偏微分方程在计算流体中的应用

1、偏微分方程在计算流体中的应用pb06001032张凌肖这学期我选了一门研究生课一一计算流体力学，在学习这门课的过程中，我充分感觉到了偏微分方程的重要，因为无论哪一章，都渗透着偏微分方程的思想，没有偏微分方程，计算流体这门课显得支离破碎。下面我就拿一个特殊的计算流体方程举例子。因为计算流体这门课的教材是英文的，所以有些专有名词我将只写出英文，还请多包涵。我要说的是Shallow-waterequation,它是典型的双曲线方程，它是源于Navier-Stokesequation形如(1.1)和(1.2),卫fdU1_"t_"X!+"dU2)=0(1.1).:U1FU

2、1FU1j-VUu-gfU2t；X2gUUC2d.：U2Ui.：U2：U2frU2-g-fU1二x2二x2gU2UC2d1.2)它模拟了海峡，湖泊，河流以及海水中水流的流动形式。大气和海洋中的流体的核心模型是由Shallow-waterequation组成的。接下来我将分六个方面说明偏微分方程在Shallow-waterequation中的应用。一、Shallow-waterequation中的控制方程对于一维的Shallow-waterequation来说(1.1)和(1.2)可以简化成(1.3)和(1.4)。1.3).:d：:dU八二0-t二x辿+U/g位上+空U.t二x二xCd1.4)U

3、是流体的平均深度，d是水深，g表示重力加速度，H是底部的高度，而C是Chezy摩擦系数。、Shallow-waterequation的分类(1.3)和(1.4)可以转化成(1.5),卫F四二q.:t：:x(1.5),其中，d<U'U<g0出UUI"g7"g7rexCd，而(1.5)的性质体现在特征值问题(1.6)。(n0I+n1F)W=0(1.6)我们有n°I+nF=0(1.7),如果,C=gd(1.8)成立。由于我们已经找到两个实线性独立向量(n0,n1),系统(1.5)是双曲线型的。而且，特征向量可以通过线性运算简化成W=三、Shallow

4、-waterequation的特征线在thefrozencoefficient的情形下，有wave-likesolutionW=Weiwf,x),其中W=n0=CU和=n1=1Fx由于沿着曲线t=t(s),x=x(s),且由=1,dx=U*C时，W=const。而上面dsds的曲线就是特征线，这与偏微教材第一章所介绍的特征线在概念和性质上是统一的。四、Shallow-waterequation的对角化我们先引入新的变量Z,使得W=W(Z),我们令B=W，Z,则(1.5)变形成(2.1),B4FB=B4Q(2.1)-t二x这样，B*B是一个对角阵，使得(2.1)变成一个独立的方程组。我们在选取矩

5、阵B是有技巧的，令B等于F的特征向量的组合B=c-c1gg1、Bg,BFB=U+C0，而且Z满足等式必=（B'）,，进1 、0UC,cwj.jg（2.2）,所以（2.1）变形成而，我们得到乙=L'c+Ui,z2=L'_c+Ui222g2(2马UC马=B'Q什故z2U-CZ2:x(2.3)五、Shallow-waterequation的波动性我们先假设H是恒定的，并忽略摩擦力作用，这样（2.3）就变成了（2.4）euc马=0.t二x名2十（U-C伴=0（2.4）.tex因此沿着特征线虫=1,dx=U+C,Z1=const,而且沿着特征线虫=1,dsdsdsdx一=

6、U-C,z2=const。我们称变重4和22是黎必不变事。我们不妨把4和22看ds作拥有速度u+c和uc的信号。士c是由重力引起的。其中，C=jgd叫做celerity,Fr=U?C叫做Froudenumber接下来，我们来考虑调和波WnWeiwe*）,W=const这是（2.5）的解，如果A（iwI+ikF+GW=0。如果（ikU-iw）（ikUiw+r）+k2C2=0,那么存在非零解。之后，引入了很多波动性的新的概念，解释起来很麻烦，就不在这里一一介绍了。六、Shallow-waterequation的初边值条件Shallow-waterequation的初边值条件的讨论与偏微分方程中第四十页到第四十一页所讨论的内容是完全一致的，在那里，引入了“影响区域”，“决定区域”，还有“依赖区域”的概念，本文就不一一介绍了。其实，关于Shallow-waterequation的内容并没有介绍完，因为后面的内容涉及到偏微分方程数值解和有限元的理论，所以，就不在这里详细阐述。不过，由上面的六个方面可以看出，Shallow-waterequati