆).比如：初学者可能会认为这个极限为0,lim(x趋向0)(tanx-sinx)/xA3=0计算思路：(x-

12、x)/xA3=0,事实上它等于1/2.原因：提取tanx后等价无穷小.等价无穷小必须自己去背的,没有人可以帮你.8 .对隐函数求导的问题很多同学搞不清楚.错误一：把变量当做常量.比方：y=xAx,标准解答lny=xlnx,两边对x求导,y'/y=1+lnx,所以y'=(xAx)(1+lnx).错误做法：y=xAx,y'=x(xA(x-1)=xAx.(但愿你们找到了错误在哪),错误二：搞不清楚对x求导是什么意思.当然：y=xA2求导大家都会吧,y'=2x,当出现对§2X2,很多同学就迷茫了,我们说y是x的函数,所以最后必须乘y',对丫A2=*人2

13、求导,得到：2yy'=2x.再那么：对隐函数求导我们把其中一个看成常量,比方y=yx+xA2,那么求导：y'=y+y'x+2x.综上：对隐函数求导,假设是单独y,求导为y',一切关于y的函数(比方丫人2,lny,aAy等),先对这个函数求导再乘y'.9 .函数在某点可导的本质仅仅是该点的问题,与它的邻域无关,也就是说点可导,在中央点的去心邻域内的点未必可导.比方函数f(x)=0当x是有理数.f(x)=xA2当x是无理数.只在x=0处点连续,并可导.按定义可验证在x=0处导数为0.10 .无穷小x有界=无穷小,但是：无穷大x有界未必等于无穷大.正确结论：无

14、穷大x有界=未知,比方：当x趋向正无穷,x,xA2始终为无穷大,而1/x,1/xA2为有界量.注意到：x*(1/xA2)=1/x就是一个无穷小,而xA2*(1/x)=x却是无穷大,而x*(1/x)=1却是有限的.11 .可导与连续是完全不一样的.有些同学看到题目说某个分段函数在某点xo连续,特别开心,他说易得：左导=右导=f(xo),你太天真了.其实：连续是说左极限=右极限=f(xo),可导是：lim(x->xo)f(x)=f(xo),且左导=右导.请搞清楚你要处理的问题.不要学了一个学期都是云里雾里,当然一学期没上过一节课的同学,除外.补充：在一元函数微分学中,可导必然连续,连续未必可

15、导(这个显然嘛,y=|x|在x=0处连续但是不可导).12 .很多初学者认为：/(a到x)f(t)dt中,变量是t,这是错的,你忽略了变限积分的来历,自己去回忆一下变限积分的来历是大有裨益的.记住：这里x是变量,它求导=f(x).13 .还有人问为什么高等数学中分母可以为0,他说比方0/0不是以0为分母,他的错误在于没有搞清楚我们所说的0不是真正的初等数学中的数字0,它表示极限0,由于极限等于0,我们习惯称为0/0形式.也就是说：假设没有lim这个符号,0/0没有意义.事实上：再比方：货真价实的数字1,1人无穷=1,假设是(极限1)人无穷,那么结果待定.高等数学中由于极限的四那么运算包括哥指数

16、运算无法解决形如：0/0,1人无穷,无穷/无穷,等等7类运算.为此,产生了7种特殊的式子：不定式.由于结果不确定,所以称之为不定式.综上：我们现在学的是高等数学,几乎所有问题都是放在极限这个概念下讨论,但是你不能抛弃原有的初等数学知识理论,并且注意区分.14 .求数列极限不可直接使用洛必达,数列是整标函数,每个孤立点不连续,不可导,故不符合洛必达的条件1,为此：正确做法：先令n为x,再使用洛必达,最后换为n.15 .无穷大的倒数是无穷小,无穷小的倒数是无穷大但是请注意：这里的无穷小除去了0.16 .x趋向0,limsinx/x=1不可以使用洛必达法那么证实,原因：(sinx)'=cos

17、x这个公式的证明使用了limsinx/x=1,所以犯了循环论证的错误17 .关于洛必达法那么的运用条件绝非0/0,无穷/无穷那么简单.洛必达的3个条件：x-a时,limf(x)=0,limF(x)=0;在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0;x-a时,lim(f(x)/F'(x)存在或为无穷大那么xfa时,lim(f(x)/F(x)=lim(f(x)/F'(x),请注意：1,第三点很容易被忽略,一般地：含有lim(x趋向无穷)sinx,或者cosx,是不会采用洛必达的；2,在解含有抽象函数f(x)时尤其注意第二点,在求最后一步导时我们使用的是导数

18、定义,也就是你不能不停地洛必达直到把它洛出来,由于你不确定它最后一步时是否满足第二个条件,所3,单侧极限对于第二点以每次做含有抽象函数的题使用洛必达+最后一步使用导数定义!的要求只是去心邻域内单侧可导.(如果你不注意以上这些,虽然在平常测试时有些老师不在意,但是如果你考研的话是会扣一半分以上的)18 .一般地：我们有以下结论：lim(x趋向xo)f(x)=a,那么必然有lim(x趋向xo)|f(x)|=|a|.注意：假设a不为0,上述结论的逆命题未必成立大多是不成立的,假设a=0,上述结论逆命题仍然成立！19 .并不是所有二元函数极限都可以使用极坐标求解尽管极坐标是一个好方法.在使用极坐标时,

19、应该同时注意到：.和p的任意性.比方：(x,y)趋向(0,0),求lim(xy)/(xy),容易证实该极限不存在(一条路径：y=x,另一条：y=xA2-x),倘假设使用极坐标,那么得：limp(cos0sin0)/(cos0+sin0),此时有分母出现0的可能(取0=45度),因此不确定该极限是否存在,本法失效,或者说：你无法证实(cos0sin0)/(cos0+sin0)有界.综上：倘假设使用极坐标,须同时考虑0,p的任意性,不可盲目使用.20 .注意仅当y=f(x)时有：y'=f(x).假设y=f(),不等于x时,y'不等于f().比如：y=f(xA2),y'=f(

20、xA2)2x,而不是等于改人2).下面说明f(可和网)'的区别：f()表示f(x)的表达式,并且把当做x代入,这个过程是代值过程；而f()'的意思是求导,至于对谁求导,那么根据确定.注意：仅当=x时,f(尸f()',即：f(x)=f(x),其他情况没有这个式子.综上：f()'=f'()'.21 .一元函数中说f(x)连续可导不是指f(x)既连续又可导,“连续可导意思是说f(x)的导函数连续.ps：f(x)的导函数连续当然有f(x)既可导又连续,反之不然.22 .还有多少人不会三角函数中辅助角的两个公式：asinx+bcosx=,(aA2+bA2)

21、sin(x+u),其中u=arctan(b/a),强制要求a>0;asinx+bcosx=V(aA2+bA2)cos(x+u),其中u=arctan(-a/b),强制要求b>0.ps：为什么要强制要求？以第一个为例,第二个同理原因在于：我们既然采用了用u=arctanb/a来确定u的值,好处在于u在-派/2,派/2上是一一对应的(由于y=tanx在该范围内单调),事实上,u的范围就是-派/2,派/2,由此我们再来看给出的公式：asinx+bcosx=A/(aA2+bA2)sin(x+u),将右边展开得：V(aA2+bA2)cosusinx+V(aA2+bA2)sinucosx,根据

22、待定系数原那么可得：cosu=a/V(aA2+bA2),倘假设我们不限制a>0,比方取a<0的话,那么cosu<0,显然u的范围已经落在二三象限中去了,而我们规定u在-派/2,派/2,即一四象限,由此出现矛盾,所以a必须大于0,u的范围才吻合公式左右.23 .有谁考虑过为什么要强制要求重积分中上限不小于下限？其实,原因很简单.在于：dj,d0,dp,dx,dy,dz,dr都是正数.24 .一个关于三角换元小疑问的研究与解答.我相信不止一个人考虑过这个问题.请看：求定积分I=/0,aVaA2-xA2dx,当然可以用面积来做,这里为了说明疑问,不用面积做,而用三角换元做.书上对定

23、积分换元法的说明是这样的：设f(x)在a,b上连续,【当t从a变到3时,x=(j)(t)要从()(a)=a(单调地)变到(f)(3)=b,这里不必要求()(t)单调,即不必要求x=()(t)有反函数存在,但不允许x=()(t)的取值变到区间a,b之外.此外,还要求.(t)在a,3上具有连续的导数.(t),这时,定积分的换元公式才成立.:简单说就是满足两个条件,单值加连续导数.下面来做此题：令x=asint,那么dx=acostdt,【当x=0时,t取0,x=a时,t取：派/2】,对于这个“里面的过程有些同学无法接受,问题1凭什么x=0,t要取0,为什么不可以取派或者别的使得式子成立的t?问题2

24、凭什么一定要上限>下限.解答问题1:首先为了满足单值,不可以取一个形如派,5派/2的区间去对应原来的0,a尽管相对于x尽管相对x=asint来说不存在任何问题,但是你忽略了定积分换元的条件单值,在此区间派,5派/2内x=asint不是单值的意思是：令x=k,解得t不唯一.所以不能取一个区间不满足单值的.比方：你取一个0,派/2这样的就是适宜的,当然你取派,派/2这个也是对的,为什么请看证实？我们无疑地知道I=/0,aVaA2-xA2dx=派a2/4用面积显然,下面通过计算来说明为什么取t属于派,派/2也是正确的.I=/0,aA/aA2-xA2dx=/派到派/2a|cost|costdt.

25、说明：这里开根号注意是绝对值,由于此时t的范围是派,派/2,所以cost<0,去绝对值时请注意这点,下面再用降哥公式易证答案正确.ps：你取任何一个单值区间满足题意都是正确的.只不过计算过程的问题.解答问题2：事实问题1证实在换元时可以上限<下限.:综上：三角换元可以取你想取的值,但是请注意使用条件以及计算的简便化.末了附注：此题中a>025 .收敛级数加括号仍然收敛,发散级数加括号未知；正项级数敛散形不受加括号的影响.求极限的计算方法总结转一、极限定义、运算法那么和一些结果1.定义：各种类型的极限的严格定义参见?高等数学?函授教材,这里不一一表达八一说明：“一些最简单的数列

26、或函数的极限极限值可以观察得到都可以.用上面的,极限严格定义证实,例如二Hm士=0a力为常数且.工0,lim3x-1=5汗4姓X-frln.当|钊1时二1不存在,当21时等小2在后面求极限时,1中提到的简单极限作为结果直接运用,而不需再用极限严格定义证实.2,极限运算法那么定理1的了£,fang都存在,极限值分别为B,那么下面极限都存在,且有(1)=(2) Em/(x)-(x)=A-(3) lim./匕时需Bh.畸)山SWB说明:根限号下面的极限过程是一致的j同时注意法那么成立的条件,当条件不满足时,不能用3.两个重要极限1 sinx,(1) hm=1x1lim(1+x)x=eHT.

27、说明:不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们蹒形形式L等价无穷在定理2无完小与有界函数的乘积仍然是无穷小即极限是0%定理3当工TO时,以下的敦都是无穷小即极限是以且才晅等价,即有:Xsinxtanxarcsin工arctanxInl+Ke1一】"/说明：当上面每他肺中的自变量丫换成双外时式力T0,仍有上面的等价关系成立,例如当mt0时,？“一】3xtlnl-x2-Xt定理4如果函数/工道外下为oo,&a都是kt%时的无穷小,且“工fxfxZW,双幻处?幻,那么当存在时'1而也存在且等于1汕军,即lim/jim军一3工fg工gix5.洛比达法那么定?一片

28、设当目变量r趋近干某一定值或无穷大时,函数和冢外高足：CD00和设外的极限都是.成都是无穷大,2八丁和联幻都可导,目gG的导数不为0J13存在?或是无穷大?一gM碘限1血缁也一胡在,且等于.隽'即lim鬻4m偌说明；定理5称为洛比达法那么,用该颂悚极限时,应注意条件是否满足,只要有一?不济足,洛比达法典Jilt不能应用*特别要注意条件口是否满足,民唯证所求极限08是否为"型式“一"型;条件"一般?茜足.而条件3那么在求导完毕0x后可以知道是否满足.另?卜洛比达法那么可以连续使用,但好次使用之前都需要注意条件.¥h连续性,定理6一切连续困数在其定义

29、去间内的点处都连续,即如果是函数的定义去间内的一点,那么有Hm/x=/x0o卞XT飞7.极限存在准那么定理7准那么1单调有界数列必有极限.一定理S准那么2九.y',为三个数列,目满足：+人工34胃=L23Ak2limvp=aflimzM=JW®JW®那么极限lim%一定存在,目极限值也是,即lim阳二.用一33及fR二.求极防法举例】用初等方通费做后,商科用极限运静法那么求19眼如我-3注：本品也可说用海比达法那么.帙2liniV(J,t2-J,j1)1Rs.诉配原式wg+g-32J(F-3阳场HF工.利用函赦疑集性(B<)和附例limx:e"斛；四

30、工0口是碘/(<)=#*"的一4"连碗,1斫以原式"力二/3利用两个重要极限求极限I-cosx,二工-L2*2sm2sm-1».2-2I弱;K7F*hm.mn.一X#f2亨6注二本做也可由治比原那么I-CitJirEMg能原式=Hm(l-3向工)壬曰1T'=lim(l-3与in-0K-=E*ETQETV,q_qft+l-3*t熊原式二蚂八忌产前二场"凸尸严4利用定理:求极限i.1例Enmxsm.Y解：原式二.定理工的结果H5 .利用等价无穷小代操定理4求极限口.xln(l-3x)例9hmpi、arctan(工)解：®工->C0寸一3或3工,arcianCv：工.原式嗯i-3x-=JOX_itEX91io吧：fx*sm