埃博拉病毒传播问题

1、第一部分问题重述第二部分问题分析第二部分模型的假设第四部分定义与符号说明第五部分模型的建立与求解第六部分模型的评价与推广第七部分参考文献第八部分附录一、问题重述假设某地区有20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩，当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒，而人发病之后与猩猩的接触可以忽略。研究人员统计了前40周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等信息(见附件一，附件二)，相关问题如下；(1)根据猩猩的发病数量和死亡数量，建立一个病毒传播模型，动态描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播，并预测接下来的在猩猩中的疫情变化，并给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相

2、关数据；(2)建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型，综合描述人和猩猩疫情的发展，并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况，并给出“虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据；(3)假设在第41周，外界的专家开始介入，并立即严格控制了人类与猩猩的接触，且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况，对比第2问的预测结果说明其作用和影响，给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据；(4)依据前述数学模型，分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用问题

3、分析（一）问题1的分析建立一个病毒传播模型，动态描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播，有助于政府和相关医疗机构预测接下来在猩猩中的疫情变化情况，科学预测疫情在“虚拟猩猩种群”中的发展以及可能对“虚拟人类种群”带来的影响。题中给出了“虚拟猩猩种群”的有关数据（截至本周末处于发病状态的数量、截至本周末总共死亡个数、截至本周末总共自愈个数），要求我们预测接下来在猩猩种群中的疫情变化，分别给出在第80周、第120周、第200周“虚拟猩猩种群”中潜伏群体、处于发病状态、累计自愈、累计因病死亡的数据。由以上原因，我们可以建立一个SLIRD模型，利用matlab做出图像，对所要求的结果分别进行预测，并将结果进

4、行比较。（二）问题2的分析建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型，综合描述人和猩猩疫情的发展，有助于指导政府通过控制人类与猩猩种群间接触来达到控制疫情的目的，可以帮助政府分析控制两种群接触所花的成本和疫情控制达到的效果之间的关联程度。题中给出了“虚拟人类种群”的有关数据（截至本周末处于发病未隔离状态的数量、截至本周末总共累计治愈个数、截至本周末总共累计死亡人数、截至本周末正在被隔离治疗的人数），要求我们预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况，并给出“虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据。由以上原因，我们可以建立一个考虑因素较问题1更多的SLIRD模型，利用matlab做出

5、图像，对所要求的结果分别进行预测，并将结果进行比较。（三）问题3的分析在外界专家介入控制人类与猩猩接触的情况下以及某种特效药将被隔离治疗人群的治愈率提高的条件下。题中给出了明确的相关条件，即“假设在第41周，外界的专家开始介入，并立即严格控制了人类与猩猩的接触，且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%,即相关参数的值直接由题设给建立病毒的传播模型，有助于政府分析各种疫情控制措施的严格执行和药物效果的提高等措施对控制疫情的作用，有助于政府合理规划投入医学研究成本，有重要指导意义定，其余数据也可使用问题1、问题2中已有数据。要求我们预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况，对比第2

6、问的预测结果说明其作用和影响，给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据。由问题3的以上特点，我们可以直接利用问题1、问题2中所建立的模型，将相关参数设定成符合问题3条件的值，利用matlab进行做出图像，对所要求的结果分别进行预测，并将结果进行比较。(四)问题4的分析我们可以依据前述数学模型，分析各种疫情控制措施的严格执行和药物(包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等)效果的提高等措施对控制疫情的作用，写出分析结果。三、模型假设(1)假设题目所给的数据真实可靠；假设模型体系中没有猩彳!和人类的迁入迁出，以及出生和其它原因的死亡；鉴于被隔离的人数一直处于较少且比较稳定的状态，我们

7、假设被隔离的病人在本周即会被治愈或不幸死亡，不会长久地占用医疗设施；(4)鉴于被隔离的人数与所有发病人数(包括隔离和未隔离的)比值稳定在0.42左右，所以我们有理由相信，由于各种实际情况，该地区只能够将发病人群的百分之四十二隔离治疗，故我们假设，隔离人数=0.72*发病且未隔离人数；(5)由题目可知，发病后的人与猩猩之间的接触不考虑，故假设猩猩的发病不受人类影响。四、定义与符号说明(1) S1一截止到本周末健康猩猩占总猩猩数的比例。(2) S2-截止到本周末健康人占总人数的比例。(3) L1一截止到本周末潜伏者占总猩猩数的比例。(4) L2一截止到本周末潜伏者占总人数的比例。(5) I1一截止

8、到本周末处于发病状态的猩猩占总猩猩数的比例。(6) I2一截止到本周末处于发病状态且未被隔离的人占总人数的比例。(7) MH截止到本周末处于被隔离状态的人占总人数的比例，M=0.72*I2。(8) R1一截止到本周末累计自愈的猩猩占总猩猩数的比例(9) R2-截止到本周末累计治愈的人占总人数的比例。(10) D1一截止到本周末累计死亡的猩猩占总猩猩数的比例。(11) D2-截止到本周末累计死亡的人占总人数的比例。(12) £1本周新增发病的猩猩数与截止本周潜伏的猩猩数的比值，经过计算，£1取平均值1.05。(13) £2本周新增发病的人数与截止本周潜伏的人数的比值

9、，经过计算，e2取平均值0.99。(14) 以1一本周自愈的猩猩数与截止本周处于发病的猩猩数的比值，经过计算11取平均值0.1。(15)Q一本周新增死亡的猩猩数与截止本周处于发病的猩猩数的比值，经过计算，取平均值0.2。(16)以2一人的自愈率，即自愈的总人数占发病且未被隔离的人的总数的比例，经过计算取平均值0.215。(17)入1每个发病猩猩每周有效接触(足以致病)的猩猩的数目，经过查阅相关资料，并由题目所给数据测试得，当入1取0.28时，最为符合，故入1取0.28。(18)入2每个病人每周有效接触(足以致病)的人的数目，经过查阅相关资料，并由题目所给数据测试得，当入2取0.7228时，最为

10、符合，故入1取0.7228。(19)入3每个发病猩猩每周有效接触(足以致病)的人的数目，经过查阅相关资料，并由题目所给数据测试得，当入1取0.001时，最为符合，故入1取0.0010(20) B1一第二问中被隔离的病人的治愈率，即总共治愈的人数与总共隔离治疗的人数。计算得B1=0.59。(21) B2一第三问中被隔离的病人的治愈率，由条件知02=0.8。(22) N1“虚拟猩猩种群”总数，即N1=3000(23) N2-“虚拟人类种群”总数，即N2=200000五、模型的建立与求解第一部分：问题1的SLIRD模型(1)猩猩总数3000不变，猩猩种群分为健康猩猩、处于潜伏期猩猩、发病状态猩猩、已

11、自愈猩猩和已死亡猩猩，称SLIRD模型。时刻t五类猩猩在猩猩总数N中占的比例分别记作S1(t)、L1(t)、I1(t)、R1(t)和D1(t)o病猩猩的周接触率为入1,周治愈率为仙1,周死亡率为Q,处于潜伏期猩猩发病比例为81。(2)由模型假设显然有：S1(t)+L1(t)+I1(t)+R1(t)+D1(t)=1(1.01)对于健康猩猩、处于潜伏期猩猩、处于发病状态猩猩、已自愈猩猩和已死亡猩猩有：N*(dS1/dt)=-入1*S1*I1*N(1.02)N*(dI1/dt)=N*(e*L1-p1*I1-Q1*I1)(1.03)N*(dR1/dt)=N*”*I1(1.04)N*(dD1/dt)=N

12、*Q*I1(1.05)则由(1.01)、(1.02)、(1.03)、(1.04)、(1.05)式，SLIRD模型的方程可以写作：广一dS1/dt=-入1*S1*I1dL1/dt=入1*S1*I1-£*L1-dI1/dt=£*L1-p1*I1-Q*I1dR1/dt=11*I1dD1/dt=Q*I1上述方程无法求出L1(t)、I1(t)、R1(t)、D1(t)的解析解，我们对其进行matlab数值计算（下图为根据上述模型做出的前40周“虚拟猩猩种群”各类状态猩猩数量变化以及部分放大图），并与附件中的数据进行比较，对误差进行数据分析：前40周”虚拟猩猩种群”各类状态猩猩数量变化图

13、前40周“虚拟猩猩种群”各类状态猩猩数量变化部分放大图前四周数据与附件所给数据拟合得比较吻合，根据上述模型，利用matlab进行数值计算，将时间轴延长（下图为根据上述模型做出的前200周“虚拟猩猩种群”各类状态猩猩数量变化以及预测结果)我们能够得到“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据：前200周“虚拟猩猩种群”各类状态猩猩数量变化图预测结果：潜伏群体处于发病累计自愈累计死亡80周02212424120周00215431200周00216431第二部分：问题2的SLIMRD莫型(1)猩猩的各种条件不变，人的总数200000不变，人群分为健康人、处于潜伏期的人、发病且被隔离

14、的的人、发病且未被隔离的人，隔离且被治愈的人，死亡的人，称SLIMRD真型。时刻t六类人在总数N2中占的比例分别记作S2(t)、L2(t)、I1(t)、M2(t),R1(t)和D1(t)。(2)与问题一类似，对于健康人、处于潜伏期的人、处于发病状态且未隔离的人、隔离且治愈的人和累计死亡的人有：dS2/dt=-入3*S2*I1-I2*入2*S2dL2/dt=入3*S2*I1+I2*入2*S2-e2*L2 dI2/dt=£2*L2-MdR2/dt=MB1_dD2/dt=I2(1-p2)+M(1-01)此外有M=0.72*I2与问题1方程组联立：JF*dS1/dt=-入1*S1*I1dL1

15、/dt=入1*S1*I1-£*L1 dI1/dt=£*L1-p1*I1-Q*I1dR1/dt=11*I1dD1/dt=Q*I1上述两个方程组无法求出S2(t)、L2(t)、I2(t)、R2(t)、D2(t)的解析解,我们对其进行matlab数值计算(下图为根据上述模型做出的前40周“虚拟人群”各类状态人的数量变化以及部分放大图)，并与附件中的数据进行比较，对误差进行数据分析：前40周“虚拟人群”各类状态人数量变化图前40周“虚拟人群”各类状态人数量变化部分放大图前四周数据与附件所给数据拟合得比较吻合，根据上述模型，利用matlab进行数值计算，将时间轴延长（下图为根据上述模

16、型做出的前200周“虚拟人群”各类状态人数量变化以及预测结果）我们能够得到“虚拟人群”在第80周、第120周、第200周的相关数据：fie14：itec.1HatW00W*|2(t),2«B»*L(t)前200周“虚拟人群”各类状态人数量变化图预测结果潜伏人群处于发病状态隔离治疗累计治愈累计因病死亡第80周62463418504716第120周30463427827086第200周12161237689611第三部分：问题2的SLIMRD真型(1)在问题3的情境中，虚拟猩猩种群各类猩猩数量比例的变化同问题1、问题2;(2)在问题3的情境中，前40周虚拟人类种群病情发展情况同

17、问题2中虚拟人类种群模型。从第41周开始，被隔离人群的治愈率由B1变为了B2(B2=0.8)(3)故因此我们有从第41周开始的两种群常系数微分方程组：虚拟猩猩种群：dS1/dt=-入1*S1*I1dL1/dt=入1*S1*I1-£*L1dI1/dt=£*L1-11*I1-Q*I1dR1/dt=11*I1dD1/dt=Q*I1虚拟人类种群：dS2/dt=-I2*入2*S2dL2/dt=I2*入2*S2-£2*L2dI2/dt=£2*L2-MdR2/dt=MB2_dD2/dt=I2(1-2)+M(1-02)上述两个方程组无法求出S2(t)、L2(t)、I2(

18、t)、R2(t)、D2(t)的解析解,我们对其进行matlab数值计算(下图为根据上述模型做出的第40到55周“虚拟人群”各类状态人的数量变化以及部分放大图，并附有第40到200周各类状态人的数量变化图)，与附件中的数据进行比较，对误差进行数据分析：Q«-It)wm_2ti»Hi(t3MftwOstt)4k4«44«C<4*4¥1、第40到55周“虚拟人群”各类状态人数量变化图第40到55周“虚拟人群”各类状态人数量变化部分放大图-2M0M%代）MMO*%HOMaRX幻二;irm二，.”一11"TTTryrT"”&qu

19、ot;ifflihT.ypiiminiiflipir'iiiwmMijllRLY.FeeHWWTfRBJWiflfmff*七第40到200周“虚拟人群”各类状态人数量变化部分放大图预测结果:潜伏群体处于发病45周2236722累计自愈累计死亡1851192255周1827794198950周1931760四、模型评价与推广1 .本文将所给的问题归纳为传染病问题，所建立的传染病模型科学合理2 .文中所列的方程符合实际情况和数学法则，合理的设置了一些变量和参数，使问题清晰明了。3 .文中列出的微分方程无法求出解析值，故使用MATLA进行数值求解，降低了运算量，并科学地预测出了40周以后猩猩

20、种群和人群里疾病的发展趋势4 .方程中涉及到的大部分参数，如B,e等，均由所给的数据计算取平均值得至L结果科学而具有说服力。5 .本文中也存在一些无法避免的缺陷，例如有些参数（人或猩猩的有效接触数等）无法通过计算得到，只能由不断变换数值，观察曲线与所给数值的吻合度来估算，这可能会导致在预测过程中产生难免的误差。6 .从预测的数据可以看出，如果在第四十周外界专家介入，并立即严格控制了人类与猩猩的接触，且通过特效药物将隔离人群的治愈率提高到了0.8,将使得第45周，第50周和第55周以致第200周的发病人数，潜伏期人数明显且持续降低，累计死亡人数也会相应减缓增加。因此，我们有理由相信：控制人类与猩

21、猩的接触，使用特效药物可以有效遏制埃博拉的发展，同时我们可以做出合理的推测：加强对人群的监控，改善医疗条件，提高隔离人数占发病总人数的比例，也可以有效地抵抗埃博拉的传播。五、参考文献1姜启源，数学模型（第二版），高等教育出版社，19912任善强，数学模型，重庆大学出版社，19873叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材（四），湖南教育出版社，20014张志涌等编著，精通MATLAB北京航空航天大学出版社，20115何万生等，数学模型与建模，甘肃教育出版社，20016杨学桢，数学建模方法，河北大学出版社，20007贾晓峰等，微积分与数学模型，高等教育出版社，19998孙祥编著，清华大学出版社，m

22、atlab7.0基础教程9于润伟编著，matlab基础及应用10薛定宇，高等应用数学问题求解matlab求解11薛定宇，数学物理方程的matlab解法与可视化六、附件第一部分：问题1的matlab程序代码t属于0到40之间时：functiondy=rigid(t,y)dy=zeros(5,1);dy(1)=-0.28*y(3)*y(1);dy(2)=0.28*y(3)*y(1)-1.05*y(2);dy(3)=1.05*y(2)-0.3*y(3);dy(4)=0.1*y(3);dy(5)=0.2*y(3);endT,Y=ode45('rigid',040,11/30000);p

23、lot(T,3000*Y(:,1),'-',T,3000*Y(:,2),'*',T,3000*Y(:,3),'+',T,3000*Y(:,4),'<',T,3000*Y(:,5),'>')t属于0至ij200之间时：functiondy=rigid(t,y)dy=zeros(5,1);dy(1)=-0.28*y(3)*y(1);dy(2)=0.28*y(3)*y(1)-1.05*y(2);dy(3)=1.05*y(2)-0.3*y(3);dy(4)=0.1*y(3);dy(5)=0.2*y；endT,Y

24、=ode45('rigid',0200,11/30000);plot(T,3000*Y(:,1),'-',T,3000*Y(:,2),'*',T,3000*Y(:,3),'+',T,3000*Y(:,4),'<',T,3000*Y(:,5),'>')第二部分：问题2的matlab程序代码t属于0到40之间时：functiondy=rigid(t,y)dy=zeros(10,1);dy(1)=-0.28*y(3)*y(1);dy(2)=0.28*y(3)*y(1)-1.05*y(2);dy

25、(3)=1.05*y(2)-0.3*y(3);dy(4)=0.1*y(3);dy(5)=0.2*y(3);dy(6)=-0.001*y(3)*y(6)-0.7228*y(8)*y(6);dy(7)=0.001*y(3)*y(6)+0.7228*y(8)*y(6)-0.99*y(7);dy(8)=0.9957)-0.724*y(8);dy(9)=0.427*y(8);dy(10)=1.089*y(8);endT,Y=ode45('rigid',040,11/3000010000);.plot(T,200000*Y(:,6),'*',T,200000*Y(:,7),

26、'+',T,200000*Y(:,8),'-',T,200000*Y(:,9),'<',T,200000*Y(:,10),'>')t属于0至ij200之间时：functiondy=rigid(t,y)dy=zeros(10,1);dy(1)=-0.28*y(3)*y(1);dy(2)=0.28*y(3)*y(1)-1.05*y(2);dy(3)=1.05*y(2)-0.3*y(3);dy(4)=0.1*y(3);dy(5)=0.2*y(3);dy(6)=-0.001*y(3)*y(6)-0.7228*y(8)*y(6);dy(7)=0.001*y(3)*y(6)+0.7228*y(8)*y(6)-0.99*y(7);dy(8)=0.9957)-0.724*y(8);dy(9)=0.427*y(8);dy(10)=1.089*y(8);endT,Y=ode45('rigid',0200,11/3000010000);.plot(T,200000*Y(:,6),'*',T,200000*Y(:,7),'+',T,20000