向量的坐标表示及其运算

1、向量的坐标表示及其运算向量的坐标表示及其运算【知识概要】1.向量及其表示1）向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上.面加箭头来表示，如a读作向量a,M终点'向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表不如斌，表不由A到B的向量.A为向量的起点，b为向量的终点）.向量TB（或3）的大小叫做向量的模，记作前（或3）.注：既有方向又有大小的量叫做向量，只有大小没有方向的量叫做标量，向量与标量是两种不同的量，要加以区别；长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意。与0的区别.长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不

2、确定方向例1下列各量中不是向量的是（D）A.浮力B.风速C.位移D.密度例2下列说法中错误的是（A）A.零向量是没有方向的B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向是任意的例3把平面上一切单位向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是（D）A.一条线段B.一段圆弧C.上一群孤立点D.一个单位2）向量坐标的有关概念基本单位向量：在平面直角坐标系中，方向分别与x轴和y轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为；和；.将向量a的起点置于坐标原点o,作oA=a,则OA叫做位置向量，如果点A的坐标为（x,y）,它在x轴和y轴上的投影分别为M,N）则T-IT4TT4OA=O

3、MON,a=OA=xiyj.向量的正交分解在中，向量OA能表示成两,二一,-1个相互垂直的向量,、1分别乘上.：|实数x,y后组成的和式，该和式称PF1一为；、j的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对(xy叫做向量a的坐标，记为a=(x,y).一般地，对于以点Pi(x,yi)为起点，点Pzgyz)为终点的向量崩，容易推得M=(xz-x)；(y2-yoj,于是相应地就可以把有序实数对(x2-x1,y2-y1)叫做钳的坐标，记作PP2=(x2-xi,y2-yi).3)向量的坐标运算：a=(x1,yi),b=(x2,y2)九'R贝Uab=(x1x2,yiyz)；ab

4、=(kx?,y一y?);a=(x1，x?).4)向量的模：设a=(x,y),由两点间距离公式，可求得向量a的模(norm).a|=Jx+).注：向量的大小可以用向量的模来表示,即用向量的起点与终点间的距离来表示；向量的模是个标量，并且是一个非负实数.例4已知点A的坐标为(2,0)点B的坐标为(-3,0),且同=4祠=3)求点P的坐标.解：点p的坐标为(一63或(一|,一】).5555例5已知2、b=(-4,3)；-2b=(3,4)求£b的坐标.解：a=(,2),b=(-2,-1)例6设向量a,b,"*wR,化简：/A一,一(1)%(Na+b-c)-N(儿a+b-c)+(N-

5、?J(b-c)；/cJJJ.4(2) 2(ab)一(2a2b)2c.解：都为0.2 .向量平行的充要条件平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量(我们规定0与任一向量平行).已知2与1为非零向量,若：=(x,yi),b=(x2,yz),则ab的充要条件是Xiy2=X2yi,所以，向量平行的充要条件可以表示为：H444a/b仁a=Kb(其中土为非零实数)ux,y2=x2y1.例7已知向量a=（-2,3）,点a（2,_1）,若向量滞与a平行）且城=2月）求向量端的坐标.解：一的坐标为（61-7）或（-2,5）.3 .定比分点公式1）定比分点公式和中点公式Pi,R是直线l上的两点，P是l上不同于

6、Pi,R的任一点，存在实数S使而=/pp2,叫做点p分航所成的比，有三种情况：-一一一（内分）九>0（外分）入<-1（外分）-1<><0已知Pi（Xi,yisP2（X2,y2是直线l上任一点）且PP=九P（九WRS#1）.P是直线PP2上的一一人x=2、人、点，令P（x,y）,则1r,这个公yy-'/a式叫做线段PP2的定比分点公式，特别地九=1时，P,卜=可为线段P1P2的中点，此时2，叫做线段P1P2的中点公式.注：Pp=l©上可得pp=w*ppj;当九二-1时，定比分点的坐标公式x=和1广亨也显然都无意义，也就是说，当“一1时，定1比分点不

7、存在.2)三角形重心坐标公式设AABC的三个点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),C(X3,ya)?、，X1X2X3XG二G为MBC的重心，则，3、,小V3yL例8在直角坐标系内P(4,3),P2(2,6)点P在直线PP2上)且P?=21PP?1?求出P的坐标.解：当P在PP2上时)P(0,3)；当P在PP2延长线上)P(-8,15).例9已知A(3,BI),(,4P是直线AB上一点)若II2刀=3常)求点P的坐标.解：注意定比分点的定点，可得P(-1f,-f).*方法提炼*几个重要结论2.i.若:为不共线向量,则"b,为以一为邻边的平行四边形的对角线的向量；=2(a+b

8、)；3.G为MBC的重心uGA+GB+GC=屋G(X1,y1+*%)33A(x,y)B2X2yC3Xy)【基础夯实】1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量AB与五是共线向量，则ABkCD四点必在一直线上；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABC耍平行四边形白充要条件是ab=DC模为0是一个向量方向不确定的充要条件；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量而、记在同一直线上.不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.、正确.

9、不正确.如图41£AC与BC共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2 .下列命题正确的是（C）A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行3 .在下列结论中，正确的结论为(D)(1)a/b且|a|=|b|是a=b的必要不充分条件(2)a/b且|a|=|b|是a=b的既不充分也不必要条件(3)a与b方向相同且|a|=|b|是a=b的充要条件(4)a与b方向相反或|

10、a|w|b|是ab的充分不必要条件A.(3)B.(4)C.(3)(4)D.(1)(3)(4)4 .已知点A分有向线段前的比为2,则在下列结论中错误的是(D)A.点C分ab的比是-1B.点3C分BA的比是-3C点C分AC的比是-3D.点A分cb的比是25 .已知两点PiT-6)、P2(3,0),点P(7,y)分有向线段PF；3所成的比为人则?.、y的值为(C)A1,8B.1,-8C4'41,-8D.4,14'，86. ABC的两个顶点A(3,7)和B(-2,5),若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标是(A)A(2,-7)B.(-7,2)C(-3,-5)D(-5

11、,-3)7. “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的条件.答案：必要非充分8. 已知a、b是两非零向量，且a与b不共线，若非零向量c与a共线，则c与b必定.答案：不共线9,已知点A(x,2),B(5,1),C(-4,2x)在同一条直线上，那么x=.答案：2或7210.ZXABC的顶点A(2,3),B(-4,-2)和重心G(2,-1),则C点坐标为.答案：(8,-4)11 .已知M为4ABC边AB上的一点，且S'AMC-S'ABC)8则M分AB所成的比为.答案:【巩固提高】12 .已知点A=(1,4)、B(5,2)线段AB上的三等分点依次为Pi、P2,求Pi、P2点的坐标以及

12、A,B分质所成的比九.解：Pi(1,-2),P2(3,0),A、B分前所成的比入1、入2分别为-1,-2213 .过Pi(1,3)、P2(7,2)的直线与一次函数y=2x+8的图55象交于点P,求P分晶所成的比值.解：-1214 .已知平行四边形ABCD一个顶点坐标为A(-2,1),一组对边AB、CD的中点分别为M(3,0)、N(-1,-2),求平行四边形的各个顶点坐标.B：B(85-1),C(45-3),D(-6,-D15 .设P是MBC所在平面内的一点)BC+BA=2BP，则(B)ZAVTT.小、4(A).PAPB=0(B).PCPA=0_ip%.诏PC=0(D).PAPB+PC=016 .若平面向量a,b满足3+b=1,a+b平彳丁于x轴)b=(2,-1)?贝(Ja=(1,1)或(3,1).17 .在AABC中，点P在BC上，且BP=2PC,点Q是AC的中点.若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等于()A.(-6,21)B.(-2,7)C.(6,21)D.(2,7)解析：选A.At=2AQ=2(PQ-PA)=(-6,4)5PC=PA+AC=(2,7),Bt=