函数值域的求法_精品分享资料

1、1点此播放讲课视频点此播放讲课视频2一、配方法一、配方法 形如形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a0) 的函数常用配方法求函数的值的函数常用配方法求函数的值域域, 要注意要注意 f(x) 的取值范围的取值范围. 例例1 (1)求函数求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域在下面给定闭区间上的值域: 二、换元法二、换元法 通过代数换元法或者三角函数换元法通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数、指数把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法法( (关注新元范围关注新元范围) ).例例2

2、求下列函数的值域求下列函数的值域:(1) y=x- - x- -1 ; (2) y=x+ 2- -x2 ; (3) y=sinx+cosx+sinxcosx+1 .-4, - -3 ; -4, 1 ; -2, 1 ; 0, 1 . 6, 11 ; 2, 11 ; 2, 6 ; 3, 6 . 34 , +)(2)求函数求函数 y=sin2x+4cosx+1 的值域的值域. -3, 5 . 0, + 2 32- - 2 , 23三、方程法三、方程法四、分离常数法四、分离常数法利用已知函数的值域求给定函数的值域利用已知函数的值域求给定函数的值域.例例3 求下列函数的值域求下列函数的值域:2x+1 2

3、x (1)y= ; sinx- -3 (2)y= ; sinx+2 (3)y=3+ 2+x + 2- -x ; 主要适用于具有分式形式的函数解析式主要适用于具有分式形式的函数解析式, 通过变形通过变形, 将函将函数化成数化成 y=a+ 的形式的形式.b g(x) 例例4 求下列函数的值域求下列函数的值域:2x+1 2x (1)y= ; sinx- -3 (2)y= . sinx+2 (0, 1) 32- - , - - 14(0, 1) 32- - , - - 14(4)若若f(x)的值域为的值域为 , , 求求 y=f(x)+ 1- -2f(x) 的值域的值域.49387879 , 5, 3

4、+2 2 4五、判别式法五、判别式法例例5 求函数求函数 y = 的值域的值域.x2+x+1 x2- -x 主要适用于形如主要适用于形如 y = ( (a, d不同时为零不同时为零) )的函数的函数( (最最好是满足分母恒不为零好是满足分母恒不为零) ).ax2+bx+c dx2+ex+f 六、均值不等式法六、均值不等式法(1)y= ;x2+1 2x例例6 求下列函数的值域求下列函数的值域:(2)y= (x1) .x- -1 x2- -2x+5 - -1, 1 4, +) 能转化为能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函的函数常用判别式法求函数的值域数的值域.

5、利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域. 要要注意满足条件注意满足条件“一正、二定、三等一正、二定、三等”. 1- - , 1+ 2 332 335七、利用函数的单调性七、利用函数的单调性八、数形结合法八、数形结合法 主要适用于主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac0)形式的函数形式的函数; (2)利用利用基本不等式不能求得基本不等式不能求得 y=x+ (k0)的最值的最值( (等号不成立等号不成立) )时时.k x 例例7 求下列函数的值域求下列函数的值域: (1)y= 1- -2x - - x ; (2)y=x+ (0 x

6、1); 4 x 12- - , +) 5, +) 当函数的解析式明显具备某种几何意义当函数的解析式明显具备某种几何意义, 像两点间的距离像两点间的距离公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法公式、直线斜率等时可考虑用数形结合法. 例例8 求下列函数的值域求下列函数的值域: (1)y=|x- -1|+|x+4| ; sinx- -3 (2)y= ; 2+cosx (3)y= 2x2- -6x+9 + 2x2- -10 x+17 ; (4) 若若 x2+y2=1, 求求 x+y 的取值范围的取值范围;(5) 若若 x+y=1, 求求 x2+y2 的取值范围的取值范围. 5, +) 12 , +)(0,

7、 3 (3)y= x+3 - - x . - -2- - , - -2+ 2 332 332 5 , +) - - 2 , 2 6九、导数法九、导数法 对于可导函数对于可导函数, 可利用导数的性质求出函数的最值可利用导数的性质求出函数的最值, 进而进而求得函数的值域求得函数的值域. 例例9 求下列函数在给定区间上的值域求下列函数在给定区间上的值域:(2)y=x5- -5x4+5x3+2, x-1, 2 .(1)y=x+ , x 1, 4 ; 4 x 4, 5 -9, 3 1.求下列函数的值域求下列函数的值域: 值域课堂练习题值域课堂练习题(1) y= ; x- -23x+1 (2) y=2x+

8、4 1- -x ; (3) y=x+ 1- -x2 ; (1)(-, 3)(3, +)(2)(-, 4(4)3, +)(4) y=|x+1|+ (x- -2)2 ; (3)- -1, 2 点此播放讲课视频点此播放讲课视频7(5) y= ; 2- -cosx sinx(6) y= ; x2+x+1 2x2- -x- -2 (7) y= ( ( 0 恒成立恒成立. =64- -4mn0. mx2+8x+n x2+1 令令 y= , 则则 1y9. mx2+8x+n x2+1 问题转化为问题转化为 xR 时时, y= 的值域为的值域为 1, 9 . 变形得变形得 (m- -y)x2+8x+(n- -y)=0, 当当 my 时时, xR, =64- -4(m- -y)(n- -y)0. 整理得整理得 y2- -(m+n)y+m