江苏名师教育网 解直角三角形 同步辅导资料 人教版

1、江苏名师教育网 解直角三角形 同步辅导资料 人教版【学习内容】几何： 解直角三角形【学习要求】 1、了解解直角三角形在几何问题及测量中的应用；2、掌握仰角、俯角、坡度等概念，并会解有关问题。重点：仰角、俯角、坡度等概念及把实际问题转化为数学问题。难点：运用解直角三角形的知识，结合实际问题的示意图，正确选择边角关系解决实际问题。【内容精讲】 一、知识点分析： 1、解直角三角形的定义在直角三角形中，除一个直角外，一共还有5个元素：3条边和2个锐角。由直角三角形中已知两个元素（其中至少有一边）求出其余三个元素的过程，叫做解直角三角形。2、五个元素之间的关系：1）三边之间关系：a2+b2=c2（勾股定

2、理）2）锐角之间的关系：A+B=9003）边角之间的关系sinA=cosB= cosA=sinB= （有斜用弦）tgA=ctgB= ctgA=tgB= （无斜用切）3、可解直角三角形的四种基本类型：在RtABC中，C=900，A、B、C的对边分别为a、b、c 一直角边，一锐角 一边一角 斜边、一锐角RtABC中，已知 两直角边 两边 斜边，一直角边就可以解此直角三角形。4、测量问题中常用的概念1）仰角、俯角2）坡度、坡角二、典型例题例1、如图1，在山顶P处测得正东两船的俯角分别是300和600，且两船相距200米，求山高PQ（保留准确值）解：AB=200米 A=300 QBP=600设PQ=h

3、，则在RtPQA中 AQ= 在RtPQB中，BQ=又PB=AB=200 BQ=AQ-AB=-200=解之可得：h=200×=100（米）答：山高为100米。说明：本题要搞清“仰角”与“俯角”的概念，然后通过设未知数列出方程来解决问题。例2、如图2，RtABC中，C=900，tgDAC=，sinB=，BD=9，求AB的长。解：在RtADC中，tgDAC=tgDAC=设 DC=3x,AC=5x又在RtABC中，sinB= AB=13xBC=BD+DC=9+3x在RtABC中，AB2=AC2+BC2 (13x)2=(9+3x)2+(5x)2整理可得： 5x2-2x-3=0 x1=1 x2=

4、(舍去)AB=13说明：这道题一定要弄清楚给的已知条件之间有什么联系，然后利用解直角三角形把线段之比用参数转化为“线段长”，从而求出线段的实际长度，使问题得到解决。例3、如图3，ABC中，B=45°，BC=2，AB=，求AC的长及A分析：这道题给出的ABC虽然不是直角三角形，但是我们可以作高，把一般三角形的问题化归为解直角三角形的问题。解：过C作CDAB于D在RtBCD中，B=45° BC=BD=CD=BC·cos45°=·=AB=， AD=AB-BD=在RtADC中，AC=tgA=说明：有的解斜三角形的问题，可以通过作垂线转化为解直角三角形的

5、问题，同学们要掌握方法。例4、如图4，四边形ABCD中，A=60°，B=D=90°，BC=11，CD=2，求对角线AC的长。解：延长AD，交BC的延长线于E，在RtABE中，BAE=60°，E=30°又在RtEDC中，CD=2，E=30° CE=4BE=BC+EC=11+4=15在RtABE中，tgE=AB=BE·tgE=15·tg30°=5在RtABC中 AC=14对角线AC长为14说明：本题的关键是要构造出RtABE。在解决一般图形的计算问题时，可以把已知条件集中到构造出的直角三角形中，利用解直角三角形的办法来

6、进行计算。例5、在ABC中，AB=AC，CH是AB边上的高，CH=AB，BC=，求tgB的值及CH的长。分析：ABC是锐角三角形还是钝角三角形？题目中没有说清楚，也没有给出图形，因此，要分两种情况来解这道题。解：1）当ABC为锐角三角形时CH=AB设AB=5x CH=3x AC=5x在ACH中，AHC=90°AH= BH=AB-AH=5x-4x=x在RtBHC中，BH2+CH2=BC2 即：(3x)2+x2=()2x=1 （负值已舍去）即：CH=3x=3 tgB=2）当ABC为钝角三角形时设AB=AC=5x，则CH=3x AH=4xBH=AB+AH=9x在RtBHC中 (BH)2+(

7、CH)2=(BC)2即：(9x)2+(3x)2=()2x= （负值已舍去）CH=1 tgB=说明：分类讨论思想也是数学中很重要的思想方法。例6、已知锐角ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，求证：a2=b2+c2-2bccosA （如图5）证明：过C作CDAB于D在RtADC中，sinA= cosA= CD=AC·sinA=b·sinA AD=AC·cosA=b·cosABD=AB-AD=c-bcosA在RtBDC中， BC2=CD2+BD2BC2=(bsinA)2+(c-bcosA)2 =b2sin2A+C2-2bccosA+b2cos2A =b

8、2(sin2A+cos2A)+c2-2bccosA=b2+c2-2bccosA即：a2=b2+c2-2bccosA说明：1）要熟记本题目的结论，今后有广泛的应用。 2）同理还可证明：b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC 3）若ABC为直角三角形或钝角三角形时，结论是否成立，有兴趣的话，试证之。例7、如图6，在RtABC中，C=90°，二直角边的差为，CDAB于D，BD=AD=，求ABC的三边的长。分析：欲求三边长a、b、c，需寻找关于a、b、c之间的等量关系，即建立关于a、b、c为未知数的三个方程，解方程而得解。解：由题意：BD>AD，则a>

9、ba-b= 又BD=acosB AD=bcosABD-AD= acosB-bcosA= 又 代入式a2-b2=C 即：(a+b)(a-b)= (b+)2+b2-4(b+)b=0即：b2-b-4=0 b=(负值已舍)a=C=所求的三角形三边长分别为，4说明：本例的解法中突出了基本量思想，题中得出的关系式涉及到以下五个量：a、b、c、cosB、cosA最后均可用一个量b表示出来，从而得出解答。例8、如图7, AC=10cm，FDAB于F，BCD=900，FD与交于，求：的值分析：这道题要求SAEF和SAEC的比值，而这两个三角形不相似，故要根据已知条件，把两直角边长分别求出来才行。解：在RtABC

10、中，AB=14 BEFECD（一组直角，一组对顶角）在RtBEF中，sinB=设EF=5x，BE=7x EC=BC=BE+EC 7x+=x=EF= AF=14-EC=说明：这是一道综合题，它用到了不少几何知识，同学们在做时，思路要清晰，条理要清楚。例9、如图8，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6米，坝高BE=CF=20米，斜坡AB的坡角A=30°，斜坡CD的坡度i=12.5，问每修1米长的这种大坝，需土石多少立方？解：由题意，RtAED中，A=30°，BE=20tg30°= AE=20在RtCFD中，i= FD=2.5×20=50AD=AE+EF+FB=A

11、E+BC+FD=20+6+50=56+20修1米长这样的大坝需土石方：V=（米3）说明：这是一个实际问题，应结合梯形的知识，再弄清三角函数的定义及坡角、坡度这些概念，问题就很容易解决。例10、如图9，A城气象台测得台风中心在A城正西方300千米处，以 千米/小时的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200米的范围是受台风影响的区域。1）问A城是否会受这次台风的影响，为什么？2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风的时间有多长？解：1）过A作BF的垂线AF，则在RtABF中AF=300（千米）150(千米)<200(千米)A城会受这次台风的影响。2）在距台风中心

12、200千米的范围内都受影响，如图10画出示意图，设A到F1，F2的距离分别都是200米在RtF1AF中，F1F=同理：FF2=F1F2=100（千米）100（小时）A城受这次台风影响的时间为10小时。说明：这个题目比较灵活。第一小问中，问A城是否受台风影响，关键要找出A到BF的最短距离AF，利用解直角三角形的办法可求出AF再与200米进行比较，可得结论。第二小问中，要确定台风影响的范围，再求出台风影响的时间。同学们在碰到实际问题时，务必读懂题意，再把它们化归为数学问题，这样，问题就容易解决了。例11、如图11，某人在建筑物PQ的正东A处测得点P的仰角为，他向北走了a米到达B点，再在B处测得P点

13、的仰角为，设建筑物PQ的高度为x米，求证：思路：利用BQ2-AQ2=a2 建立关于PQ=x的方程即可。证明：RtAPQ中，AQ=x·ctgRtPBQ中，BQ=x·ctgRtABQ中，AQ2+AB2=BQ2x2ctg2+a2=x2ctg2 x2(ctg2-ctg2)=a2 x2=说明：本题所给出的是一个空间的立体图形，注意到ABQ是直角三角形。【课外作业】 1、如图（2-1），RtABC中，C=90°，AC=15，A的平分线AD=，解这个直角三角形。2、如图（2-2），为了测量小山上一座铁塔AB的高度，在山下一直路上取D、E两点，测得DE=80m，在D处测得塔顶的仰

14、角为60°，在E处测得塔顶的仰角为45°，又知小山的高BC=65m，求塔高AB。3、如图（2-3），水库大坝的横断面是一个梯形，BCAD，坝顶宽BC=8米，坝高18米，斜坡AB的坡角的余弦值为，斜坡CD的坡度i=11，求斜坡AB的长，坡底宽AD及斜坡CD的坡角。4、一张矩形纸片ABCD，其宽AD=6，按图2-4所示折叠，使得C点恰好落在AB边上，已知EDC=30°，求折痕DE的长。5、一船在江中航行，航线与江岸平行，船向正西，当船在A处时，见江岸上有一建筑物P在北偏西30°，继续航行6千米到达B处时，见此建筑物在北偏东45°，请画出示意图并求出

15、船与江岸间的距离。6、已知：AD、BE是锐角ABC的两条高，若ABC的面积为90cm2,DEC的面积是10cm2,求cosC。7、已知：方程4x2+kx+2=0的两个根是RtABC的两个锐角的正弦sinA和sinB,求k值和锐角A和B的度数。8、已知直角三角形斜边的长是斜边上高的4倍，求锐角。9、如图（2-5），梯形ABCD中，ADBC，B=60°，C=30°，AD=4，CD=12，求AB、BC的长及梯形ABCD的面积。10、如图（2-6），在海港A的北偏东60°方向上有一灯塔B，一船上午11时从A处向正南方启锚航行，正午船到C处，看到灯塔B在船的东北方向，问下午几时几分该船能行驶到灯塔B的西偏南60°的方向D处？（精确到1分）【课外作业答案】1、60°，30°，15，302、米3、AB=20