合肥工业大学大一上学期高数期末考试题

1、高数期末考试一、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)2,lim(13x)sinx=1. x-0.已知吧是f(x)的一个原函数，则(“xicosxdx：2. xx3.2n-1、IIIcos)=n2lim(cosnn二22二一cosnn12 2xarcsinx1,dx=1 1-x24. 2.二、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1-x设u(x)=,P(x)=33x,则当xt1时()5. 1x.(A)二与P(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B)3与日(x)是等价无穷小；(C)支(x)是比网刈高阶的无穷小；(D)»x)是比口(x)高阶的无穷小.6. 设f(x)

2、=cosx(x+sinx),贝U在x=0处有()(A) f'(0)=2(B)f(0)=1(C)f(0)=0(D)f(x)不可导.x7.若F(x)(2t一x)f(t)dt其中f(x)在区间上(-1二阶可导且f'(x)A0,则().(A)函数F(x)必在x=0处取得极大值；(B)函数F(x)必在x=0处取得极小值；(C)函数F(x)在x=o处没有极值，但点(0,F(0)为曲线y=F的拐点；(D)函数F(x)在x=0处没有极值，点(0，F(0)也不是曲线y=F(x)的拐点。18.设f(x)是连续函数，且f(x)=x+2J0f(t)dt，则f(x)=(2(A)2)2,(B) 2(C)x

3、-1(D)x+29.三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)求11.10.设函数y=y(x)由方程ex'+sin(xy)=1确定，求y'(x)以及y'(0).1-x-dx.x(1x)12.13.xe-x,x<0-i设f(x)=<.求J3f(x)dx.J2x-x,0<x<1一g(x)=设函数f(x)连续，if(xt)dt0f(x)limA，且xx,A为常数.求g(x)并讨论g(x)在x=0处的连续性.iy(1)二14 .求微分方程xy+2y=xlnx满足9的解.四、解答题(本大题10分)15 .已知上半平面内一曲线y=y(x)(x*0),

4、过点(0,1),且曲线上任一点M(xo,y。)处切线斜率数值上等于此曲线与x轴、y轴、直线x=x°所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题(本大题10分)16 .过坐标原点作曲线y=1nx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;(2)求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共8分)17 .设函数f(x)在h11上连续且单调递减，证明对任意的q70,11,q1f(x)dx-qf(x)dx00.JI311f(x)dx=0f(x)cosxdx=018.设函数f(x)在0,n1上连续，且0,。证明：

5、在(。产)内至少存在两个不同的点J,2,使fC1)=f-2)=0.(提xF(x)二f(x)dx示：设0)解答一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)1、D2、A3、C4、C、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)5.31312.8.38分,共40分)1zcosx.2-()+c.6.2x.7.二、解答题(本大题有5小题，每小题9.解：方程两边求导exy(1y)coy(xy)(y=)exyy(x)=Keycos(xy)xcos(xy)x=0,y=0y'(0)=1-一76.10.解：u=x7xdx=du1(1-u)11du(-7u(1u)7u2)du11二7(ln|u|

6、-2ln|u1|)c1727.=-ln|x|-ln11x|Cf(x)dx=xe,dx，i,2x-x2dx11.解：J匕J。"=jxd(-eJ<)01-(x-1)2dxxx002.=|_-xe_-e_13十Jncos日d6(令x-1=sin日)一一一2二3=2e3-1412.解：由f(0)=0,知g(0)=0。x1xlf(u)dug(x)=f(xt)dt=00x(x=0)xxf(x)-f(u)dug(x)=02(x=0)xxf(u)dug(0)=lim2=limf(x)=Ax-oxx02x2xxf(x)-f(u)duAg(x)=HmX02=A一万A2,g'(x)在x=0处

7、连续。dy2y=lnx13.解：dxx-2dx12dxx(exInxdxC)1小二一xlnx-31-y(1产-1C=91xlnxx四、解答题(本大题10分)X-1,2=2.14.解：由已知且y'=210ydx+y,将此方程关于x求导得y"=2y+y'特征方程：r2r2=。解出特征根:x2x其通解为y=C1eC2e代入初始条件y(0)=y<0)=1,得C12/ye故所求曲线方程为：3五、解答题(本大题1。分)2x15.解：(1)根据题意，先设切点为(X0,lnX。)，切线方程y-lnX01(x-X。)Xo由于切线过原点，解出Xo=e，从而切线方程为:11A=(ey

8、-ey)dye-1则平面图形面积。2(2)三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为JV1,则曲线y=lnx与X轴及直线X=e所围成的图形绕直线X=e一周所得旋转体体积为V2V2=1(e-ey)2dy0D绕直线二2V=VV2=(5e2-12e3)旋转一周所得旋转体的体积6六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共12分)f(x)dx-qf(x)dx=f(x)dx-q(f(x)dxf(x)dx)16.证明:q010,q2q,1二(1-q)f(x)dx-qf(x)dxf(1)_f(2)q(1-q)f(1)-q(1-q)f(2)-0故有:q1f(x)dx-qf(x)dx00证毕。17.XF(x)=f(t)dt,。工乂£二证：构造辅助函数：。其满足在。产上连续，在(。,兀)上可导。F(x)=f(x),且FlSnF”)：。JIJI0=f(x)cosxdx=cosxdF(x)=F(x)cosx|一sinxF(x)dx由题设，有00100,冗F(x)sinxdx=0有0,由积分中值定