圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲详细答案

1、高中数学一根底与提升练习【椭圆】一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点尸到两个定点品、F?的距离之和等于常数(|P£|+|PF2|=2">库玛),这个动点尸的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：假设(|尸耳|=|五闾),那么动点P的轨迹为线段我石；假设(|P£+pf2|<|耳用),那么动点尸的轨迹无图形.二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程(端点为a、b,焦点为c)(1)当焦点在尤轴上时,椭圆的标准方程：+-V=1(«>Z?>0),其中2；ab(2)当焦点在),轴上时,椭圆的标准方程：4+4

2、=l(«>b>0),其中/=/_；cr1厂2、两种标准方程可用一般形式表示：二+t=1或者mx2+ny2=1mn三、椭圆的性质(以上十=1(>人>0)为例)crb1、对称性：对于椭圆标准方程M+E=13>>0):是以x轴、),轴为对称轴的轴对称图形；crb-,并且是以原点为对称中央的中央对称图形,这个对称中央称为椭圆的中央.2、范围：椭圆上所有的点都位于直线x=±和),=±所围成的矩形内,所以椭圆上点的坐标满足卜|<«,y<bo3、顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点.椭圆二+=1(>.>

3、;0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点,坐标分别crb-为A1(-£/,0),A2(t/,0),B(0-Z?),&(0,b)o线段A4,8也分别叫做椭圆的长轴和短轴,IA,A2|=%,IBB?|=2.4和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.4、离心率:椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率,用c表示,记作e=2aa由于a>c>0,所以e的取值范围是Ove<l.°越接近1,那么c就越接近",从而=JT一0?越小,因此椭圆越扁；反之,e越接近于0,c就越接近0,从而越接近于“,这时椭圆就越接近于圆.当且仅当=时,6=0,这时两个焦点重合,

4、图形变为圆,方程为公+,2=.离心率的大小只与椭圆本身的形状有关,与其所处的位置无关.注意：椭圆£+E=i的图像中线段的几何特征如下列图：a-b-5、椭圆的第二定义：平面内与一个定点焦点和一条定直线准线的距离的比为常数e,0<e<1的点的轨迹为椭圆S=e.d即：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形,也即上图2焦点在x轴上：4+4=1a>b>0准线方程：X=±/b2C焦点在y轴上：4+4=1a>b>0准线方程：,=±?.-lrc6、椭圆的内外部需要更多的高考数学复习资料,请在淘宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资

5、料高中数学知识点总结例题精讲详细解答或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】1点PXo,O在椭圆二+二=14>8>0的内部.士+M<1crcrb"222点P*o,光在椭圆二+二=1.>人>0的外部<=>r+yv>1crlrcru四、椭圆的两个标准方程的区别和联系性质焦点q-c,0),F2(c,O)F,(0,-c),F2(O,c)焦距|月外|=勿|月2|=2c范围Ix邑,|y型|x|S|yKa对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(±4,0),(0,坳(0,±a),(±4.)轴长长轴长=2%短轴长二M离心率e=-(

6、O<e<)a准线方程crX=+ccry=±c焦半径PF=a+exOfPF2=a-exQP周=4+e),o,PF2=a-ey0五、其他结论需要更多的高考数学复习资料,请在淘宝.上.搜.索宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】1、假设8x0,y.在椭圆£+E=l上,那么过外的椭圆的切线方程是2+绰=1crlrcr2、假设兄即%在椭圆二十二=1外,那么过P.作椭圆的两条切线切点为凡、P2,那么crir切点弦PR的直线方程是N+邪=1crb-3、椭圆£+E=ia>b>0的左右焦点分别为FrF2

7、,点P为椭圆上任意一点/大尸居=/,那么椭圆的焦点角形的面积为Spf=b2tan2、24、椭圆+二=1a>b>0的焦半径公式：IMFX1=a+ex.,1MFJ=a叫"c,0,玛c,0Mx0,>,5、设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,那么MF_LNF.6、过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,鼠、A2为椭圆长轴上的顶点,AP和AzQ交于点M,A2P和AQ交于点N,那么MFJ_NF07、AB是椭圆二+;=1的不平行于对称轴的弦,Mx.,.为AB的中点,那么cr3即长第二一?.a

8、a?o8、假设玲小,先在椭圆£+二=1内,那么被Po所平分的中点弦的方程是crlr,%y_.y2a2b2a2b29、假设4%,先在椭圆4+4=1内,那么过p.的弦中点的轨迹方程是crlr/+V_xI)'o)a1b2a2b2【双曲线】一、双曲线的定义1、第一定义：到两个定点石与6的距离之差的绝对值等于定长V|E6|的点的轨迹归用-|尸可=2<归心4为常数.这两个定点叫双曲线的焦点.要注意两点:1距离之差的绝对值.22aV|E£|.当|ME|一|伤|二2石时,曲线仅表示焦点£所对应的一支；当|伊|一|伤|二一2a时,曲线仅表示焦点石所对应的一支；当引时,

9、轨迹是一直线上以石、6为端点向外的两条射线；当2a>|内用时,动点轨迹不存在.2、第二定义：动点到一定点尸的距离与它到一条定直线/的距离之比是常数ee>1时,这个动点的轨迹是双曲线.这定点叫做双曲线的焦点,定直线/叫做双曲线的准线.二、双曲线的标准方程从=,/,其中|巴&|二2c需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】三、点与双曲线的位置关系,直线与双曲线的位置关系1、点与双曲线2、直线与双曲线四、双曲线与渐近线的关系五、双曲线与切线方程六、双曲线的性质七、弦长公式1、

10、假设直线旷=履+与圆锥曲线相交于两点A、B,且再,七分别为A、B的横坐标,那么|A8|-七2+,-必,="2+1,-X,|=+1JX+%-4中2=J1+笠舍,假设%为分别为A、B的纵坐标,那么|叫=,记+“弘-力|=*r+Q(y+乃-4%乃.2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B两点,那么弦ABl=-oa3、假设弦AB所在直线方程设为x=b,+,那么|A3|=Vi77Tly-乃|.4、特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解八、焦半径公式九、等轴双曲线十、共物双曲线需要双曲线的详细资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复

11、习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】【抛物线】一、抛物线的概念平面内与一定点F和一条定直线/(/不经过点用距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,定直线/叫做抛物线的准线.二、抛物线的性质三、相关定义1、通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦HH称为通径；通径：1HHl=2P2、弦长公式：IA8I="+"u£|=,1+*1凹一月13、焦点弦：过抛物线y2=2Px(p>0)焦点F的弦AB,假设B(x2,y2),那么|AFI=X0+y,(2)A-X2=,»乃=-p'4I弦长|4耳=+(

12、再+),再+芍之2jw=P,即当Xi=x2时,通径最短为2p(4)假设AB的倾斜角为e,那么|A目二等AFBFP四、点、直线与抛物线的位置关系需要详细的抛物线的资料,请在淘宝上搜索宝贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】,【圆锥曲线与方程】一、圆锥曲线的统一定义平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线/的距离之比是一个常数e(e>0),那么动点的轨迹叫做圆锥曲线.其中定点F(c,O)称为焦点,定直线/称为准线,正常数e称为离心率.当0VeV1时,轨迹为椭圆；当e=1时,轨迹为抛物线；当e&g

13、t;1时,轨迹为双曲线.特别注意：当.时,轨迹为圆(£,当c=O.a=时).a二、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质三、曲线与方程四、坐标变换1、坐标变换：2、坐标轴的平移：3、中央或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】:例】以抛物线丁=8后的焦点尸为右焦点,且两条渐近线是x±VJ'v=.的双曲线方程为.解：抛物线y2=s43x的焦点尸为(2、回,0),设双曲线方程为x2-3y2=2,.-.=(2>/3)2.2=

14、9,双.曲线方程为三一三=1【例】双曲线匚-二二1(6£N)的两个焦点F、&0为双曲线上一点,4b5,|所|,|石引,|所|成等比数列,那么代o解：设石(-GO)、E(gO)、p("),那么|所r+|%|2=2(|阳2+|60|2)v2(52+c),即|用十|0612V50+23,又|所|2+|外|2二(|用|一|所|y+2|%|.|吒|,依双曲线定义,有|所|一I阳二4,依条件有|所|外|二|片6|2二4,.,.16+8c<50+2c,5L/c2=4+b2<-,.*.b2<-,6二1.33【例】当机取何值时,直线/：y=x+?与椭圆9/+16),

15、2=144相切,相交,相离y=x+i解：(9/+16),2=144代入得9/+16(x+m)2=144化简得25x2+32mx+16m2-144=0=(32m)2-4x25(16/-144)=-576m2+14400当=0,即m=±5时,直线/与椭圆相切;当A>0,即-5v?v5时,直线与椭圆相交;当AvO,即7<-5或?>5时,直线与椭圆相离.【例】椭圆的中央在坐标原点,焦点在x轴上,它的一个焦点为尸,"是椭圆上的任意点,|的最大值和最小值的几何平均数为2,椭圆上存在着以*x为轴的对称点明和他且|固以二半,试求椭圆的方程.角华：|施L尸/c,|MFmir

16、Pa-c,贝|c己一c二才一/二.?,.2=4,设椭圆方程为£+£=1a-4设过附和版的直线方程为片一户加将代入得：4+a2V2才/77A+3/4最=0设的M,%、/X2,%,题版的中点为Xo,战,那么x+至二互j.24+fl-4+M代入*X,得以=,4+.-4+a由于a2>4,=0,由知Xi+x2=0,xix2=一1二,又4+.-I掰版I=V5jX+肛2-4两a=41,代入X+X2,XX2可解才二5,故所求椭圆方程为：£+£=1o54【例】某抛物线形拱桥跨度是20米,拱高4米,在建桥时每隔4米需用一支柱支撑,求其中最长的支柱的长.需要更多的高考数

17、学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答或者搜.店,铺.“龙奇迹【学习资料网】解：以拱顶为原点,水平线为X轴,建立坐标系,如图,由题意知,|AB=20,|掰二4,小8坐标分别为-10,4、10,-4设抛物线方程为V=-2py,将4点坐标代入,得100=-2°X4,解得p=12o5,于是抛物线方程为V=-25yo由题意知E点坐标为2,4,P点横坐标也为2,将2代人得尸一0.16,从而|=4=o故最长支柱长应为3.84米.【例】椭圆的中央在坐标原点0,焦点在坐标轴上,直线y=A+1与椭圆交于P和.,且OP工OQ,1户.1二半,求椭圆方程

18、.解：设椭圆方程为加0,n0,Px,yO,.仪,y2由!'：+:得/玲V+2nx+n1=0,4府"-10,即mnmnl/n.v"+ny"=1>0,由OP±00,所以m先+N为=0,Fp2必先+(%+先)+1=0,一且+1二0,m+nm-n又24.+-?=巫2,将府方2,代入得m正2m+24由、式得吟吟或吟吟故椭圆方程为或产“5【例】圆6的方程为22+,-12=3,椭圆6的方程为£+£=1.>0,3h"G的离心率为无,如果2与6相交于48两点,且线段48恰为圆G的直径,2解：由八多得/冬/一W3设椭圆方程为

19、£+£“设Ax,兑.84,乃由圆心为21./.Ai+不=4,y.+y2=2.22-2y-2条=21-2V,余减相式两O求直线48的方程和椭圆G的方程.(8+x2)(X|一心)+2(»+y2)(H_12)=.又xl+心=4.?+乃=2,得22_-1=-L/.直以6的方程为y-1=-(x-2).y=-x+3内一勺4务y=-x+3代入-+=1,得3x2-12X-4-18-2/?2=0.2b2b2直线48与椭欧2相交二A=2助2一72>0,需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝上.得万.、野二723搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答或者

20、搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】由AB=y2X-x2|=y/2yj(x+x2)2-4XjX2=解得I故所有椭圆方程今%L【例】过点1,0的直线/与中央在原点,焦点在X轴上且离心率为变的椭圆2C相交于48两点,直线片;X过线段48的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线/对称,试求直线/与椭圆C的方程.解法一：由广£=走,得二,从而养2,c=bo设椭圆方程为a2a22V+2;/=262,4用,yO,8M,/在椭圆上.那么1+2必2=2",x22+2y22=2b2,两式相减得,x/一x?+2才一二.,»-.23+0西一勺2"+>2'设中点

21、为xo,那么匕尸一见,又先,必在直线尸!x上,yo=xo,于是2yo22设/的方程为六一£1.右焦点6,0关于/的对称点设为/,/,1解得y=1-/7由点1,1-6在椭圆上,得1+2162=26,"=2.病=?.168.所求椭圆C的方程为洋+与产=1,/的方程为尸一行1.解法二：需要更多的高考数学复习资料,请在陶.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】"由广£=走,得匕£,从而a=2b2,c=bo设椭圆C的a2cr2方程为*2+2/=29,/的方程为广万一1,将/的方程代入

22、C的方程,得1+2V4/4+2-26=0,那么乂+*2二一,弘+治二乂-1+X21="乂+先一2仁一二1+2K1+2攵2直线/:*LX过48的中点上旦,&1也,那么上二=1.二匚,解得仁0,或K2221+2小2+242-1O假设仁0,那么/的方程为*0,焦点尸C,0关于直线/的对称点就是尸点本身,不能在椭圆C上,所以仁0舍去,从而抬一1,直线/的方程为*一4一1,即尸一a+1,以下同解法一.解法三：设椭圆方程为'+二=la>>0a-b-直线/不平行于y轴,否那么48中点在X轴上与直线/白过A6中点矛盾.故可设直线/的方程为y=/-1)(2)代入消.V整理得

23、：仅,2b2)x2-2k2a2xa2k2-a2b2=0(3)2k2a2设AC.,y1)B(x2f为),知：X,+a2=7又H+%=攵*1+x力-2%代入上式得:-kF+1广2Alk%?+b?1Lbl)2117叵k-=一,：.k-2k；=,:k-k-=9乂e=a+M22k2a22ka222.<=-4=-2"7-)=-2+2=-1,二直线/的方程为y=lr,此时.2=2b2,方程(3)化加工2-4.1+2-282=0,A=l6-24(l-Z?2)=8(3Z?2-I)>0二孚,椭圆C的方程可写成：i+2),2=2/(4),又C?=-b2=>,.右焦点FS,0),设点户关于

24、直线/的对称点(见,丸),上=1-b.f=-1,yo=li,Vo/+=1-又点(1,1-)在椭圆上,代入(4)得：l+2(l-/7)=2b2,.=上虫,432=2"8,29:.lr=所以所求的椭圆方程为:16二+二=1998-16【例】如图,例的面积为二,P为线段的一个三等分点,求以直线4OR、0R为渐近线且过点户的离心率为巫的双曲线方程.2解：以0为原点,NR0R的角平分线为x轴建立如下图的直角坐标系.设双曲线方程为(a>0,b>0),由62=：=+&2=(巫)2得一.a2b2a2o2a2两渐近线俯、俗方程分别为*gx和尸一gx设点R(%,1xi),月(入2,|

25、xz)(%i>0,X2>0),那么由点P分网所成的比人二牝二2,得户点坐标为(=41.汉口),PP?32又点"在双曲线二-±二二1上,所以四十2"一工一2.9;二,a29a29«29a2即(x+2xz)2-(X-2X2)2=9才,整理得8*/2=9才又|叼=口717=平|nD|f292而内JOPI=1必+x2=5x22x32tanPiOx12sinPQP,=-!=14.tan2P.Ox.91311H411131227：S、rob=-IOPl-IOP2Isin40P2=-xix2=-由、得a2=4,b2=9o故双曲线方程为?-W小【例】需要更多

26、的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】“过椭圆c：E+£=is>b>0上一动点P引圆0：/+的两条切线P4P8,48为切点,直线与x轴,y轴分别交于M、N两点.1P点坐标为沟必并且不必于0,试求直线48方程；2假设椭圆的短轴长为8,并且J+上一受,求椭圆C的方程；3椭圆C上是否存在点P,由OMI2IONI216P向圆.所引两条切线互相垂直假设存在,请求出存在的条件；假设不存在,请说明理由.解：1设/M,乂,8*2,/2切线P/4XM+XV=/,PB：X2xy2y=b2；P点

27、在切线PAP8上,/X|.¥o4-yjJo=h2:.直线AB的方程为xox+yoy=.0加丰0在直线48方程中,令*0,那么MC,X.0;令0,那么N0,发>'0b-IOMI2IQN|2V2Z>=8二房4代人得a=25,g二16.椭圆C方程:-+=l(.xyh0)2516(3)假设存在点P(%,必)满足P/UP8,连接0403由|P川二|P8|知,四边形P加8为正方形,|0P|二&|0川/+君=2庐又TP点在椭圆C上：.a2xb2y=a2b2由知</a>b>0：.a-6)0-.-一一炉(1)当才一2上>0,即a>拉.时,椭圆C

28、上存在点,由P点向圆所引两切线互相垂直；(2)当才一26«0,即伏死鱼.时,椭圆C上不存在满足条件的P点【例】点B(-1,0),C(1,0),P是平面上一动点,且满足I记II就方国(1)求点P的轨迹C对应的方程；(2)点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD和AE,且ADJLAE,判断：直线DE是否过定点试证实你的结论.(3)点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD,AE,且AD,AE的斜率由、儿满足儿分二2.求证：直线DE过定点,并求出这个定点.解：(1)设P(x,y)代入I定II比1=丽.而得而万WP=l+x,化简得)*=4x.(2)将4,.2)代入产=4

29、x得加=1,二点A的坐标为(1,2).,48设直线4.的方程为y-2=心-1)代入厂=4x,得厂-工y+彳-4=0,444由丫1=2可得力=7一2,二D(+1,-2).kk?k同理可设直线4E:v-2=-(.r-l),RAv2=4不得+1,4A2).k4-+4/1k一4k那么直线OE方程为：y+4k+2=(X-必2T),化简得A°(y+2)+%(jv-5)-(y+2)=0,即y+2=-4.5),过定点(5.-2).H1将4.儿2)代入/=4k得,=1,设直线DE的方程为y=h+b.D(xx,m),E(ay,)由得/+2(幼一2卜+启=0.V2=4KrAD'kE=2,二-=2(

30、X|,A2工1),JVj-1X2-1且力=3+b,y2=kx2+b/.(k2-2)Xj.v2+(劭-2A+2)(X+.巧)+(-2/-2=0,将M+x,=三丝3,修代=1代入化简得=优-2)2,二.=±(&-2).k-k-/.b=±(k-2).将.=攵-2彳弋入y=+得,=h+%2=&.+1)2,过定点(一1,-2).将.=2-攵代入丫=k+得y=履+2f=总-1)+2,过定点(1,2),不合,舍去,/.定点为(-1,-2)【例】需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺.“

31、龙奇迹【学习资料网】曲线£-E=im>oso)的离心率垣,直线/过A(a,0)、lr3B(0,-b)两点,原点.到/的距离是走.(I)求双曲线的方程；(II)过点2B作直线m交双曲线于M、N两点,假设丽丽=-23,求直线m的方程.解：(I)依题意,/方程二二=1,即法-纱-h=o,由原点0至/的距离为il,得a-b2ahah招互京=7F又6=£=速:.b=,a=y/3o故所求双曲线方程为二),2=i一“一33'(II)显然直线m不与x轴垂直,设m方程为*kx-1,那么点M、N坐标(匹,乃)、(心,乃)是方程组"I的解存-消去V,得(1-3公)/+6h

32、-6=0依设,1-3公.0,由根与系数关系,知旦1一3公一1-3k2-IOMON=(Xj,y1)-(x2,y2)=xx2+y1y2=x1x2+(kx-Dfe-1)=(1+一%(M+£)+1=6(1+/)6k"t；+13/-13/13公-1.丽丽=-23+1=-23,k=±lo当k二士1时,方程有两个不等3公-122的实数根故直线/方程为,=*典_【例】动点P与双曲线4r-三=1的两个焦点F1、&的距离之和为定值,且cosZF,PF2的最小值为-.(1)求动点P的轨迹方程;(2)假设.(0.3),M>N在动点P的轨迹上且而一而,求实数X的取值范围.解：

33、(1)由可得：C=45,(力=.,2=9,/="2-2=42a29.所求的椭圆方程为二+E=.94方法一：由题知点D、M、N共线,设为直线m,当直线m的斜率存在时,设为k,那么直线m的方程为v=kx+3代入前面的椭圆方程得(4+9k2)x?+54由判别式A=(54)2-4x(4+9Ar2)x45>0,得及2吟.再设M(X1,/1),N(X2,y2),那么一方面有OAj=(X,)、-3)=4£W=4(X2,)2-3)=(44,%(乃一3),侍】个?X-3=Z(y2-3)另一方面有所+x-*,必=二-4+9-4+9产将=此代入式并消去X2可得上/=3+9,由前面知,0&l

34、t;±<.5(14-2)2k2k15八3242,81俗21里1i09<<一,用牛倚-<A<5o5(1+W55又当直线m的斜率不存在时,不难验证：夭或2=5,所以为所求.55方法二:同上得<=忒2Ji_3=/(为-3)设点M(3cosa,2sina),N(3cosB,2sin3)那么有.cosa=Acosp2sina-3=4(2sin尸一3)由上式消去a并整理得S崎*,由于-0ng飞崎筌a,解得*y为所求.需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲(详细解答)或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料

35、网】方法三：设法求出椭圆上的点到点D的距离的最大值为5,最小值为1.进而推得义的取值范围为叁/145.【例】如下图,抛物线7=4x的顶点为0,点力的坐标为5,0,倾斜角为上的直线/与线段以相交不经过点0或点心且交抛物线于"、N4两点,求力椒面积最大时直线/的方程,并求/1网/的最大面积.解：由题意,可设/的方程为*产勿,-5</77<0o由方程组："+',消去匕得M+2k4/=0V2=4x 直线/与抛物线有两个不同交点欣N,方程的判别式/二2小一424/二161而>0,解得加V1,又一5V/77VO,加的范围为一5,0设yO,M*2,h那么*+乂2

36、=42勿,Xxf/,<*.IMN=4J2i-m.点力到直线/的距离为片坐.V2 ,.8=25+勿口了,从而区2=41一面5+而2=22一2/775+5+而W2"2"5+-5+=i28.3 &W8及,当且仅当22*5+勿,即加=一1时取等号.故直线/的方程为尸x-1,的最大面积为8尤.【例】双曲线C:24一/二2与点P1,2o1求过P1,2点的直线/的斜率取值范围,使/与C分别有一个交点,两个交点,没有rt/交点.(2)假设0(1,1),试判断以.为中点的弦是否存在.解：(1)当直线/的斜率不存在时,/的方程为产1,与曲线C有一个交点.当/的斜率存在时,设直线/

37、的方程为v2二履4一1),代入C的方程,并整理得(2)戈+2(-2«)*一片+4%6=0(*)(1)当22=0,即依土及时,方程(")有一个根,/与C有一个交点(ii)当2"2丰0,即于土应时4=2(-24)24(2)(一42+4%6)=16(3一2A)当/二0,即32公0,依白时,方程(")有一个实根,/与C有一个交点.当/>0,即4V,大k丰土也,故当AV一及或一及V<嬷或衣VV：时,方程.有两不等实根,/与C有两个交点.当J<0,即时,方程(*)无解,/与C无交点.综上知：当仁士及,或公二或A不存在时,/与C只有一个交点；2当VI

38、VZV：,或一及,或"V一及时,/与C有两个交点；当时,/与C没有交点.(2)假设以.为中点的弦存在,设为48,且力(小,yO,8(x2,y2),那么2一/二2,2x2,一/二2两式相减得：2(%X2)(xi+x2)=(yi%)(必+匕)又%1-*-%2=2,y14-y2=22(XiX2)二弘一弘即卜母士上二2再一M但渐近线斜率为土拉,结合图形知直线四与C无交点,所以假设不正确,即以0为中点的弦不存在.【例】双曲线G的中央在原点,它的渐近线与圆/+,2-10工+20=0相切.过点p(yo)作斜率为3的直线/,使得/和G交于A,8两点,和,轴交于点C,并且点P在线段A3上,又满足I用.

39、|=IPC.(1)求双曲线G的渐近线的方程；(2)求双曲线G的方程；(3)椭圆S的中央在原点,它的短轴是G的实轴,如果S中垂直于/的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的局部,求椭圆S的方程.解：(1)设双曲线G的渐近线的方程为：丫=依,那么由渐近线与圆/+),2-10%+20=0相切可得：,网=小.VF+T所以,k=±-.双曲线G的渐近线的方程为：y=±-x.22(2)由(1)可设双曲线G的方程为：/_4),2=机.把直线/的方程y=；(x+4)代入双曲线方程,整理得3/_81-16-4?=0.那么/+/=*七/8=_14(*)VPAPB=PCf尸,A,8,C共线且

40、尸在线段相上,*(a>-xP)=(xP-xc)2,即:(4+4)1-4)=16,整理得：4(4+/)+38+32=0将*代入上式可解得：28.所以,双曲线的方程为1rA.3由题可设椭圆S的方程为：工+工=1储25.下面我们来求出S中垂直28a217于/的平行弦中点的轨迹.需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】设弦的两个端点分别为为,凶,",%,MN的中点为那么两式作差得：+占+-乃M+%=o28a2由于2J_11=T,X+=2%,y+/=2%M一9所以,垂直于/的平行弦中

41、点的轨迹为直线上-2=0截在椭圆S内的局部.28a2又由题,这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的局部,所以,£=.1122所以,/=56,椭圆S的方程为：二+亡=1.2856点评：解决直线与圆锥曲线的问题时,把直线投影到坐标轴上也即化线段的关系为横坐标或纵坐标之间的关系是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题,常常用到“设而不求的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具.【例】椭圆C的中央为直角坐标系xOy的原点,焦点在s轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.需要更多的高考数学复习资料,请在淘.宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详

42、细解答或者搜.店.铺.“龙奇迹【学习资料网】I求椭圆C的方程;II假设P为椭圆C上的动点,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,回二人,OM求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线.需要更多的高考数学复习资料,请在淘宝.上.搜.索.宝.贝.“高考复习资料高中数学知识点总结例题精讲详细解答或者搜店.铺.“龙奇迹【学习资料网】解：I设椭圆长半轴长及半焦距分别为.,c,由得,解得a=4,c=3,WoWoWokoSo5ouoCoo.m所以椭圆.的a+c=l标准方程为E+?=i167II设Mx,y,其中xsT,4.由叫二外及点p在椭圆.上可得lOM?二112=储.整理得16万一9/+16分,2=12,其中xe

43、-4,4.16厂+厂L(i)X=二时.化简得9V2=1124所以点M的轨迹方程为y=±±g-4KxW4,轨迹是两条平行于x轴的线段.(ii)%.：时,方程变形为一+哈=1,其中41iz1iz匚1622-91627当Ov4a时,点M的轨迹为中央在原点、实轴在y轴上的双曲线满足4-4x4的局部.当?几1时,点M的轨迹为中央在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4WXW44的局部；当几21时,点M的轨迹为中央在原点、长轴在x轴上的椭圆；【例】椭圆仁捺+/=11心0)的离心率为今,过右焦点F的直线L与C相交于A、B两点,当L的斜率为1时,坐标原点.到L的距离为走.2(I)求a,b的值；(

44、IDC上是否存在点P,使得当L绕F转到某一位置时,有格方+而成立假设存在,求出所有的P的坐标与L的方程；假设不存在,说明理由考点：此题考查解析几何与平面向量知识综合运用水平,第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算,第二问利用向量坐标关系及方程的思想,借助根与系数关系解决问题,注意特殊情况的处理.解：(I)设HaO),当/的斜率为1时,其方程为X-),-c=0Q到/的距离为l°-°-cLc故Cc-正一号,由e=,得o=V3,b=yja2c&a3IIC上存在点P,使得当/绕厂转到某一位置时,有方=m+方成立.由I知C的方程为2/+3y2=6.设4项,州,

45、8必,心i当/不垂直x轴时,设/的方程为y=攵工-1C上的点P使丽=丽+丽成立的充要条件是P点的坐标为x1+x2,y,+y2且2演+x22+3必=6整理得2a-12+3y2+2x22+3y2*+4xx2+6>,y2=6乂4、8在C上,艮P2xJ+3y2=62寸+3%2=6.故2x,x2+3y,y2+3=0将,=攵*一1代入2/+33,2=6,并化简得2+3k2x2-6k2x+3k2-6=0于是6k2X+X,=7-2+3公中2二筌系切必1"2=-4k?2+3k2代人解得,y=2,此时X+£=m.于是必+为=*+/一2二一七,即0±-2222因此,当k=-加时,

46、尸苧,/的方程为&x+y-&=o；当攵=行时,尸0,一斗,/的方程为&工-&=.li当/垂直于x轴时,由赤+诙=2,0知,C上不存在点P使方=砺+历成立.综上,C上存在点P,±T使.P=OA+08成工,此时/的方程为土y-=022【例】椭圆G：二+二=1(>0>0)的右顶点为41,.),过G的焦点且垂直长crb一轴的弦长为I.(I)求椭圆G的方程；(II)设点尸在抛物线G：y=x2+h(/?e7?)Jl,G在点尸处的切线与G交于点M、N,当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求的最小值.6=1_9,解：由题意得H：所求的椭圆方程为2+

47、/=12=1b=4a(II)不妨设%),'(再,当),尸(,户+以那么抛物线G在点P处的切线斜率为y|v=2z,直线MN的方程为,=2tx-t2+h,将上式代入椭圆G的方程中,得41+(2状-+力)2-4=0,即4(1+卜2-4f(r-h)x+(r-尸-4=0,由于直线MN与椭圆G有两个不同的交点,所以有=16-r4+2(/+2)r2-/r+4>0,设线段MN的中点的横坐标是当,那么5二日上:窑义设线段PA的中点的横坐标是匕,那么a=上1,2由题意得看="4,即有产+(1+?+1=0,其中的2=(1+力)2-420,二/d1或/?43;当h<-3时有/?+2<

48、;0,4-/z2<0,因此不等式A,=16-?+2(h+2)t2-A2+4>0不成立；因此力之1,当/?=1时代入方程产+(1+)/+1=0得P=-1,将/?=ij=1代入不等式=16-r4+2(7/+2)r-/z2+4>0成立,因此的最小值为1.【例】设椭圆E：£-+4=1(a,b>0)过M(2,加),两点,.为坐crb标原点,(I)求椭圆E的方程；(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且况_L刃假设存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围,假设不存在说明理由.考点：此题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的

49、标准方程确实定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.解：由于椭圆E：/I(a,b>0)过M(2,N(B1)两点,42,+7=1b-61,r+k=1a-b-解得:所以,l/r4“：=8椭圆E的方程为?+$=1b2=484(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.4,0瓦设该圆的切线方程为y=kx+mo解方程组七22一+y=kx+m得+2kx+m2=8,即l+2k2x2+4kmx+2m2-8=0,=1184那么=16攵2m2-41+2攵22/-8=88公-m2+4>0,即Sk2-nr+4>04km2疗一8X.X,=1+242=%+2仁+.=k2X|X2+kmxx+x2+nr二2"