圆锥曲线经典题型总结(含答案)

1、圆锥曲线整理1 .圆锥曲线的定义：椭圆:|MFi|+|MF21=2a(2a>|FiF2I);(2)双曲线：|MFi|一|MF?|=2a(2a<FxF21);抛物线：|MF|二d.圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F1,F,的距离的和等于常数加，且此常数2a一定要大于比尸2.当常数等于归工河，轨迹是线段FE，当常数小于忧国时，无轨迹：双曲线中，与两定点F1,0的距离的差的绝对值等于常数2。，且此常数2。一定要小于I'F?|，定义中的“绝对值''与2"V|F1F2|不可忽视

2、若2。=仟/2|，则轨迹是以七,F2为端点的两条射线，若2a>|F"2l，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。2 .圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程)：2222(1)椭圆：焦点在x轴上时二十二=1,焦点在y轴上时二十1=1crrcrb-(6/>/;>0)o%X2y2v2X2(2)双曲线：焦点在x轴匕一；r=1,焦点在y轴匕-=1(ii>0,Z?>0)ocrcrb"(3)抛物线：开口向右时)，2=2x(>0),开口向左时>2=一2,«>0),开

3、口向上时x2=2py(p>0),开口向下时x2=-2py(p>0)0注意：L圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。2 .圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程，然后再判断)：椭圆：由X2,),2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。双曲线：由X2,),2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上：抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。在椭圆中，。最大，/=+，在双曲线中，C最大，c2=a2+b2Q3 .与双曲线5'=1有相同渐近线的双曲线方程也可设为33=4(小0)，渐近线方程为y=±-x的双曲线方程也可设为了一方二相工0)

4、.要求双曲线了一方=人(入。0)的渐近线,只需令4=0即可.4.直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系.解决直线与圆锥曲线问题的通法设方程及点的坐标.(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程.(3)应用韦达定理及判别式.(4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.5 .若直线与圆锥曲线交于两点Pi(xi,yi),P2W2,也),且直线P1P2的斜率为A,则弦长IP1P2I=N1+/IX1-X2I=1|VLV2|(kH0).IXLX2I，|八一四|的求法，通常使用根与系数的关系，需要作下列

5、变形：|X1X2|=#X1+X224X1X2,Myi=Nyi+/22-4yiy2.6 .与圆锥曲线的弦的中点有关的问题(1)通法.联立方程利用根与系数的关系(2广点差法.点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率.点差法的步骤：将两交点4汽，力)，8的，力)的坐标代入曲线的方程.作差消去常数项后分解因式得到关于X1+X2,XIX2,Vl+力，力一力的关系式.应用斜率公式及中点坐标公式求解.特别提醒：因为A>0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验>()!7 .求曲线方程的基本方法有：(1)直译法：建系、设动点、列式、化简、证明(可以

6、省略)，此法适用于较简单的问题；(2)定义法：如果能够确定动点的轨迹满足已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出轨迹方程；(3)相关点法(坐标代换法)：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(xi,3,而Q(xi,川乂在某已知曲线上，则可先写出关于xi,yi的方程，再根据xi,9与x,y的关系求出P(x,y)的轨迹方程；(4)待定系数法：若已知曲线的形状(如椭圆、双曲线等)，可用待定系数法；(5)点差法：求与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，可以设出两个端点坐标，并将其代入圆锥曲线方程，再作差；交轨法：先根据条件求出两条动曲(直)线的交点，然后消去其中的参数即得轨迹方程.8 .常见类型转化：“以弦AB

7、为直径的圆过点0"OALOB(提醒：需讨论K是否存在)=万？丽=0D.C誓+4-解：由于P“点在圆内、圆上、圆外问题”="钝角、直角、锐角问题”<=>“向量的数量积小于、等于、大于。问题"<=>xix2+yiy2<0ixlx2+yly2=0;xix2+yly2>0”等角、角平分、角互补问题”。斜率关系（&+«2=0或灰1=K2）；例如：EF平分NAEbO爪能+长行=。一、圆锥曲线的定义及标准方程，性质及应用例1.如图,已知圆O的方程为x2+y2=ioo,点A的坐标为（-6,0）,M为圆0上的任意0M于点P,则点

8、P的轨迹方程（）及上=125161(x+3)2/25-16-1AM的垂直平分线上的点，|PA|=|PM|所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10>|OA|=6根据椭圆的定义知:P点轨迹方程为言+77=1.所以选A1O（2）设F为抛物线y2=4x的焦点，4B,C为该抛物线上三点，若金+品+育=0,则假|+|鬲|+|=（）A.9B.6C.4D.3设4（X1，%），8（X2，%），C（X3，V3），抛物线焦点为F（l,o）,准线方程为X=-Lill已知得xi+x2+x3=3,yi+y2+y3=0，而I弘|=X1(1)=X1+1,|FB|=X2(1)=X2+1，FC=X3(

9、1)=X3+1,/.FA+FB+FC=X1+1+x2+1+x3+1=(X1+x2+x3)+3=3+3=6.x2y2例2若双曲线/一京=l(°>0,b>0)与直线y=/x无交点，则离心率e的取值范围为()A.(1,2)B.(1,2C.(1,邓)D.(1,晌e(2)函数y=，3一前2的图象上至少存在不同的三点到(i,o)的距离构成等比数歹九则公比的取值范围是.(3)设双曲线的一个焦点为尸，虚轴的一个端点为氏如果直线尸3与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为()应/g与m与(4)椭圆二十二=1(>>0)的右焦点八其右准线与不轴的交点为人在椭圆cr上存在点

10、P满足线段4P的垂直平分线过点/，则椭圆离心率的取值范围是()*s5*o*m0用(8)屋(C)邑J)(D)1.11过双曲线J-二=1(>0,力>0)的左焦点尸(-c,0)(c>0)作圆Y+)，2=土的切线,金crb-9切点为已直线五E交双曲线右支于点P,若OE=±(。/+OP),则双曲线的离心率为()22(6)一只双曲线：一2=1伍>0/>0)的左右焦点分别为"，尸2.0为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，APGE的内切圆的圆心为I,且圆I与x轴相切与点A,过F?作直线PI的垂线，垂足为B,若双曲线的离心率6=6,则()/K.OB=y/3OA

11、叫。4|=©。到C.OA=OBD.|OA|与|。耳关系不确定解析(1)因为双曲线的渐近线方程为y=±x,要使直线y=3x与双曲线无交点，则直线y=gx,应在两渐近线之间，所以有*S，即区/。，所以b2V3a2,c2-a2<3a2,即c2<4a2,e2<4,所以l<e<2,选B.(2)函数丫=、/3一%可变为f+f=l(y20),(1,0)为椭圆的右焦点，上半椭圆上点到右焦点距离的最大值和最小值分别为3和1.此数列为正项数列；要使等比数列公比最大，只要首项最小，末项最大即可，所以公比最大值为黄，要使等比数列公比最小，只要首项最大，末项最小即可，所

12、以最小值为号.(3)【解析】选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：22二一二=1(。0力0),则一个焦点为F(C,0),B(0,b)rlr一条渐近线斜率为：直线所的斜率为：-%/.(-多=_1,./=前acac。2_/_敬=0,即所以e=l1正或6=匕逝(舍去)22(4)解析：由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点厂,即F点到P点与A点的距离相等www.k#o*m2»J而|E4|=上一c=±*s5*o*mccPFGac,cr+c于是LGac,a+cc即acc2<b2<ac-c2（5）答案：B（6）答案:C解析：依题意设内切圆与PF|,PJF

13、R的切点分别为M,NAf|P6H”|=，且叫=归川,|耳必=|耳明玛'H玛可，MpkHp玛玛川=北。.设A的横坐标为x,可得c+x-（c-x）=2a,即x=a,所以|。4|=。；延长K8交P”于Q则B为AQ中点，。为的中点，乂因为归.一卢玛|=|耳0|=2a,.。a=a.OA=OB三、直线与圆锥曲线的位置关系例3.过抛物线必=4x的焦点F的直线交该抛物线于48两点,0为坐标原点.若|4F|=3,则408的面积为（）D.2/变式题过抛物线尸=2。*焦点F作直线/交抛物线于48两点，。为坐标原点，则048为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.不确定D.钝角三角形例3答案C解桅如图,设4x0

14、，及）（四<。）.易知抛物线y=4x的焦点为f（i,o）,抛物线的准线方程为X=-1，故由抛物线的定义得MF|=xo（1）=3,解得xo=2,所以2,/20%=一2啦，故点4（2,-272）.则直线八8的斜率为一=一2啦，直线4B的方程为y=-2/x+2啦，联立乙2ax+2币,消去，得？入2-5x+2iy=4x,二0，由X1X2=1,得人8两点横坐标之积为1,所以点8的横坐标为去再由抛物线1QQQ的定义得|8F|1）=-,AB=AF+|BF|=3+-=-乂因为点O到直线AB的距离为d=¥，诉nc-19，啦3啦所以S,aob2x2x3"2"变式题答案D解析设点

15、4B的坐标为（xi，川，（X2,V2）,则此金=（xi,川仇，V2）=X1X2+yiV2=；p2=%2<0,所以N4O8为钝角，故048一定为钝角三角形.五、圆锥曲线背景下的定点问题例5（2012年福建卷）如图，椭圆邑金=1（。泌>0）的左焦点为Fi，灯焦点1为F2,离心率e=5.过Fi的直线交椭圆于4、8两点，且48F2的周长为8.求椭圆E的方程；设动直线/：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M若存在,求出点M的坐标；若不存在，说明理山.解析(1)因为|48|+AF2+BF2=S,即|

16、AFi|+|Fi8|十|AF2|十|8F2|=8.y.AFi+AF2=BFi+BF2=2a,所以4o=8,a=2.乂因为e=之,即：=；，所以c=l,2a2所以b=yja2c2=y3.故椭圆E的方程是+4=1.oy=kx+m.(2)|lr<x2y2消去y得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.j因为动直线/与椭圆E有且只有一个公共点P(xo，vo),所以mWO且/=0,即64k2m2-4(4/c2+3)(4m2-12)=0,化简得4k2-m2+3=0.(*)AbQ所以p(-嬴-).|x=4,由1t得Q(4，4k+m)Lykx十m,假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点

17、M必在x轴上.设M(xi,0),则MP.MQ=0对满足(*)式的m,k恒成立.因为M尸=(xi,-M。=(4xi,4k+m),illMP-MQ=09得16k4kxi,12k+-4+3=0,k整理，得(4乂1-4)»+、彳一4、1+3=0.(*)由于(*)式对满足(*)式的m,k恒成立,14xi4=0,所-仇+3=。,解得X1=1.故存在定点M(l,0),使得以PQ为直径的圆恒过点M.跟踪练习已知椭圆C：二十二=1("%>0)的右焦点尸(1,0),且点(-1,无)在椭圆上。a2(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知动直线/过点F,且与椭圆C交于A,B两点，试问x轴上是否存

18、在定点Q,使得万丽=-1恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说16明理由解析：(1)由题意知，c=l根据椭圆定义得，2a=(11尸+(且了+1,即a=V22所以=21=1,所以椭圆C的标准方程为二+V=i27(2)假设在x轴上存在定点Q(m,0)，使得。总=-一恒成立。167当直线/的斜率为0时，4(0,0),8(-/0),则(JJ一7,0)(-&-九0)=-一16解得7=±二4当直线/的斜率不存在时，A(1,),B(L-111J'(1+一，)(1+,)。,用r以？工一一4242164当直线/的斜率存在且不为0时，设直线/的方程为y=以戈-1)与椭圆方程联立得

19、(1+2/)/一4攵4+2公一2=02k22X.AS=-+2k24k2X+X,=7-1+2公.QAQB=-4k2-2257-十1+2公1616法二:假设存在,设Q(30)则QAQB=&一史)(x2-ty2)=xXx2-t(xl+x2)+r+yy2=(1-4，+/2+/一2、1+2公716l-4r+r25；=_=/=_产-214六、圆锥曲线背景下的定值问题例6：(2012湖南卷)在直角坐标系xOy中，曲线J上的点均在圆C2：(x-5)2+y2=9外，且对Ci上任意一点M,M到直线x=-2的距离等于该点与圆Q上点的距离的最小值.求曲线G的方程；(2)设P(xo，%)优工±3)为圆

20、Q外一点，过P作圆Q的两条切线，分别与曲线Ci相交于点48和C,D.证明：当P在直线x=-4上运动时，四点4B,C,。的纵坐标之积为定值.解：方茸1：设M的坐标为(x,y),由已知得|x+2|=yjx-52+y2-3,易知圆Q上的点位于直线x=-2的右侧,于是x+2>0,所以d*52+y2=x+5.化简得曲线C1的方程为必=20%方法2：山题设知，曲线G上任意一点M到圆心C20)的距离等于它到直线x=5的距离，因此，曲线Q是以(5,0)为焦点，直线x=-5为准线的抛物线，故其方程为必=20x.(2)证明：当点P在直线x=-4上运动时，P的坐标为(-4,yo),乂yoo±3,则过

21、P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为yyo=k(x4),即kxy+yo+4k=0.于是15kg14kl=3,整理得yjk2+l72k2+18yo/c+y8-9=O.设过P所作的两条切线力，PC的斜率分别为ki，k2,则ki，k2是方程的两个实根，故18yo_yo小幻+幻=一方-=一了kix-y+yo+4ki=O,Illi,得kiy2-20y+2O(yo+4ki)=0.l/=20x,设四点4B,C,。的纵坐标分别为力，力，力，必，则V1，力是方程的两个实根，所以20yo+4klyi-y2=百.同理可得“=2。4k2找2于是由，三式得400yo+4k

22、lyo+4k22y3y4=俞400yS+4ki+k2yo+16/ci/c2一kik2_400ySy3+16/ci/c2_=荻=6400所以，当P在直线x=-4上运动时,四点4B,C,。的纵坐标之积为定值6400.跟踪训练已知双曲线C：*2一。=1,过圆o：x2+y2=2上任意一点作圆的切线/,若/交双曲线于4B两点，证明：N40B的大小为定值.证明当切线的斜率不存在时，切线方程为x=士也.当、=啦时，代入双曲线方程，得y=±啦，即4啦，啦)，B阪一姬)，此时N408=90。.同理当x=一啦时，N408=90°.当切线的斜率存在时，设切线方程为y=kx+b,则濯溟=嫄，即按=

23、2(1+/).由直线方程和双曲线方程消掉y,得(2k2)x22kbx(按+2)=0,由于直线/与双曲线交于48两点，故2NW0,设4(xi，J/",8(X2,%)，则xi+2kb一(反+2)xpQ=2女2'k2b22k22k2b22b2k2b2Y1Y2=(kxi+b)(kx2+b)=k2XiX2+kb(x1+x2)+辰=2k2+2k2+一2k22b22k22-k2一£>222b22k2b2_2(l+k2)“乂*途2+外力=2.k2+2l<2=2k2由于d=2(1+的,玲3故xiX2+yiV2=O，即0408=0，N408=90°.综上可知，若/

24、交双曲线48两点，NA0B的大小为定值.七、圆锥曲线背景下的最值问题例7已知圆C的方程为炉+必=4,过点M(2,4)作圆C的两条切线，切点分别为A,B,直线48恰好经过椭圆了：7+台=l(cr>b>0)的右顶点和上顶点.求椭圆了的方程；(2)若直线/与椭圆了相交于P,Q两不同点，直线/方程为y=kx+小(k>0),O为坐标原点，求OPQ面积的最大值.解：(1)由题意：一条切线方程为x=2,设另一条切线方程为y4=k(x2),则不答=2,解得k=l，此时切线方程为y=|x+j,切线方程与圆方程联立得：x=£,y=|,则直线48的方程为x+2y=2.JJ令x=0,解得y

25、=l,，b=l；令y=0,得x=2,Aa=2.故所求椭圆方程为了+必=1.y=kx+45,(2)联立<x22_整理得(1+442*+8/奴+8=0,<44=(80)232(1+4的>0,即2k21>0.令P(xi，Vi)，Q(X2，%)，则Xl+X2=-8yf3k1+4/'XiX2=i+4k2,原点到直线/的距离为|PQ|=V1+P|xi-X2bX1+X22-4xpQ1乖，SaOpq=-|PQ|-d=-|xix2|l+4k22k2-12k2-142k2-12+122k2-1+9Vl.42k2-1+12+2/_1当且仅当k二当时取等号，则4OOQ面积的最大值为1.

26、变式：在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p>0)相交于48两点.若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求ANB面积的最小值；(2)是否存在垂直于y轴的直线/,使得/被以4C为直径的圆截得的弦长恒为定值若存在，求出/的方程，若不存在，说明理由.N设直线48的斜率为k,4(xi，y08(X2,%)，由题意知：C(0,p),N(0,一p),则/的方程为y=kx+p,与x?=2py联立消去y得，x22pkx-2p2=0.所以xi+x2=2pk,X1X2=-2p22分乂因为S&anb=Sanc+S&bnc，CN=2p.所以ANB=|x2p|Xix

27、21="/(xi+x2)24X1X2=2p2jk224分*所以，当k=0时.，(S08N)min=2啦p2.6分易得以AC为直径的圆的方程为(x0)(xxi)+(ypb(y%,)=0.8分假设满足条件的直线/存在，其方程为y=a,代入圆的方程，整理得X2xix+(ap)(ayi)=0.设直线/与圆的交点为P(X3,J3)，Q(X4,%).由弦长公式并结合根与系数的关系,得PQ=|X3X4|=4(。一3V1+4a(pa)=2y（a-§yi+a（p-a）.12分由此知，当片争寸，PQ=p为定值，故满足条件的直线/存在，其方程为尸?九.与圆的综合应用已知直线h：4x:-3y+6=0和直线bx=-p/2:.若抛物线C*=2px上的点到直线h和直线12的距离之和的最小值为2.（I）求抛物线C的方程；（II）若删物线上任意一点M为切点的儆I与直线12交于点N,试问在xWlh是否存在定点Q，使Q点在以MN为直径的圆上，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.解：（I）由定义知乙为抛物线的准线，抛物线焦点坐标尸（§。）2由抛物线定义知抛物线上点到直线的距离等于其到焦点F的距离.所以抛物线上的点到直线和直线的距离之和的最小值为焦点F到直线4的距离.2分|2/?+6|,所以2=;A则=2,所以，